ПЛАТОНОВЫ ТЕЛА


Платоновы тела – пять уникальных форм. Задолго до Платона, чье описание положено в основу названия, ими пользовался Пифагор, назвав их идеальными геометрическими телами. Древние алхимики считали, что эти тела связаны с определенными элементами: тетраэдр – огонь, октаэдр – воздух, куб – земля, икосаэдр – вода, додекаэдр – эфир, а сфера – пустота.


Сумма всех плоских углов при вершине правильного выпуклого многогранника не превосходит 360°, это ограничивает количество таких тел. Сумма граней и вершин превосходит количество ребер на 2 (отмечали Декарт и Эйлер).

Все пять элементов являются строительными блоками Вселенной. Они создают качества ее атомов. Три первых упомянутых правильных многогранника были хорошо известны пифагорейцам, которые, понимая их замечательные математические свойства, догадывались, что эти тела каким-то образом должны быть связаны с устройством мира. По-видимому, Теэтет (V в. до н. э.) первым показал, что существует еще два правильных многогранника, а именно, додекаэдр (12-гранник) и икосаэдр (20-гранник).

Прямоугольный тетраэдр используется в оптике. Если грани, имеющие прямой угол, покрыть светоотражающим составом или весь тетраэдр выполнить из материала с сильным светопреломлением, чтобы возникал эффект полного внутреннего отражения, то свет, направленный в грань, противоположную вершине с прямыми углами, будет отражаться в том же направлении, откуда он пришел. Это свойство учитывается при создании уголковых отражателей, катафотов.

У правильного многогранника – октаэдра (т. е. восьмигранника) – нет аналогов в плоском мире, т. к. он немного похож на треугольник, а немного на квадрат. Октаэдр тесно связан с кубом так называемым свойством взаимности: центры граней куба являются вершинами правильного октаэдра, а центры граней правильного октаэдра являются вершинами куба. Если соединять отрезками центры соседних граней куба, то эти отрезки станут ребрами октаэдра; если проделать ту же операцию с октаэдром, получится куб.

Между прочим, исходя из этого, понятно, что число вершин октаэдра равно числу граней куба, и наоборот; более того, количества ребер у них совпадают.


Додекаэдр состоит из правильных пятиугольников, которые сходятся по 3 в каждой вершине; икосаэдр – из правильных треугольников, которые сходятся по 5 в каждой вершине. Эти многогранники обладают свойством взаимности по отношению друг к другу. Построению и свойствам 5 правильных многогранников (а также доказательству того, что других не существует) посвящена тринадцатая – заключительная – книга «Начал» Евклида.

Согласно комментарию неоплатоника Прокла, структура «Начал» соответствует устройству Вселенной по Платону: она начинается с самых исходных элементов – точек и прямых – чтобы в результате придти к построению мира в целом.

Математиков Нового времени правильные многогранники интересовали главным образом в связи с совокупностями (группами) тех преобразований – поворотов и симметрий – которые переводят многогранники сами в себя. Изучение групп преобразований оказалось важным для, казалось бы, совершенно не связанных с этим вопросов.

Так, Феликсу Клейну принадлежит книга, название которой говорит само за себя: «Лекции об икосаэдре и решении уравнений пятой степени». В XX в. теория групп оказалась чрезвычайно важной для квантовой механики, изучающей молекулы, атомы и элементарные частицы: та или иная группа преобразований, оказывается, является определяющей для того или иного объекта микромира.


ИНТЕРНЕТ ЛИТЕРАТУРА



См. обзор правильных многогранников. Куча картинок. Тетраэдры египетских пирамид: книга, с самыми большими иллюстрациями. У такой темы есть богатые ассоциации с кристаллами, кристаллография.

ЕЩЕ КУЧА КРАСИВЫХ КАРТИНОК | СОЛНЕЧНАЯ СИСТЕМА



ПЛОТНАЯ УПАКОВКА | ПЛИТКИ ПЕНРОУЗА
КЕПЛЕР О ПЛОТНОЙ УПАКОВКЕ

Rambler's Top100