М-МАТРИЦЫ ВТОРОГО ДЕСЯТКА


Тинайджеры – матрицы второго десятка. Для нахождения регулярных структур в функцию сжатия помимо насыщения вносится дополнительная нелинейность уровневая (т.е. насыщение снизу, для поиска C-матриц возможен и гистерезис) и тригонометрическая.



Функция коррекции элементов матрицы при разном сжатии p=0.5..1.


МАТРИЦА М11


Матрица M11 – регулярна.

M11=
  a 
  f 
  d 
  f 
  f 
  f 
  f 
  c 
  e 
  f 
  b 
  f 
 -f 
  b 
  a 
  f 
 -f 
 -c 
  e 
  d 
 -f 
  f 
  d 
  b 
 -f 
  e 
 -f 
  f 
 -a 
  f 
 -f 
 -c 
  f 
  f 
  a 
  e 
 -f 
 -f 
  f 
 -f 
 -f 
  c 
  b 
  d 
  f 
  f 
 -f 
 -f 
  f 
 -c 
  e 
 -d 
 -b 
  a 
  f 
  f 
 -f 
  f 
  f 
 -c 
 -e 
  d 
 -b 
 -f 
  f 
  a 
  f 
 -c 
 -a 
 -f 
  e 
  d 
 -b 
  f 
 -f 
  f 
 -f 
  c 
  e 
  f 
 -f 
 -d 
 -b 
  f 
  f 
  a 
 -f 
 -f 
  e 
  d 
 -f 
  c 
 -b 
 -f 
 -f 
  a 
  f 
  f 
 -f 
  f 
 -f 
 -c 
  b 
  a 
  f 
  f 
 -f 
  f 
 -d 
 -e 
  b 
  f 
  f 
  d 
  f 
  a 
 -f 
 -f 
 -f 
 -e 
 -c 


На этой матрице пора познакомиться с особенностями выбора начальных условий: ее проще искать, начиная с транспонированной матрицы Гильберта, что обеспечивается сменой знака амплитудного коэффициента (поскольку ее элементы зависят от разности индексов).

В условие ортогональности замешаны элементы a,b,c,d,e всех 5=(n–1)/2 ступеней, линейно зависящих от старшего параметра f (главного элемента).

6*f*f+e*e+d*d+c*c+b*b+a*a-1=0, 2*f*f-d*e+c*f-c*e-b*f-b*d-2*a*f=0,
d*f-2*b*f+a*f-a*d=0, f*f+e*f-d*f-c*f-c*d+b*f-b*e+2*a*f=0, f*f-2*e*f+2*d*f-c*f-b*c+a*f+a*b=0,
f*f-e*f-c*f+2*b*f-a*e-a*c=0, 2*f*f+d*e-c*f+c*e+b*f+b*d+2*a*f=0


Первое условие, это условие нормировки. Далее машина не обещает ничего хорошего, в смысле распутывания значений элементов в радикалах. Этот случай примечателен тем, что второй порядок стартует "как положено", с регулярной матрицы.

Правилом Сильвестра приведенная норма переносима на старшие порядки, вправо. Наличие малодисперсных (по уровням элементов) матриц низкой нормы позволяло бы находить альтернативу известным пропускам у C-матриц. Это касается уже не существующей C22, но у стартовой M11 приведенная норма еще слишком высока, чтобы решение

  M11 
  M11 
  M11 
 –M11  


претендовало на альтернативу (было бы оптимальным). Сам по себе довод о критичности значения приведенной нормы структурированных матриц справедлив и находит подтверждение на следующем порядке.

МАТРИЦА М13


Матрица M13 – хаотическая.

Точку зрения на то, что перед нами именно хаотический аттрактор (после серии бифуркаций) поддерживает теория нелинейных систем и известные фрактальные свойства адамаровых матриц, чья структура связана с треугольником Серпинского.



Увеличение числа полочек (и амплитуды их) с увеличением порядка матрицы


Этот случай подвергся тщательному изучению, поскольку принципиальная несходимость к уровневому варианту, потребовал осмысления. Слабая эмиссия элементов на соседние уровни, наблюдаемая у матриц M7, M9, приобретает здесь доминирующий характер.

Казалось бы, после пары иррегулярных матриц и следующей регулярной M11, следовало ожидать парного – такого же регулярного – решения. Это не так. Отчасти это объяснимо общностью матриц M9, M13, у них n=1 (mod 4).

Матрица M13 не заканчивает, а начинает новый цикл матриц, после адамаровой структуры A12. Начинает его падением приведенной нормы, достигающей некоторого критического, для структурированных матриц, значения. При p=0.15 и m=0.4 наблюдается замыленный ступенчатый вариант, но норма его выше оптимального.


Изменением функции насыщения в ветви обратной связи алгоритма были найдены иррегулярный двухуровневый и регулярный трехуровневый (две нижние полочки по три ступени в n=13 элементов) варианты, последних существует даже несколько.

У всех структурированных вариантов норма заметно выше оптимума, который легко запомнить: по прихотливой случайности пороговое значение близко 0.31 (корреляция порядка и порога нормы наблюдается и у M22).

Неоптимальный двухуровневый вариант легко находится при введении насыщения не только сверху, но и снизу (отталкиванием элементов от 0).

Этот локальный оптимум, в отличие от эфемерных трехуровневых структур, устойчив. Недостаток его состоит в том, что нижняя полочка хотя и кратна n=13, не подчиняется сформулированному для регулярных структур правилу. Кратность ее равна 9, а не (n–1)/2.

Впервые регулярную трехуровневую структуру нашел Л.А. Мироновский, в честь его она называется L-matrix (от Leo). Для этого впервые потребовалась S-образная функция насыщения, описанная вместе с базовым алгоритмом. Ниже поиск ведется от двухуровневой структуры.

МАТРИЦА М15


Матрица M15 ведет себя ровно также, как и M13. Лимит нормы на структуры исчерпан, некоторое различие наблюдается лишь в профиле.

На этом порядке устойчивой является трехуровневая регулярная структура и вылавливается несколько больший набор слабо устойчивых субоптимальных регулярных матриц.

МАТРИЦА М17


Матрица M15 ведет себя ровно также, как и M13, М15.

На этом порядке устойчивой является двухуровневая регулярная структура, субоптимальные регулярные матрицы не найдены.

МАТРИЦА М19


Матрица M19 ведет себя ровно также, как и M13, М15, M17.

На этом порядке субоптимальные регулярные матрицы не найдены, нет также, помимо известных квазидиагональных структур очень большой нормы никаких иных уровневых решений.

Общее заключение здесь такое, что профиль хаотической матрицы примерно одинаков и индифферентен к порядку, как и приведенная норма, изучение которой на высоких порядках представляет особый интерес.


Rambler's Top100