МАТРИЦЫ АДАМАРА-МЕРСЕННА

Балонин Н.А.



МАТРИЦЫ: АДАМАРА | МЕРСЕННА | ЭЙЛЕРА | БЕЛЕВИЧА | ФЕРМА

В наши дни Мерсенн известен более всего как исследователь «чисел Мерсенна», играющих важную роль в теории чисел, криптографии и генераторах псевдослучайных чисел. Однако Мерсенн – один из первых, кто оценил скорость звука. Он описал схему зеркального телескопа, позднее реализованную Ньютоном. Основываясь на его исследованиях, французский математик Жозеф Совёр объяснил феномен обертонов. Мерсенн также издал перевод на французский язык «Механики» Галилея (1634), редактировал издания Евклида, Архимеда и других античных классиков.


МАРЕН МЕРСЕНН [2] | ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ [2] | МАТРИЦЫ БЕЛЕВИЧА
ЧИСЛА ФЕРМА | ЗАГАДКИ ЧИСЕЛ ФЕРМА | ЭНЦИКЛОПЕДИЯ


Отметим, что нормирование столбцов матриц Адамара и сходных им нарушает условие простого вида их элементов. Для простоты их далее будем называть иногда ортогональными, имея в виду, что ортогональный в строгом смысле этого слова вариант всегда есть, он порождается нормированием. В теории ортогональных базисов такого различия нет и ничего оговаривать не надо. Нормированный вариант отличается здесь специальным термином: ортонормированный базис. Для вычисления m-норм служит, естественно, матрица с нормированными столбцами.

СТАТЬИ О МАТРИЦАХ СЕМЕЙСТВА АДАМАРА



Балонин Н. А., Сергеев М. Б. Матрицы Мерсенна и Адамара // Информационно-управляющие системы. 2016. № 1. С. 2–15.
Балонин Н. А., Сергеев М. Б. Матрицы Мерсенна и Адамара, произведения // Информационно-управляющие системы. 2016. № 5. С. 2–XX (в печати).
Балонин Н. А., Сергеев М. Б. Матрицы локального максимума детерминанта // Информационно-управляющие системы. 2014. № 1. С. 2–15.

Теория соответствия чисел и матриц ортогональных базисов


Гипотеза Адамара: матрицы Адамара существуют для всех порядков n=4k. Она закладывает основы теории соответствия чисел и ортогональных базисов, речь идет об оставшихся трех соседях матриц Адамара. Это исследование вопрос проясняет.

Числа 4k+1 и 4k+3 (4k–1) ввели в научный обиход Ферма и Эйлер. Ферма утверждал, что всякое простое число вида 4k+1 может быть представлено в виде суммы двух квадратов, причем единственным образом (простые числа вида 4k+3, как легко показать, не представляются в виде суммы квадратов). Эйлер устанавливает, что верно и обратное: если представление n в виде суммы квадратов существует и единственно, то n – простое число.

Минимаксные матрицы ортогональных базисов (М-матрицы) с минимальным числом уровней дают, в зависимости от остатка r деления порядка n на 4, четыре случая:

– матрицы с r=0, матрицы Адамара H, включающие матрицы последовательности Сильвестра.
– матрицы с r=1, матрицы Ферма F, включающие порядки из последовательности чисел Ферма.
– матрицы с r=2, матрицы Эйлера E (и Белевича C, с исключениями на основе критерия Эйлера).
– матрицы с r=3, матрицы Мерсенна M, включающие порядки из последовательности чисел Мерсенна.

Гипотеза Балонина: матрицы Мерсенна существуют для всех порядков n=4k+3 (4k–1).

M-матрицы включают H, F, E, M множества матриц ортогональных базисов, в которых последовательности Сильвестра и Мерсенна являются системообразующими. Оценки плотности охвата матрицами числовой оси питаются, соотвественно, сходными гипотезами: гипотеза Адамара (перенос свойств последовательности на H), гипотеза Балонина (перенос свойств последовательности на М и связанных с ними E). Получается общая, для числовой оси, теория минимаксных ортогональных базисов.



Типичные профили матриц Мерсенна M15 и Ферма F17


Более подробно. В теории матриц Адамара на случай порядков 4k+1, 4k–1 (4k+3) можно выделить два тесно связанных с ними класса, два продолжения – матрицы Мерсенна и Ферма. Так как обе матрицы удвоением порядка и отрезанием каймы дают матрицы ортогональных базисов четного порядка, они закрывают и порядок 4k+2, иногда сосуществуя на нем.



Взаимная вложенность матриц и базисы структур




Построение двухуровневой матрицы F13 на базисе двух структур


Четные версии можно назвать матрицами Эйлера, они, как пары транзисторов, компланарные Мерсеннам. Они сосуществуют, в том числе, и с диагональными матрицами Белевича, которые заведомо хуже матриц Адамара, но лучше по m-норме матриц Эйлера, что придает им вес. Поэтому есть отдельная задача поиска аналогичных матриц и среди нечетных порядков, имеющих признаком – более оптимальную норму.

Такие матрицы найдены, в отличие от матриц Адамара, Мерсенна и Ферма они многоуровневые, но уровни имеют тенденцию образовывать диагональ (родство с латинскими квадратами, как у матриц Белевича).

Пока на некоторых четных порядках (n=34, 58) альтернатив матрицам Эйлера нет. Они лучшие, как и матрицы Адамара, среди уровневых структур. Иногда альтернатива имеется, на порядках n=22, 66 есть аналоги матриц Белевича, обладающие признаками латинских квадратов.






МАТРИЦА АДАМАРА H16




Зависимость приведенной нормы m*sqrt(n) минимаксных матриц


ПОСТРОИТЕЛЬ ГРАФИКА НОРМ В VISUAL MATLAB [BOX]




Стоит отметить, что если у вас не ищется матрица, отвечающая вашим представлениям или вид ее нехорош и не укладывается в прокрустову "теорию" – не надо огорчаться. Скорее всего, ее специфика отражает особенности числа, для которого она построена. Это его матричная характеристика. Ортогональный базис этой размерности имеет такие особенности. Ничего не поделаешь. Значит, таким это дитя уродилось, а вы его открыли. Едва ли изобрели. Это, все таки, открытие. Однако же, как в вечное изображение попал вензель буквы Ф, уму не постижимо.


Опус Адамара – интуиция и открытие (странно, но эта тема независимо вполне была выбрана в годы аспирантуры за тему реферата). Довольно много пересечений, по корректности задач (вырожденные задачи линейной алгебры и т.п.). Зачем это вообще нужно. Креативная гипотеза значит в науке не меньше (а, порою, и больше), чем ее доказательство (вспомним "теорему" Ферма). Ведь она стимулирует поиски. То, что числа сопровождаются своеобразными их тенями – ортогональными матрицами – новый аспект теории чисел. Между тем, базисы, это основа-основ теории матриц.

ЧИСЛА И МАТРИЦЫ МЕРСЕННА


Числа Мерсенна – довольно важные в теории числа, с ними ассоциированны минимаксные ортогональные матрицы. Выделяет их (матрицы) то, что приведенная норма стремится к 1. Это сильное обстоятельство. Второе, что их возвышает над остальными матрицами – хаотичность оптимальных матриц. Третье, что их выделяет – они двухуровневые, как и Адамара матрицы. Четвертое, что их выделяет – тесная связь с такой всемирно признанной наукой, как теория чисел. Быть тенями чисел Мерсенна – довольно серьезное занятие, для ортогональных матриц.


Матрицы Мерсенна аналогичны основной (сильвестровой) последовательности матриц Адамара (функция hadamard(n) в Matlab, n=2k), их порядки – числа Мерсенна n=2k–1.

Сопровождающие числа Мерсенна n=2k–1 (1,3,7,15,31,63,127,255,.. ) ортогональные бинарные матрицы, получаемые рекурсией по порядку [M M; M M*] с дополняющей каймой, где M* – матрица с двумя уровнями переставленными по отношению к исходной M. Уровни a и –b, b=a/2 при n=3, b=(p±sqrt(4*p))a/(p–4), p=n+1 (главное значение при минусе), удовлетворяющими характеристическому уравнению q(a–b)2–b2=0, где, q=(n+1)/4 (q–1 – число Мерсенна) или

(q–1)b2–2qab+qa2=0,



kМатрицаУравнениеУровни
1M1b=ab=a
2M32b–a=0b=a/2
3M7b2–4ab+2a2=0b=(2±√(2))a
4M153b2–8ab+4a2=0b=2a/3 и b=2a
5M317b2–16ab+8a2=0b=(8±2√(2))a/7
6M6315b2–32ab+16a2=0b=4a/5, b=4a/3
7M12731b2–64ab+32a2=0b=(32±4√(2))a/31
8M25563b2–128ab+64a2=0b=8a/9 и b=8a/7


Пусть n=3+4*K, b=((K+1)±sqrt(K+1))/K.
Также: b=2(k/2–1), a=b+1; иррациональные уровни: b=(B–C*sqrt(2))a/(B–1), C=2(k–3)/2.
m-норма изменяется по формуле m=sqrt(2/((n–1)*b*b+(n+1))), m*sqrt(n)=sqrt((3*b–1)/(b*b*(b+1))).



Матрицы Мерсенна M15 и M63


Минимаксные ортогональные матрицы, полученные в процессе исследований в этой сети, при использовании – ссылка обязательна (Н.А. Балонин, Л.А. Мироновский, М.Б. Сергеев).

ИСПОЛНЯЕМЫЙ АЛГОРИТМ ВЫЧИСЛЕНИЯ МАТРИЦ МЕРСЕННА

Порядки 1,3,7,15,31,63,127,255,..

График приведенной нормы матриц Мерсенна:





МАТРИЦА ФЕРМА F5






МАТРИЦА ФЕРМА F17






МАТРИЦА ФЕРМА F9


ВНУТРЕННЕЕ СТРОЕНИЕ МАТРИЦ


M=
 –λ 
v
 v' 
S


Стоит обратить внимание, что условие ортогональности не нарушается с любым собственным числом λ и собственным вектором v матрицы S, но только одно из них (вместе с собственным вектором) сохраняет тот же уровень, что и вся матрица, чем и выделено.

При удвоении порядка S=[A B; C D], A=M, B=M, C=M, D=M*, тогда как для самостоятельной ортогонализации S имеем D=–A, получаем матрицу порядков матриц Белевича (матрицы Мерсенна-Белевича) с уровнями

b=(q-sqrt(8*q))a/(n-6), q=n+2


Между матрицами Мерсенна-Белевича и обычными матрицами Белевича обнаружен слой матриц, у которых половина полочки b убежала в a, в итоге значение b опустилось вниз – тянется к 0. У М10 два элемента строки равны нулю 00. У M14 полочка b>0, три элемента в строке тянутся к 0. Это заметные двухуровневые матрицы, они вдвое уже Мерсеннов-Белевичей. За оптимальность они платят симметрией (но не всегда), это переходная стадия.

(q-1)*b*b-2*q*a*b+(q-1)*a*a=0, q=(n+2)/8, b=(q-sqrt(2q-1))*a/(q-1)


Длина полки у Мерсеннов (n-1)/2, у четных (n-2)/2, и она сужается вдвое, если n+2 делится на 8. Перестановками удалось совместить такого четного Мерсенна и Полу-Белевича. Это означает, что на многих порядках n+2 кратных 8: на 6, 14, 22 (!), 30, 38, 46, 54, 62, ... четные Мерсенны спокойненько прогрессируют до полу-Белевичей.


Их уровневая полка убывает вдвое и опускается вниз ! Внедиагональные ДВЕ крупные клетки идут ровно к элементам {+1, -1}. У диагональных клеток уровень b -> 0 (достигая 0 у 6, тут полу-Белевич и Белевич - это одно и то же). Т.е. нашлись симметричные обобщения Белевича! Попытаемся его еще более сузить. На 6-м порядке сужать нечего, уже Белевич. На 14-м порядке давление на полку дает ТРЕХуровневую матрицу !!!! И еще давление дает Белевича. На 22-м порядке давление на полку дает ШЕСТИуровневую матрицу M22 !!!! И лучше ее нет.. Вот она.. логика



Значение этих матриц проще изучить на примере матриц Белевича 6-го порядка


матрице Мерсенна отвечает матрица с более узкой щелью (вдвое, если позволяет размерность), которая расщепляется в свою очередь на две полочки, одна (уровня c) едет вниз, другая (уровня b) – вверх b=(a-c)a/(a+c).


Получаем обычного Белевича (силен по норме) при c=0, b=a ! При с=a/2, b=с=a/2 получаем почти мерсенновского Белевича (слаб по норме). Иными словами, матрица Белевича, это финальная фаза континуума решений.

Пример 1. Матрица Мерсенна: одна итерация модифицированного алгоритма Сильвестра дает

M=
  a 
 –b 
  a 
  –b 
  a 
  a  
  a 
  a 
  –b 
;
M
M
M
 M* 
=
a
 –b 
  a 
  a 
 –b 
  a 
  –b 
  a 
  a 
  –b 
  a 
  a 
  a 
  a 
  –b 
  a 
  a 
  –b 
  a 
 –b 
  a 
  –b 
  a 
  –b 
  –b 
  a 
  a 
  a 
  –b 
  –b 
  a 
  a 
  –b 
  –b 
  –b 
  a 


значения уровней: a=1, при n=7, p=n+1=8, b=(p-sqrt(4*p))/(p-4)=(8-4*sqrt(2))/4=0.5858. Среди собственных чисел –1,–2.2426,–2.2426,2.2426,2.2426,2.2426 выберем одно λ=–1, отвечающее уровню a=1 этой матрицы. Соответствующий собственный вектор модифицированной матрицы v=[–0.5858,–0.5858,–0.5858,1,1,1]=[–b,–b,–b,a,a,a], добавляем кайму

M=
  a 
 –b 
 –b 
 –b 
  a 
  a 
  a 
  –b 
  a 
  –b 
  a 
  a 
  –b 
  a 
  –b 
  –b 
  a 
  a 
  –b 
  a 
  a 
  –b 
  a 
  a 
 –b 
  a 
  a 
 –b 
  a 
  a 
  –b 
  a 
  –b 
  a 
  –b 
  a 
  –b 
  a 
  a 
  a 
  –b 
  –b 
  a 
  a 
  a 
 –b 
 –b 
 –b 
  a 






Матрица Мерсенна M7


Пример 2. Матрица Адамара:

H=
1
  1 
  1 
  1 
  1 
  1 
  1 
  1 
  1 
 –1 
  1 
 –1 
  1 
 –1 
  1 
 –1 
  1 
  1 
 –1 
 –1 
  1 
  1 
 –1 
 –1 
  1 
 –1 
 –1 
  1 
  1 
 –1 
 –1 
  1 
  1 
  1 
  1 
  1 
 –1 
 –1 
 –1 
 –1 
  1 
 –1 
  1 
 –1 
 –1 
  1 
 –1 
  1 
  1 
  1 
 –1 
 –1 
 –1 
 –1 
  1 
  1 
  1 
 –1 
 –1 
  1 
 –1 
  1 
  1 
 –1 


Среди собственных чисел –1,–2.8284,–2.8284,–2.8284,2.8284,2.8284,2.8284 усеченной отделением каймы матрицы выберем одно λ=–1, отвечающее уровню a=1 этой матрицы. Соответствующий собственный вектор v=[1,1,1,1,1,1,1].

Пример 3. Матрица Белевича:

C=
0
1
1
1
1
1
1
0
1
 –1 
 –1 
1
1
1
0
1
 –1 
 –1 
1
 –1 
1
0
1
 –1 
1
 –1 
 –1 
1
0
1
1
1
 –1 
 –1 
1
0


Среди собственных чисел 0,–2.2361,–2.2361,2.2361,2.2361 усеченной отделением каймы матрицы выберем одно λ=0, отвечающее нулевому диагональному элементу этой матрицы. Соответствующий собственный вектор v=[1,1,1,1,1].


Пример 4. Матрица Ферма: в открытый прямоугольник перекочевывают элементы каймы – собственного вектора



Матрицы Ферма F65 и фрагмент F257


Числа Ферма, это числа 22n+1, т.е. 3, 5, 17, 65, .... - в последовательноси 2n+1 только они – простые.

В ряду матриц Фурье отсутствуют порядки 13, 33 и т.п., по своим, конечно, причинам, но Ферма их исключал из рассмотрения. Сравним матрицы F5, F17 и M13.



На профиле M13 нет характерного зубца, уровни ее собственного вектора обеспечены ресурсами центра. Сам центр имеет нарушения структуры по отношению к F5.


Матрицы Адамара Hm и Hf, порождающие матрицы Мерсенна и Ферма, связаны ниже целочисленной (с учетом масштабирования) несимметричной матрицей Hf=0.125*P*Hm, где в P фигурируют 1, 3, 5.


ПОРТРЕТЫ МАТРИЦ МЕРСЕННА M255, АДАМАРА H256 и ФЕРМА F257




Частотное представление матрицы Адамара H256


Портреты матричных фракталов Мерсенна и Ферма всего и отличаются то, казалось бы, выступом. Но левая и правая ветви основной последовательности матриц степени двойки существенно разные. Матрицы вида Мерсенна существуют, в общем, для всех порядков 3+4*k (гипотеза Балонина), а не только для чисел 3, 7, 15, 31, 63 и т.п. Матрицы вида Ферма встречаются реже, зависимость 2k+1 для них прорежена до 3, 5, 17, 65, 257 и т.п.






Матрицы порядков 1+4*k, например, M13 имеют всего-лишь двухуровневый аналог M15, F17, напомним, что и в теории чисел эти числа выпадающие, на что обратил внимание Ферма. Дополнительного изучения заслуживает матрица F1025, чтобы уточнить, какой именно ветви чисел отвечают ортогональные матрицы c характерным "зубцом" элементов собственного вектора.

МАТРИЦА ЗОЛОТОГО СЕЧЕНИЯ


Среди матриц десятого порядка есть матрица, похожая на четного Мерсенна, но она не Мерсенна – значит это четный Ферма.


Самое забавное в ней, ее уровень b = 0.618.. (золотому сечению). Такая – Сонька Золотая Ручка, среди матриц. Интуиция не обманула, сортировка кажет, что Матрица Золотого Сечения G10 похожа на оптимальную Ферма F9.


Неоткуда больше такое плоское плато обрести. Почти Мерсенн M10, но пошире. Это ЧЕТНЫЙ "совмещенный Ферма" ! Вернее, то, что от него осталось. Некоторые элементики F9 гульнули, чтобы вытянуть окаймление, и структурно G10 без каймы не пересчитать, меняя параметры F9. Родственна, но не параметрически – "по духу".

Структура G10=[ B S; S -B] !!! S - симметрична, B содержит b, -B содержит -b. Матрица Золотого Сечения G10 имеет уровни b=0.618 или -1.618... Такую структуру имеют ВСЕ матрицы вида G10, G20, G40, G80, G160, G320 (!), G640 (!), а это стандартные форматы фото !!

Есть аналогичная структура у матриц 6-го порядка, с прозаическим уровнем sqrt(3)/3. С Ферма F5 ее роднит цепочка кубиков, но порядок то 6-й! Она двухуровневая, причем вне-диагональные блоки S состоят из {a, -a}.


МАТРИЦА M22


Ну вот теперь можно обратиться к M22 более зрело, картинка. Разумное объяснение ее странностей.

Мерсенновского Белевича M22 можно вычислять через M11 и через M23. Результат будет один и тот же, что слева M22=M11xA2, что справа, через отделение каймы S23. Ибо M23 связан с M11 преобразованием Мерсенна (одна итерация модифицированного Сильвестр), информация в М23 не пребывает, по отношению к M11. Это будет симметричная матрица M22 с горизонтальной полкой (элементы a, –b).


Далее просвет можно сузить вдвое, переходя к полу-Белевичу Be22 c вертикальной полкой. Be22 – это блочная матрица, у которой осевые клетки ЕЩЕ симметричны и состоят из a, -b. А две внедиагональные большие клетки одноуровневые, состоят из a, –a, НО потеряли симметрию ! Элементов b, как воды, убыло вдвое, норма улучшилась, но симметрия полупотеряна. Интересно, здесь симметрия выступает как вода. Есть и пол-стакана. Пол-симметрии.

Двинемся дальше, нажмем – элементы b расползутся с одной узкой по 6-ти узеньким полочкам. Симметрична она только по модулям элементов, за исключением одного уровня e. Это еще один вид симметрии, – по модулям. Это и есть опубликованная ранее 6-ти уровневая матрица M22. Ниже по норме может только быть диагональная C22, но ее то и нет !


СОСУЩЕСТВУЮЩИЕ МАТРИЦЫ F34 и M34


На порядке C34 они сосуществуют и ясно почему. Есть два производящих матрицы источника, слева Ферма и справа Мерсенн. Ниже, под парой F34-M34 нет ни Белевича, ни полу-Белевича. Пусто и на порядке 33 пусто. Мерсенн M34 более оптимален, чем F34 – он получен из структуры справа !


На следующем порядке, где нет Белевича 58, там выживает только могучий Мерсенн M58. Ибо Мерсенн справа есть всегда. Это говорит о некотором преобладании Мерсеннов в мире порядков Белевича.

МАТРИЦЫ M66


M66 родственнен M33xA2, где M33 – это знак вопроса, лежит ровнехонько за парой F34-M34, путной структуры у M33 нет, не на что умножать A2. Зато есть M22 есть в нескольких модификациях, включая не симметричную 6-ти ступенчатую оптимальную, так что M66=M22xM3 имеет норму m=0.151240. Есть и вездесущий Мерсенн-Белевич M66 сверху из M67, m=0.139023. Вариант оптимальнее предыдущего, значит - несимметричен.


Из ступенчатой версии M22xM3 прессом легко получаются пучок многоступенчатых M66. У матрицы (их несколько, близких, ступенчатых) есть выбег вниз – щель, недотягивающаяся до 0. Либо природа умело прячет эту матрицу Белевича, либо... перед нами максимум, что можно получить.



КВАРЦЫ




Rambler's Top100