М-МАТРИЦЫ ПЕРВОГО ДЕСЯТКА


Матрица M1=1 является основанием основной сильвестровой последовательности и это единственная матрица нечетного порядка, которая формально входит в число адамаровых. Остальные М-матрицы нечетного порядка образуют альтернативные независимые ветви и уже поэтому заслуживают внимание.

МАТРИЦА M3


Базовый алгоритм находит целочисленное решение, имеющее после приведения первой строки и первого столбца к положительным значениям элементов, вид

M3=
1
2
2
2
1
 –2 
2
 –2 
1


с нормой m=2/3.

Оно совпадает, с точностью до перестановки строк и столбцов и умножения их на –1, с результатами построения ее на основе неправильного латинского квадрата и с циклической матрицей, отмеченной ранее.

Обозначим буквами a, b минимальный и максимальный ее элементы:

M3=
a
b
b
b
a
 –b 
b
 –b 
a


Из условия ортогональности M'M=I следуют два уравнения для уровней a, b

2b2+a2=1, b=2*a


Первое из них C уравнение ортонормирования, второе показывает, что целочисленное решение C единственное.

Формула перехода от циклической М-матрицы третьего порядка

M=
 –1 
2
2
2
 –1 
2
2
2
 –1 


к матрице Белевича C шестого порядка

2C=
  I+M  
  I–M  
  I–M  
 –I–M  


отличается, как видно, лишь множителем от формулы расчета матрицы Адамара двенадцатого порядка

A=
  I+C  
  I–С  
  I–C  
 –I–C  


иными словами, эта матрица стартует первую побочную ветвь сильвестровой последовательности матриц порядков 3, 6, 12, 24, ... и ведет к той матрице, с которой она (последовательность) получила свое наименование C адамаровы матрицы.

С М-матрицами связан геометрический феномен, согласно которому удочку, превышающую по длине ограничение, действующее в общественном транспорте на любое из трех измерений поклажи, можно беспрепятственно провезти в чемодане, разместив ее по диагонали. Другая наглядная иллюстрация ставит вопрос о минимальной величиной сарая, в котором уместится противотанковый еж.


Матрица Адамара второго порядка – одноуровневая, тогда как ее обобщение в пространстве трех измерений имеет уровня два. Это заставляет задуматься о различии этих пространств. Геометрическая интерпретация этой задачи звучит так – найти положение октаэдра, при котором он дает минимальные проекции на оси координат (задача о плотной упаковке).


Она следует из интерпретации трех столбцов матрицы как координат трех ортов – осей октаэдра. Иными словами. Дан единичный куб, найти максимальный вписанный в него октаэдр. Двойственная формулировка: найти минимальный октаэдр, описанный около единичного куба.


Оптимальный еж стоит двумя лапами на земле, третья приподнята – кирпич под одну их ножек на 1/4 высоты фигуры: нос опущен, хвост приподнят – поза птицы (голубя). Треугольные грани (основания) не параллельны поверхности, на которой он стоит, в итоге, ребром. Вершины сидят на ребрах охватывающего фигуру куба.

Графическая программа ниже отражает положение октаэдра непосредственно в процессе оптимизации его положения.

Положение оптимального октаэдра в гиперкубе является характеристикой вместимости пространства.

В двумерном пространстве круг площадью пR2, вмещающий в себя ромб площадью 2R2 (крестовину), не меняется в процессе его преобразований, их объемы отличаются в п раз. Квадрат, охватывающий ромб, уменьшается и при повороте ромба на 45 градусов совпадает с ромбом, обе фигуры вписываются в круг.

В трехмерном пространстве сфера объемом 4пR3/3, вмещающая в себя октаэдр объемом 4R3/3, не меняется в процессе его преобразований, их объемы отличаются в п раз. Куб, охватывающий октаэдр, уменьшается (его начальный объем составляет 2/3 объема неповернутого октаэдра), но не совмещается с ним и выступает за пределы сферы.

Качественное отличие двумерного и трехмерного случаев состоит в том, что ромб и квадрат, это, в сущности, одно и то же (смотря как посмотреть), тогда как октаэдр в принципе отличается от куба.

Во всех пространствах размерности более 4 существует только 3 типа правильных многогранников: n-мерный симплекс (n-мерный тетраэдр, обобщение треугольника), n-мерный октаэдр и n-мерный куб (гиперкуб).

Это повышает интерес к М-матрицам как к геометрическим показателям пространств. Адамаровы матрицы близки по смыслу к первой интерпретации, когда с размещением октаэдра не возникает проблем (что, впрочем, еще не доказано). В общем случае, это не так.

МАТРИЦА M5



Трехуровневая целочисленная регулярная (т.е. двухдиагональная) М-матрица с амплитудными значениями потенциальных диагоналей a=2 и b=3 и амплитудой элементов c=6. Среди трех версий

M5=
2
6
6
 –6 
3
3
2
6
6
 –6 
 –6 
3
2
6
6
6
 –6 
3
2
6
6
6
 –6 
3
2
M5=
3
2
6
6
 –6 
 –6 
3
2
6
6
6
 –6 
3
2
6
6
6
 –6 
3
2
2
6
6
 –6 
3
M5=
 –6 
3
2
6
6
6
 –6 
3
2
6
6
6
 –6 
3
2
2
6
6
 –6 
3
3
2
6
6
 –6 


с нормой m=6/sqrt(121), последняя матрица C сигнатурно-симметриричная.

Из условия ортогональности M'M=I следуют три уравнения для уровней a, b, c

3c2+b2+a2=1, a=cb/(c+b)=0, c=2b


Первое из них C уравнение ортонормирования, второе и третье задают целочисленные значения уровней (если нормирование столбцов снять).

Вспомним, что через C10 лежит путь ко второй найденной Адамаром матрице A20, кроме того, C это случай-исключение, поскольку симметричная матрица Якобсталя строится через блочную матрицу Пэли. Упрощенный путь, построение с помощью четырех блоков

C10=
  L  
  N  
  N'  
  R  


где R=–L, видится сомнительным. Условие ортогональности накладывает следующие ограничения на блоки

LN+NR=0, NN'=(n–1)I–L2, n=10.


Если нормировать M5 (сделать положительными первый столбец и строку) и подтянуть минимальную диагональ к нулю, а элементы b,c к ±1, то итоговая структура

M=
0
1
1
1
1
1
0
1
 –1 
 –1 
1
 –1 
0
1
 –1 
1
 –1 
1
0
1
1
1
 –1 
 –1 
0


все еще будет отличаться от симметричной тремя парами элементов. Пусть далее отрицательные элементы корректируются до +1, составив, тем самым, симметричную матрицу

L=
0
1
1
1
1
1
0
1
 –1 
1
1
1
0
1
 –1 
1
 –1 
1
0
1
1
1
 –1 
1
0


Смягчим условие R=–L требованием знакоинверсии у этих двух симметричных матриц хотя бы спектра. Для этого достаточно инвертировать в –1 две пары из трех отмеченных так, чтобы в итоге получилась наиболее сбалансированная по суммам строк и столбцов матрица (опять встретился этот показатель магических квадратов)

R=
0
1
1
1
1
1
0
 –1 
 –1 
1
1
 –1 
0
1
 –1 
1
 –1 
1
0
 –1 
1
1
 –1 
 –1 
0


До сих пор все еще можно алгоритмизировать, однако далее начинается комбинаторная часть, весьма характерная для диофантовых уравнений. При принятых условиях нормировки L и R, N нормируется инверсно: первая строка состоит из +1, первый столбец (за исключением верхнего элемента) из –1, знаки остальных 16 свободных находятся перебором до соблюдения условий ортогональности. Алгоритм действительно находит матрицу Белевича C10.


МАТРИЦА M7


Первая матрица, у которой наблюдается незначительный отрыв по m-норме оптимального решения от регулярной структуры, которая тоже существует. Алгоритм находит то и другое решение, к второму переходим изменением амплитудного коэффициента гильбертовой матрицы (взять m=0.8).

Оптимальная структура с уровнями a,b,c,d,e иррегулярна, между эполетными уровнями a,d по 6 элементов разместились 7 элементов двух промежуточных уровней b,c в 3 и 4 элемента, соответственно. По отношению к регулярной структуре наблюдается эмиссия пары элементов верх.

M7=
a
e
e
e
e
e
b
e
a
c
 -e 
 -e 
d
e
e
c
 -e 
e
 -a 
 -d 
e
e
 -e 
e
 -b 
e
 -e 
a
e
 -e 
 -a 
e
 -c 
d
 -e 
e
d
 -d 
 -e 
d
b
 -e 
b
e
e
a
 -e 
 -e 
 -e 


Пару квадратичных уравнений, следующих из условия ортогональности, 5e2+a2+b2=1 и 3e2+b2+3d2=1 объединяем (вычитанием), с учетом d=e–a

2a2–6ae+e2=0,



отсюда первый уровень a=e(3–sqrt(7))/2, второй корень отклоняем, т.к. a меньше e. Остальное дают линейные связи d=e–a (эполетное свойство – равновеликие плечи), с=d–b, b=ae/d.

У регулярной структуры первые нижние три уровня совпадают между собой по амплитуде, в итоге имеем лишь два уровня

R7=
b
a
a
a
b
b
b
a
b
 -a 
b
 -b 
 -b 
a
a
 -a 
b
b
 -b 
a
 -b 
a
b
b
 -a 
a
 -b 
 -b 
b
 -b 
 -b 
a
b
 -a 
 -a 
b
 -b 
a
 -b 
 -a 
 -a 
b
b
a
 -b 
 -b 
 -a 
b
 -a 



МАТРИЦА M9


Вторая матрица, у которой наблюдается отличное от регулярной структуры оптимальное решение. Алгоритм находит оба решения (для поиска регулярной структуры взять m=0.8).

Ни та, ни другая матрица не повторяют в точности черт матриц предыдущего порядка в том смысле, что у оптимального решения число уровней не увеличивается по отношению к регулярному, а уменьшается. Эмиссия элементов идет не вверх, а вниз.

M9=
  b 
  d 
  c 
  b 
  d 
  d 
  b 
  d 
  d 
  d 
  b 
 -c 
  d 
 -d 
 -d 
  d 
  b 
  b 
  c 
 -c 
 -a 
  c 
  c 
  c 
  c 
 -c 
 -c 
  b 
  d 
  c 
  d 
  b 
 -d 
 -d 
 -b 
 -d 
  d 
 -d 
  c 
  b 
 -d 
  b 
 -d 
 -b 
  d 
  d 
 -d 
  c 
 -d 
  b 
 -d 
  b 
  d 
 -b 
  b 
  d 
  c 
 -d 
 -d 
  b 
  d 
 -d 
 -b 
  d 
  b 
 -c 
 -b 
 -b 
  d 
 -d 
  d 
 -d 
  d 
  b 
 -c 
 -d 
  d 
 -b 
 -b 
 -d 
  d 


Между уровнями a,b,c,d существует линейная связь 3b–a=d, квадратичные уравнения исключениями сводятся к разрешимому относительно младшего уровня уравнению

9a2–10(a+d)2+18d2=0,


откуда a=(6sqrt(3)–10)d, берется меньший корень. Далее b=(a+d)/3, c=±sqrt(d2–b2).

Уровни регулярного решения не сливаются. Нормы обоих решений по прежнему близки. Матрицы первого десятка, таким образом, – уровневые, причем значения уровней можно получить аналитически точно как алгебраические числа – корни линейных и квадратичных полиномов с целыми коэффициентами.



Пирамиды Гиза – уровневость, древнее свойство

Rambler's Top100