Делароше – Наполеон


НУМЕРОЛОГИЯ


Современные числа – не древняя конструкция. Отрицательные числа ввели в математический обиход Михаэль Штифель (1487–1567) в книге «Полная арифметика» (1544), и Николя Шюке (1445–1500). Обозначение множества Z происходит от немецкого слова Zahlen – «числа».

За числом стоит фатальность, рок, событие. Карл Юнг утверждал, что числа предшествовали сознанию и скорее открыты человеком, а не изобретены. По его мнению, числа, возможно, являются наиболее примитивным элементом порядка в мысли и подсознательно используются как организующий фактор.

Многие ученые согласны с тем, что любое возможное знание присутствует в уме в абстрактной форме. Цифры же – это некий язык, средство общения. Мы выражаем мысли с помощью языков, основанных на числовом символизме. Именно наука числе может обладать ключом жизни и сути бытия. Число понимается как термин, приложимый ко всем цифрам и их комбинациям.

Пифагорейцы верили, что все вещи есть числа и их составляющие есть составляющие всех вещей. Нумерологией увлекались физики Г. Гамов и П. Дирак, они верили, что можно найти некие достаточно простые соотношения между основными физическими величинами, которые смогут объяснить основные законы мироздания – увлечение, связанное у обоих с любовью к теории чисел.

ПРОСТЫЕ ЧИСЛА


Простое число – это натуральное число, имеющее ровно два различных натуральных делителя: единицу и само себя. Все остальные числа, кроме единицы, называются составными. Таким образом, все натуральные числа больше единицы разбиваются на простые и составные. Изучением свойств простых чисел занимается теория чисел. В теории колец простым числам соответствуют неприводимые элементы.

Последовательность простых чисел начинается так: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, …

МУЖСКИЕ И ЖЕНСКИЕ ЧИСЛА


Пифагор определяя число как энергию и считал, что через науку о числах раскрывается тайна Вселенной, ибо число заключает в себе тайну вещей.



Брунери Франсуа – восхищение ребенком


Четные числа Пифагор считал женскими, а нечетные – мужскими: 2+3=5 – это символ семьи, брака. Символ ванадия, 23-го элемента таблицы Менделеева, – V (римское 5).

В древности маги считали число 5 счастливым и священным. В Библии замечено, что алтарь Бога был пяти локтей длины и той же ширины. Жертва мира включала пять овнов, коз и агнцев. Было пять неразумных дев и столько же мудрых.

Пентакль Соломона, или пентаграмма, состоит из пяти лучей, изображающих человека с распростертыми руками и ногами. У нас – пять физических чувств, череп состоит из пяти костей, к тому же мы имеем на руках и ногах по пять пальцев. В астрологическом плане число пять соответствует Меркурию.

ЗОЛОТОЕ ЧИСЛО ХРОМОСОМ


Поговорим о 23. Золотое сечение числа 60 (количество минут в часе и секунд в минуте) дает числа 37 и 23. Таким образом, 23 минуты – обращенное золотое сечение часа, а 23 секунды – обращенное золотое сечение минуты. У человека 46 хромосом – 23 от отца и 23 от матери. В теле 230, а в руке – 23 сустава, в позвоночном столбе насчитывается 23 межпозвоночных хряща. Биоритмический цикл человека составляет 23 дня. Кровь совершает полный оборот в организме за 23 секунды. Человек – это, само по себе, еще и самое большое несчастье.



Неуклюжий парикмахер


Одним из вдохновителей помешательства на числе 23 был писатель Уильям Берроуз.

В 60-х годах он писал о своем знакомом капитане Кларке, который управлял паромом, соединявшим Марокко и Испанию. Как-то раз Кларк похвастался Берроузу, что за 23 года на его пароме не было ни одного происшествия... В этот же день паром затонул со всеми пассажирами и самим Кларком. Вечером Берроуз случайно услышал по радио, что потерпел крушение самолет из Нью-Йорка с бортовым номером 23. Самолетом управлял пилот капитан Кларк.

После этого писатель начал коллекционировать совпадения, в которых фигурировало число 23. А фразочка "Капитан Кларк приветствует вас на борту" теперь кочует из одного его романа в другой. Берроуз, в свою очередь, вдохновил эзотерика Роберта Антона Уилсона, написавшего об этом книгу "Космический триггер".

Джон Диллинджер ограбил 26 банков, но деньги забрал только в 23-х из них. Его застрелили в чикагском театре, находящемся в доме 2323 по Кларк-стрит. Другая звезда криминала, Артур Фленгенхаймер, более известный как Немец Шульц, умер 23 октября 1935 года. За год до смерти Шульц оплатил заказное убийство гангстера-конкурента Колла по кличке «Бешеный пес» – того застрелили в возрасте 23 лет.

В день смерти Шульца был ранен Кромпьер, король преступников Гарлема, который в момент ареста сказал полиции загадочную фразу: «Кажется, это одно из тех совпадений». Убийца Шульца, Чарли Уоркмэн, отбывал наказание в течение 23 лет, после чего был освобожден условно.

ОДИН МИГ И ОДИН СИГ


Едва ли число 1296=2x2x2x2x3x3x3x3 случайное.

Это число Фридмана (Friedman), 1296 можно получить арифметическими операциями с его цифрами 6(9-1)/2: таковы 25, 121, 125, 126, 127, 128, 153, 216, 289, 343, 347, 625, 688, 736, 1022, 1024, 1206, 1255, 1260, 1285, 1296, ... Его делители 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 27, 36, 48, 54, 72, 81, 108, 144, 162, 216, 324, 432, 648, 1296.

Сумма всех делителей 3751 (2455, без учета самого числа). 2455 больше, чем 1296, в теории чисел их называю избыточными, обильными (abundant number or excessive number).

Число 1296 выглядит как урожайный год. Читаем: султан Дели Ала-ад-дин Хильджи. Уничтожил своих противников из числа влиятельных иктадаров и отразил три монгольских вторжения. Неплохо, наверное, для султана. Целых три вторжения. Иктадаров, поди, еще и больше было. Шесть или три сотни. Неважно. Всех иктадаров.

А ведь корень из 1296 равен 36. Что то со школы знакомое. Шесть в квадрате! Температура тела (36.6).

Каждые сутки древних славян были разделены на 16 часов, каждый час содержал 144 части, в каждой части было 1296 долей, в каждой доле – 72 мгновения, в каждом мгновении – 760 мигов, в каждом миге – 160 сигов. Зачем славянам такая секунда? Разве мух рукою ловить. Но понадобилась. Может в прошлом они на космической тарелке прилетели? Вот откуда пошло – сигануть. Из другой галактики сиганули.

Кого заинтересовало – иктадары, владельцы икты. Земельного надела. Феодалы-собственники, помещики, сборщики дани с безыктового крестьянства.

СОВЕРШЕННЫЕ ЧИСЛА


Пифагорейцы рассматривали четное число, прототипом которого была диада, неопределенным и женским. «Четные числа, допускавшие раздвоение, казались более разумными, олицетворяли некоторое положительное явление», – писал Аристотель.

Четные числа Пифагор делили на 3 класса: четно-четные, четно-нечетные, нечетно-нечетные. Первый класс составляют числа 1,2,4,8,16,32,64,128,512 и 1024. Совершенство этих чисел Пифагор видел в том, что они могут делиться пополам и еще раз, и так далее до получения единицы. Второй – остальные четные числа. Третий – числа нечетные.

Четно-четные числа обладают некоторыми уникальными свойствами. Сумма любого числа терминов, кроме последнего, всегда равна последнему за вычетом единицы. К примеру, сумма четырех терминов (1+2+4+8) равна пятому термину (16) минус один, то есть 15.

По мнению Пифагора, совершенство числа зависит от его делителей (т. е. тех чисел, которые делят без остатка исходное число).

Например, делителями числа 12 являются 1, 2, 3, 4, и 6. Если сумма делителей числа больше самого числа, то такое число называется «избыточным». Например, 12 – избыточное число, так как сумма его делителей равна 16. С другой стороны, если сумма делителей числа меньше самого числа, то такое число называется «недостаточным». Например, 10 – недостаточное число, так как сумма его делителей (1, 2 и 5) равна лишь 8.

Числа, сумма делителей которых в точности равна самому числу, пифагорейцы считали особенно важными. Такие числа они называли совершенными.

Например, число 6 имеет делителями 1, 2 и 3 и, следовательно, совершенно, так как 1+2+3 = 6. Следующее совершенное число равно 28, так как 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28. По мере того как натуральные числа возрастают, совершенные числа встречаются все реже. Третье совершенное число – 496, четвертое – 8128, пятое – 33 550 336, шестое – 8 589 869 056, седьмое – 137 438 691 328.

БОГ СОТВОРИЛ ЗЕМЛЮ ЗА 6 ДНЕЙ


Совершенный характер чисел 6 и 28, имевший столь большое математическое значение для пифагорейцев, был признан и другими культурами, обратившими внимание на то, что Луна совершает оборот вокруг Земли каждые 28 дней, и утверждавшими, что Бог сотворил мир за 6 дней.

В сочинении «Град Божий» Св. Августин высказал мысль о том, что хотя Бог мог сотворить мир в одно мгновенье, Он предпочел сотворить его за 6 дней, дабы поразмыслить над совершенством мира.

По мнению Св. Августина, число 6 совершенно не потому, что Бог избрал его, а потому, что совершенство внутренне присуще природе этого числа. «Число 6 совершенно само по себе, а не потому, что Господь сотворил все сущее за 6 дней; скорее наоборот, Бог сотворил все сущее за 6 дней потому, что это число совершенно.

И оно оставалось бы совершенным, даже если бы не было сотворения за 6 дней».

СВОЙСТВА СОВЕРШЕННЫХ ЧИСЕЛ


Пифагор заметил, что совершенные числа не только равны сумме своих делителей, но и обладают некоторыми другими изящными свойствами.

Например, совершенные числа всегда равны сумме нескольких последовательных натуральных чисел. В самом деле, 6 = 1 + 2 + 3, 28 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7, 496 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + … + 30 + 31, 8128 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + … + 126 + 127.

Одно из его открытий состояло в том, что совершенство чисел тесно связано с «двоичностью».

Числа 4=2·2, 8=2·2·2, 16=2·2·2·2 и т. д. называются степенями числа 2. Все степени числа 2 чуть-чуть «не достают» до того, чтобы стать совершенными, так как сумма их делителей всегда на единицу меньше самого числа. Иначе говоря, все степени двойки слегка недостаточны: 2·2 = 4, делители 1, 2, сумма 3, 2·2·2 = 8, делители 1, 2, 4, сумма 7, и т.п.

Двумя столетиями спустя Евклид уточнил замеченную Пифагором взаимосвязь между двоичностью и совершенством.

Евклид открыл, что совершенные числа всегда кратны двум числам, одно из которых равно степени числа 2, а другое на единицу меньше следующей степени числа 2: 6 = 2·(4–1), 28 = 4·(8–1), ...

ИДЕАЛЫ


Числа, ведущие себя, в общем, алгебраически неправильно, иногда можно сгруппировать так, чтобы хотя бы группы их не нарушали арифметическое однообразие и о них можно было бы определенно высказаться. Название «идеал» ведет свое происхождение от «идеальных чисел» Куммера.

Кумер бежал к усечениям (идеальным числам), уходя от неоднозначностей, которые он считал второстепенными, ныне это понятие не используется.

Простейшими примерами идеалов может служить подкольцо четных чисел в кольце целых чисел. Для кольца R идеалом называется подкольцо, замкнутое относительно умножения на элементы из R. В кольцах вместо простых чисел изучаются простые идеалы, как обобщение взаимно простых чисел вводятся взаимно простые идеалы, можно доказать аналог китайской теоремы об остатках для идеалов.

В некотором важном классе колец (т.н. дедекиндовых) можно даже получить аналог основной теоремы арифметики: в этих кольцах каждый ненулевой идеал можно единственным образом представить как произведение простых идеалов и т.п., это иллюстративный материал алгебры.

ТЕОРИЯ МУЗЫКИ ПИФАГОРА




Диссонанс


Пифагор пришел к ним (числам), увлекаясь сначала музыкой. Занимаясь гармонией, пифагорейцы пришли к выводу, что качественные отличия звуков обуславливаются чисто количественными различиями длин струн или флейт. Так, гармонический аккорд при звучании трех струн получается в том случае, когда длины этих струн сопоставляются с соотношением чисел 3, 4 и 6. Такое же соотношение было подмечено пифагорейцами и во многих других случаях.

Разбирая вопрос о покрытии плоскости правильными одноименными многоугольниками, пифагорейцы нашли, что возможны только три случая таких покрытий: вокруг одной точки плоскости можно плотно уложить или шесть правильных треугольников, или четыре правильных четырехугольника (квадрата), или же три правильных шестиугольника.

Если обратим внимание на числа правильных многоугольников в этих трех случаях, то увидим, что их отношение равно отношению 6:4:3, если же возьмем отношение числа сторон этих многоугольников, то найдем, что оно равно отношению чисел 3:4:6.

На основе подобных наблюдений в школе Пифагора возникло убеждение, что во всей Вселенной явления подчинены вполне определенным числовым соотношениям, то есть существует "мировая гармония", что "элементы чисел являются элементами всех вещей и что весь мир в целом является гармонией и числом".

Математическое выражение закона Гармонии звуков легенда приписывает Пифагору и его ученику Архиту. Чтобы пояснить этот закон, возьмем музыкальный инструмент, состоящий из двух одинаковых струн, длину которых можно менять, прижимая их к грифу, подобно тому как это делает скрипач или гитарист.

Для своих исследований Пифагор использовал более удобный монохорд (в переводе с греческого - однострунный). Инструмент представлял собой четырехугольный ящик длиной около 1 метра, над верхней декой (доской) располагалась одна струна, ограниченная с двух сторон порожками.

Под струной располагалась двигающаяся подставка, которая позволяла изменять высоту звука.

Зажимая струну монохорда в отмеченных местах, Пифагор обнаружил, что между длинами получаемых отрезков и длиной целой струны существует определенное математическое соотношение.

Тоны, составляющие гармонические интервалы с первоначальным тоном, появляются только в том случае, если соотношение длин звучащей части и целой струны представляет собой соотношение целых чисел, к примеру, 2:1, 3:2, 4:3. Эти целочисленные соотношения - архетипы формы, выражающей гармонию и равновесие, и в этом качестве они фигурируют в культурах самых разных народов.

Совместное звучание, издаваемое струнами, наиболее благозвучно, если длины струн находятся в правильном численном отношении друг к другу: звучащие струны определяют консонанс, если их длины относятся как целые числа Тетраксиса, то есть как 1:2, 2:3, 3:4. Причем чем меньше число n в отношении n:(n + 1) (n = 1, 2, 3), тем более гармоничным кажется созвучие.

В Средние века эти созвучия были названы совершенными консонансами, это: октава (если длины струн относятся как 1:2), квинта (если длины струн относятся как 2:3), кварта (если длины струн относятся как 3:4).

На основе этих созвучий была построена совершенная пифагорова гамма.

Пусть звучание двух струн образует октаву. Звуки, издаваемые струнами, сопоставим с нотами «до» первой и второй октав. Пусть далее одна струна звучит как нота «до» первой октавы, а вторая составляет с ней квинту, – назовем ее звучание нотой «соль» первой октавы.

Точно так же нотой «фа» первой октавы назовем звучание струны, составляющей квинту с нотой «до» второй октавы. Ноты можно графически изобразить на отрезке прямой, как это сделано на рисунке слева внизу.

Расстояние между нотами назовем интервалом, он измеряется отношением длин звучащих струн.

Так, интервал между нотами «до» первой и второй октав равен 2:1, это октава; интервал между «до» и «соль» первой октавы, так же как и между «фа» первой и «до» второй октав, равен 3:2, это квинта.

Тогда окажется, что «до» и «фа» первой октавы и «соль» первой и «до» второй октавы образуют кварту. Интервал между нотами «соль» и «фа» составляет тон, он равен 9/8, полутоновый же интервал имеет величину 256:243.

На основании этого строится вся октава. Именно эту гармонию признают музыканты с идеальным слухом.

ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ



Как же, без него, q=(√5+1)/2=1.6180339.. Прямоугольник в этой пропорции, разделанный квадратом, воскресает. Алгебраически это записывается обычно так: (a+b):a=a:b.

Для художников с математическим складом ума отношение величин при золотом сечении выражается постоянным иррациональным числом 1.6180339.., обозначаемым греческой буквой Ф – по первой букве имени греческого скульптора Фидия. Золотое сечение – не единственный способ получения гармоничных пропорций.

Числа Фибоначчи – элементы числовой последовательности 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, ... в которой каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел. Название по имени средневекового математика Леонардо Пизанского (известного как Фибоначчи). Отношение же, что легко проверить, стремится к золотому сечению.

Важную роль при делении пространства имеют некоторые сочетания, основанные на простом квадрате. Из квадрата, являющегося естественной частью прямоугольника золотого сечения, может быть построен прямоугольник √2, который образуется проведением дуги радиусом, равным диагонали квадрата.

Этот прямоугольник иногда путают с прямоугольником золотого сечения. Возможно, путаница произошла по вине группы кубистов, использовавших прямоугольник √2 назвавших свою выставку 1912 г. в Париже La Section d'Or ("Золотое сечение").

Этот прямоугольник составляет основу для форматов серии А принятой в качестве стандарта в Европе и Великобритании. Самый распространенный А4 (210х297 мм).

Квадрат также играет ключевую роль в модульной системе японского национального дома, которая исходит от размера соломенных циновок-"татами". Пропорция двойного квадрата соломенных циновок размером приблизительно 3х6 футов (0,91 х 1,83 м) делила площадь пола на различные залы, что создавало удивительное разнообразие асимметричных форм в традиционных японских домах.

Простейший прямоугольник, квадрат, был, пожалуй, для современных художников более важным фактором в развитии сетки, чем золотое сечение или любая другая система пропорций.

Ищите и обрящете. В правильной пятиконечной звезде каждый отрезок делится пересекающим его отрезком в золотом сечении.


ИНТЕРНЕТ ЛИТЕРАТУРА


Знаменитые в истории математики соотношениями, см. реферат Пифагор | Число 12.

Rambler's Top100