ГРЕЧЕСКИЙ МИР




Ф.А. Бронникова. «Гимн пифагорейцев восходящему солнцу» (1869)


ВВЕДЕНИЕ


Надо отметить, что "египетская дробь" не знает числителя. Египтяне привыкли делить одно яблоко на компанию, но не три и не пять. Распространенные две-трети еще встречаются у них, в иероглифах. Принято считать, что отношением m:n уверенно оперируют именно греки. Однако это еще не столько арифметическая дробь, сколько отношение отрезков, обозначаемых на чертежах буквами. Традиция хорошо известна, сохранившись в учебниках геометрии современной школы. В становлении греческой науки многие источники отдают пальму первенства мифическому Фалесу, затем его последователю, Пифагору, посетившему Египет и Вавилон. Пифагор вернулся и основал союз пифагорейцев.


Судьба Пифагора и его "магического" союза имела печальный конец, потому что идеология, лежавшая в основе деятельности союза, неуклонно вела его к гибели. Союз состоял главным образом из представителей аристократии, в чьих руках было сосредоточено управление городом Кротоном, и это оказывало большое влияние на политику. Между тем в Афинах и в большинстве греческих колоний вводилось демократическое управление, привлекавшее все большее число сторонников. Демократические движения стали преобладающими в Кротоне. Пифагор со своими сторонниками вынужден был бежать оттуда. Но это уже не спасло его. Будучи в городе Мерапонте, говорят, он, восьмидесятилетний старец, погиб в стычке со своими противниками.

ПИФАГОРЕЙЦЫ


Пифагорейцы известны открытием гармонии. Длины союзно звучащих струн в аккорде соизмеримы, их отношения передаются простыми пропорциями. Открытие сложило науку, относимую к высшим занятиям, достойным богов. Чувство прекрасного необъяснимо, оно иррационально и божественно. Оно покоряет всех, даже животных: медведи дергают вместо струн щепу, зачарованные своим ревом и звучанием расщепленного дерева.

Числа древних складывались из потребности обозначать количества, для счета они мало приспособлены. Греки обозначали числа буквами алфавита. У египтян ближайшее основание (укрупнение числа), это десятка (сноп). Цифры до единицы они обозначали палочками. Римляне перевернули сноп и приблизили к началу, обозначили им пятерку V. Попробуйте сложить хотя бы IX и XVI, например. Египетским писцам ставили памятники.

Из четырех предметов древности низшие арифметика и геометрия служили подготовительным знанием к восприятию высших двух: музыки и астрономии. Поисками гармонии Вселенной, звучания небесных сфер, наполнена история человечества. На этом пути впоследствии открыты законы Кеплера и Ньютона. Последователи Пифагора выделили за числами (пропорциями) некоторое организующее саму гармонию начало.

Они обожествили число и числовые отношения. В гармонично сложенном человеке все должно быть точно также подобрано, как в музыкальном инструменте. И так все, чего ни возьми. Здания, пирамиды, все должно подчиняться общей логике.

Пифагоровы тройки – целочисленные длины сторон прямоугольных треугольников, важнейшая тройка (3,4,5).

32 + 42 = 52



Их находят на глиняных таблицах – их знали цивилизации Египта, Вавилона и другие, поэтому современное название условно.



Фотография пирамиды с пропорциями (3,4,5)


Веревка, разделенная узлами на 12 частей, при соответствующем натяжении образует треугольник с прямым углом. Неизвестно точно, впрочем, чем именно пользовались древние при возведении своих колоссальных и идеальных архитектурных сооружений.

Пифагорова теорема – утверждение, что квадраты, построенные на катетах, равновелики по площади квадрату, построенному на гипотенузе. Относят к одной из самых великих теорем древности.

Поскольку в том времени нет еще ни приемлемых операций с числами, ни развитого описания числа (цифры обозначались буквами), теорема более геометрическая, оптическая, смысловая. Недаром ее любят в углубленной в созерцание Индии, где доказательство не оперирует словами (иди и смотри). Перед нами именно площади, а не квадраты чисел.



Доказательство теоремы Пифагора


ОТКРЫТИЕ НЕСОИЗМЕРИМОСТИ


Несоизмеримость диагонали и стороны квадрата – следующее открытие, его иногда приписывают Гиппасу, он же – жертва пифагорейцев.

В одних исторических заметках легкомысленный Гиппас гибнет в море, разгласив эту чужую доверенную ему тайну, в других он – сам трудолюбивый первооткрыватель, поэтому, собственно, непонятно, почему он гибнет. За то, что открыл?

Египетская традиция хранения "тайного знания", подцепленная Пифагором в его странствиях: он должен был видеть пирамиды и колодцы без дна в них. Отсюда берет начало знание иной иррациональности, отличной от музыки, оцениваемой как разрушительная сила для той же высшей науки о гармонии.

Какая может быть гармония, когда у первого встреченного простейшего прямоугольного треугольника (1,1,2), диагональ несоотносима со стороной?

Не образует никаких пропорций, трагедия. Разумеется, это надо было еще доказать. И древние это доказательство предоставили. Аристотель и Платон (в переводе – широкоплечий): источники подобных первых сведений по вполне мифической еще истории математики. В их книгах изложена суть противоречия.

Вселенная, только что пойманная в сети пропорций, оказалась ускользающе бесконечна, ее не передать конечными отношениями.


Неприятное столкновение с действительностью


Пифагор известен пиром, на котором скушали сто быков. Гиппас – не менее знаменитым утоплением, в реке или в море. Достойная эпитафия (1,1,2).

Версии древнего преступления множатся, в некоторых намекается, что Гиппас – это сам Пифагор, поскольку он тоже погиб от гнева граждан в том самом городе, в котором проживал Гиппас из Метапонта, при печальных сопутствующих тому обстоятельствах. Позднее могли и перепутать, тем более, личности то, вполне мифические. Но где Пифагор с его обобщением (3,4,5), там и Гиппас с его упрямым (1,1,2).

АПОРИИ ЗЕНОНА


Выявленные противоречия собраны Аристотелем в так называемые апории Зенона. Ахиллес не догонит черепахи, поскольку когда он добежит до того места, где она была, она отползет. Так повторится бесконечное количество раз. Летящая стрела покоится, поскольку она не может сдвинуться.

Размышления о неисчерпаемой бесконечности оседлали философы позднейших времен. Аристотель посоветовал неисчерпаемости исчерпаться, и тем, как бы, закрыл тему.

Важно понять, зачем еще это было нужно, изобретать такие необычности. Зенон вместе с его учителем, Парменидом, – стоики. Стоики проповедовали свои идеи, стоя у стены, в портике, проходящим мимо гражданам. Чем можно занять сознание прохожего? Парадоксальность, да, но она выглядит не более, чем как изящный словесный трюк.

Мысль повернулась так, ну и что? Парменид, как, впрочем, и вся античная философия, положительно решал вопрос о жизни после смерти. Каждое мыслящее существо так или иначе занимает вопрос своего существования.

Этот предмет разбирается разумом, его суждения двойственны. Одни мысленные конструкции ведут себя как известная нам Вселенная, другие – относятся к Вселенной, существующей в воображении, но которая, что важно, вполне могла бы существовать.

Возьмем простой пример. Диагональ квадрата невозможно приблизить длиной ломаной линии. Что остается, кроме узлов в лестнице с бесконечным количеством ступенек, непонятно, но ее длина упорно равна сумме длин катетов.

При том, она сливается с диагональю. Выходит, что диагоналей – две. Вторая, которая из одних узлов, не подчиняется теореме Пифагора. Не пифагоровых треугольников не существует? Но именно их мы наблюдаем сейчас на экране дисплея. Уж у пиксельного квадрата сторона точно соотносима с диагональю, причем еще обе состоят из равного числа точек.

Как тогда быть с атомизмом? Как сочетать учение Демокрита о кусочности всего сущего с элементарными геометрическими упражнениями, противоречащими этой основе?

Выходит так, что и то и другое, они сосуществуют и мирятся, при видимой невозможности взаимного существования. Коль скоро запредельное существование мыслимо, то, тут все как с треугольником. Исследование микромира и макромира с их причудливыми законами, повысило интерес к прежде устойчиво игнорируемым порождениям ума.

Все это вызывает раздражение у честных логиков. Возьмите гневные реплики Чернышевского в его письмах из ссылки в назидание подрастающему поколению в отношении попыток пересмотреть постулаты Евклида.

"Лобачевского знала вся Казань, – писал он из Сибири сыновьям, – вся Казань единодушно говорила, что он круглый дурак... Что такое "кривизна луча", или "кривое пространство"? Что такое "геометрия без аксиомы параллельных линий"? [В.В. Набоков, Дар]

Теорема Пифагора и апории Зенона общи в том, что для того, чтобы получить верное числовое описание предмета, помимо напрямую интересующих нас длин сторон треугольника или пройденных Ахиллесом, черепахой или стрелой расстояний, надо вводить новые сущности: в одном случае площади, в другом – скорости.

Наш школьный учебник благополучно выводит нас в точку встречи двух пешеходов или велосипедистов, пряча для убедительности от школьника главное. Изначально в основу рассуждений о встрече берутся скорости. Для этого объясняется заранее, что такое скорость. То, что если рассуждать в пройденных расстояниях, путники никогда не встретятся, подрастающий человечек узнает позже. Потом.


A delicate balance – деликатное балансирование


Прагматизм образования, незаметно убирающий преграды, о которые можно споткнуться раньше положенного на то срока, играет тут некоторую негативную роль, тормозящую понимание предмета во всей его сложности. Возможно, что наиболее упертые двоечники рассуждают как Зенон. За что их наказывать?

За то, что они не повторяют, как попугаи, сказанное? Ситуация обстоит не лучше, чем с Гиппасом, погиб ни за что.

До греков, у которых не было учителей, помимо не умеющих взять дробь египтян, истина, подаваемая в неискаженном ее виде, дошла естественным путем. Они же сложили удачный миф о разрешении непримиримых противоречий.

Некий Гордий предлагал окружающим развязать запутанный морской узел, который узлом, на самом деле, не был, лишь внешне напоминая узел. Как таковой связать, непонятно, но природа с легкостью вяжет нераспутываемые никак узлы.

Александр Македонский, как известно, разрубил клубок Гордия мечом.

Иногда в рассмотрение необходимо брать, без рассуждений, площади и скорости, тогда решение задачи получится. В том то и дело, что иногда так, иногда этак. Мир дробится на части, между ними – пропасти.

Модель хороша тогда, когда она ухватывает суть приближения, но как об этом судить? В отличие от диагонали треугольника, длину окружности оценивают, аппроксимируя ее многоугольниками. Тут ломанная линия прекрасно работает. Почему? Мы уже знаем, что при любом числе сегментов она остается сомнительным инструментом.

Диагональ (атрибут плоской фигуры) – уже не линия, но еще и не плоскость. Эта ветвь математики породила представление о дробной размерности пространства.

Тем не менее, диагональ, она "прямая", а окружность в каждой точке "подворачивает". Она родственнее, тем самым, скорее, ломаной, чем прямой. Размышляя об этом, Ньютон ввел для анализа "тенденций" флюенты и флюксии, Лейбниц – функции и их производные.

НЕРАЗРЕШИМЫЕ ЗАДАЧИ ДРЕВНОСТИ


Известны еще три классические неразрешимые задачи древности. В них греки щепетильно привязали неразрешимость к инструменту решения.

Квадратура круга – задача, заключающаяся в нахождении построения с помощью циркуля и линейки квадрата, равновеликого по площади данному кругу.

Трисекция угла – задача о делении заданного угла на три равные части построением циркулем и линейкой. Иначе говоря, необходимо построить трисектрисы угла – лучи, делящие угол на три равные части.

Удвоение куба – классическая античная задача на построение циркулем и линейкой ребра куба, объём которого вдвое больше объёма заданного куба.

Все три задачи неразрешимы. Это доказали позднее, иначе бы не было утомительных тысячелетних поисков. Элементарный механический способ нахождения квадратуры круга с помощью комка теста и скалки предложил наблюдательный Леонардо Да Винчи. Любая домохозяйка без труда решает задачу, раскатывая тесто.

АЛЕКСАНДРИЙСКАЯ ШКОЛА


Из древних авторов, известных своими капитальными трудами (хотя бы в близких оригиналу переложениях), выделяют двух математиков.

Евдокса, изучавшего множества (острова) чисел, соизмеримых между собой. Каждый такой остров описывает свою утрированную одномерную Вселенную. Объем настоящей неизбежно порождает стайки описаний, нечто одно не годится. Острова разделены тем, что между их представителями нет пропорций. Таким образом пропорциям был возвращен некоторый смысл, они стали индикатором разрывности.

Евклида, известного каноническим учебником геометрии, в котором из квадратичных кривых рассматривался только круг: возможно, поэтому астрономия так долго ждала Кеплера. Евклид или его современники, у которых он взял эту идею, развили учение о пропорциях, предложив остатком от измерения длины пути, скажем, в шагах, измерять сам шаг.

Мы прошли весь путь за столько то шагов, а остаток пути уместился в шаге еще столько то раз. Все вполне определенно. Не требуется иная мера. Если останется второй остаток, процесс можно продолжить, все более измельчая меру измерения. Путь и шаг измеряются сходным образом, поочередно меняя смысл меры. По сути, перед нами вложенная в пропорцию пропорция.


Евклид Рафаэля Санти


Так греки изобрели свой первый алгоритм со сходными между собой на шагах его итерациями, называемый алгоритмом Евклида в честь первоописателя его. Алгоритм позволял геометрически (что было легче грекам) или арифметически (позднее, арабам, европейцам) проверять соизмеримость отрезков или численных величин.

АРИСТАРХ, АРХИМЕД, ЭРАТОСФЕН, АПОЛЛОНИЙ


С учением о пропорциях связывают еще четыре имени знаменитых александрийцев: Аристарх и Архимед, Эратосфен и Аполлоний.

Еще Анаксагор, предположив, что Луна напоминает тучу, отбрасывающую тень, оценил ее величину элементарным сбором сведений о территории, с которой было видно полное солнечное затмение. Это дало первый оценочный размер космических объектов. Оказалось, что Луна (и спрятавшееся за ней Солнце) заметно больше баскетбольного меча.

Аристарх взяв в измерение положения Луны и Солнца, когда видна четверть Луны, решил задачу с прямоугольным треугольником. Хотя лунный диаметр оказался у него втрое меньше земного, диаметр Солнца в семь раз превзошел диаметр Земли. Этот аргумент положил начало спорам, что вокруг чего ходит и вертится. Очаг вокруг вертела, или вертел ходит относительно пламени.

"Альфа" и "Бета" в математике, это Архимед и ученик Аристарха, Эратосфен.

Архимед, современник Евклида, помимо легиона решенных им задач, в своем трактате "Об исчислении песчинок" поставил принципиальный вопрос о несовершенстве записи числа. Второй известен "решетом Эратосфена" – рассуждением, позволившем построить таблицу простых чисел, и замеченными в ней парами близнецов: 11 и 13, 29 и 31, 41 и 43 и т.п.

Эратосфен оценил радиус Земли по высотам полуденной тени, отбрасываемой одним предметом в двух городах, лежащих на одном меридиане. В другом изложении он заметил, что не везде Солнце смотрит на дно колодца. Для измерений можно использовать в равной мере и кол и яму. Диаметр получился внушительным, хотя это и так ясно.

Астрономов среди древних было много, Гиппарх сумел оценить расстояние до Луны. Планеты в своем движении по небосводу блуждают, делая петли. То же самое происходит с пятном на колесе. Двигаясь вместе с осью колеса вперед, периферийное пятно имеет и обратный ход. Гиппарх описал движения планет эпициклами так, как если бы они сидели на ободе катящегося по небу колеса.

По сути, он предвосхитил анализ Фурье, построив также таблицы аналогов будущих синусов. Через триста лет Клавдий Птолемей удачным учебником "Правила Великого Учения" ("Мегале Математике Синтаксис") на века закрепил достижения Гиппарха, используя для этого относительно простую геоцентрическую модель.

Аполлоний работал с геометрическими объектами, лежащими за пределами курса элементарного учебника: с коническими сечениями (эллипс, парабола, гипербола). Сложная геометрия не была по достоинству оценена современниками. Ее взял на вооружение Кеплер, развивая учение Коперника, который вернулся к воззрениям Аристарха.

Расцвет александрийской школы принес первые классические учебники чистой и прикладной геометрии Евклида, Птолемея, Аполлония, оказавшие влияния на века.

ДИОФАНТ


Основой алгебры и теории чисел называют книгу Диофанта "Арифметика". Заметками на полях его книги начинается издание средневековых трудов Ферма (сыном Ферма). Диофант дает рецепт нахождения пифагоровых троек, изложенный еще у Евклида более архаичным еще языком. Ученый оперирует уже нулем и отрицательными числами: он знает, что "минус, умноженный на минус, дает плюс".

Римляне, многое сделав в воинском деле и архитектуре, в теории чисел оказались всего лишь учениками своих предшественников. Но их соборы, виадуки и дороги сумел догнать лишь предприимчивый XIX век. В 642 году арабы изгнали византийцев из Александрии, овладев остатками знаменитой библиотеки (ее постарались сжечь за два года до этого). Математик из Багдада, Мухаммед бен Муса ал-Хорезми, называемый также ал-Маджуси, существенно отошел от геометрических интерпретаций, в его времени появилась новая опора: позиционная арифметика.


Индийская позиционная премудрость, шахматы


Он написал арифметический трактат "Книга об индийском счете", алгебраический трактат "Краткая книга об исчислении аль-джебры и алмукабалы", географический трактат и составил астрономические таблицы. Оба математических трактата ал-Хорезми были переведены на латинский язык средневековой Европы и служили долгое время основными учебниками по математике. Наступил новый век, век войн, ремесел и географических открытий.


Новый наряд



Rambler's Top100