ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ

Функциональный анализ изучает абстрактные бесконечномерные пространства и их отображения, преимущественно линейные, и то и другое может быть линейным. Эту науку питают, помимо прочих источников, теория числа и сходство интегральных уравнений с линейными алгебраическими уравнениями.

БАНАХОВО И ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВА

Функциональный анализ абстрагирует длину вектора и свойство ортогональности, распространяя эти понятия на бесконечномерные банахово и гильбертовы пространства соответственно. В него вошли также понятия предела последовательности и полноты – свойства содержать предельные точки.

Можно сказать также, что гильбертовы пространства обобщают пространство векторов, а банахово – матриц. Последние описывают линейные преобразования, но с ними можно отчасти поступать и так, как с векторами. Векторы можно заменять функциями, а матрицы – отображениями функций. Для оценки качества сходимости последовательностей вводится мера разности двух соседних точек, она должна убывать. В теории встречается также термин сепарабельность. В сепарабельном пространстве существует всюду плотный счетный базис, и здесь яркая иллюстрация – ряды Фурье, с их пронумерованными базисными функциями.

Далее двигаться уже более легко. В линейных пространствах в построение одних элементов из других вовлекаются числа, вещественные или комплексные. Если сумма элементов с масштабными множителями в виде чисел имеет смысл элемента же, то пространство линейно, поскольку обретает содержание термин быть линейно зависимым (выражаться через такие комбинации). По контексту, существуют линейно независимые "векторы". Все становится более или менее привычным. В полных линейных пространствах элементы можно проредить, удалить линейно зависимые, а это и есть, собственно, построение базиса.

Мы почти дотянулись до более детальных формулировок первого нужного нам пространства – банахова. Банахово пространство – это полное линейное нормированное пространство. Понятие ортогональности еще отсутствует в этом пространстве. Нормированное означает наличие обобщенной длины – нормы элемента (т.е. умение ее посчитать). В ряде случаев (тут рассуждение обретает свободу) можно согласовывать с нормой меру расстояния между элементам, коль скоро в линейном пространстве можно оперировать разностями.

Для оценки ортогональности вводится аналог скалярного произведения. Скалярное произведение ортогональных элементов равно нулю. В гильбертовом пространстве можно рассуждать также о проекции элемента на произвольное подпространство. Оператор проецирования – линейный, обобщающий понятие проецирующей матрицы. Унитарный оператор отображает гильбертово пространство в себя и сохраняет скалярное произведение. На этой стадии аксиоматическое построение теории наследует понятия, привычные для конечномерных пространств.

КОМПАКТНОСТЬ

Для характеристики бесконечномерных операторов вводят понятия их непрерывности (ограниченности по норме) и вполне непрерывности (компактности).

У непрерывного оператора можно посчитать конечное значение норм входного и выходного элементов, максимальное значение этого отношения на всем множестве определения дает согласованную норму оператора. Грубо говоря, это максимальный "коэффициент усиления" преобразования. Поэтому такой оператор называют еще ограниченным. Непрерывность – естественное свойство отображений, интуитивно понятное, скажем, по отображению f(x)=2x. Поскольку есть норма, такие операторы сами по себе образуют банахово пространство относительно обычных алгебраических операций. Это видимое усложнение однако – не более чем собирательство дефиниций. Здесь нет новой теории, а начинается спекуляция.

Компактность и предкомпактность – это прежде всего свойство пространств. Суть компактности – в исчерпываемости любого элемента бесконечномерного пространства конечномерным приближением с любой наперед заданной точностью. Скажем, приближая функцию заданного класса ее разложением по Фурье, нам нужно быть уверенными, что это приближение возможно. Таким образом существуют две бесконечности – актуальная, это когда приближения эффективны уже в начале бесконечных итераций (или линейных комбинаций), и не очень актуальная (когда возможно только в принципе).

Для иллюстрации понятия компактность привлекается теория числа. Так, бесконечная числовая прямая в этой терминологии некомпактна, поскольку на ней есть натуральные числа, приближать их чем-то конечномерным в принципе нельзя. Пусть множество ограниченно и замкнуто, т.е. содержит все свои предельные точки, см. дальше, тогда оно компактно (теорема Больцано-Веершрасса). Если мы покидаем теорию числа и переходим к функциям, то на этот счет есть сходная теорема Арцела. Пусть множество функций равномерно ограничено (модуль функции не превосходит порога) и функции равностепенно непрерывны (вычисленный в дискретных точках наклон кривой, некое подобие производной, ограничен). Тогда множество компактно.

Линейный оператор, переводящий ограниченное множество, допустим, бесконечномерный шар, в компактное (или, более строго, в предкомпактное, если не брать в расчет предельные точки), тоже называется компактным или вполне непрерывным. Компактный оператор может быть приближен более простым конечномерным оператором элементарным огрублением выхода.

ОБРАТНЫЙ ОПЕРАТОР

Из предыдущего следует, что одной лишь непрерывности (как у тождественного оператора) нам мало, нужно, чтобы оператор был вполне непрерывным (компактным), то есть, упрощал выходное множество до возможности его конечномерного описания с любой степенью точности (до компактного). Интегральные операторы – как раз подходящий материал для изучения необходимости вдаваться еще и в компактность. Функции, отличающиеся между собой, скажем, дельта функцией, неразличимы по их интегралам. Соответственно, в отличие от линейных алгебраических уравнений, интегральные уравнения неразрешимы относительно этих функций. Обратный оператор не наследует у вполне непрерывного оператора это качество. Вход и выход слишком разные. Спасает ограничение на множества. Это реально, поэтому обратное отображение так или иначе вводится и используется в определении гомеоморфизма. Тождественный оператор – некомпактен.

СОПРЯЖЕННЫЙ ОПЕРАТОР

Далее при построении теории в ход вступают привычные при конечномерном анализе инструменты. Оператор А* называется сопряжённым к А, если скалярное произведение (Ax,у)=(х,А*у) для всех х и у из Н. Оператор А называется самосопряжённым, если А=А*, и унитарным, если А*–1. Добавляется, что самосопряжённые и унитарные операторы представляют собой важнейшие и наиболее полно изученные классы линейных операторов в гильбертовом пространстве. Их теория является обобщением теории самосопряжённых и унитарных линейных преобразований n-мерного евклидова пространства. Самосопряжённый вполне непрерывный оператор А имеет хотя бы одно собственное значение, причём в Н можно выбрать полную ортогональную систему элементов, состоящую из собственных функций оператора А.

ГОМЕОМОРФИЗМ И ИЗОМОРФИЗМ

Отсылки к морфизмам (подобиям) популярны в любой науке.

Гомеоморфизм – следующее, помимо компактности, основное понятие топологии. Две фигуры (точнее, два топологических пространства) называются гомеоморфными, если существует взаимно однозначное непрерывное отображение любой из них на другую, для которого обратное отображение тоже непрерывно, при этом само отображение называется гомеоморфизмом. Например, любой круг гомеоморфен любому квадрату, любые два отрезка гомеоморфны, но отрезок не гомеоморфен ни окружности, ни прямой. Прямая гомеоморфна любому интервалу (то есть отрезку с удалёнными концами).

Понятийный аппарат охватывает терминологией и сходные свойства преобразований, например, изоморфизм. Абстрагируясь от свойств конкретных пространств, мы можем получить две совершенно сходные алгебраические конструкции и элементарный принцип экономии состоит в том, чтобы изучать их как одну – поскольку вследствие их изоморфизма, так это называют, они различимы лишь на уровне их приложений.

ТЕОРИЯ ФРЕДГОЛЬМА

Теория разрешимости линейных уравнений исторически строилась для интегральных уравнений Фредгольма 2-го рода вида x–Ax=у. В такой постановке проблема явно имеет пересечения с теорией собственных значений (для однородных уравнений). Весьма общие теоремы о разложении функций в ряды Фурье доказал Д. Гильберт (1904) с помощью теории линейных интегральных уравнений. Можно было бы сказать, следовательно, что функциональный анализ – это теория вполне-непрерывных операторов. Операторов почти конечномерных. Не будь не менее популярных дифференциальных операторов. Важнейшим классом неограниченных линейных операторов в гильбертовом пространстве были и остаются дифференциальные операторы. Многие задачи математической физики, в частности теории колебаний, приводят к задаче о разыскании собственных функций и собственных значений различных дифференциальных операторов. Например, цилиндрические функции, Лежандра многочлены и т.д. представляют собой не что иное, как собственные функции дифференциальных операторов.

ЗАДАЧА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ

Задача о нахождении отличных от нуля решений дифференциального уравнения вида [-p(x)y']'+q(x)y=dy, удовлетворяющих граничным условиям вида A1y(a)+B1y'(a)=0, А2у(b)+B2y'(b)=0 (т.н. собственных функций), а также о нахождении значений параметра d (собственных значений), при которых существуют такие решения.

При некоторых условиях на коэффициенты р(х), q(x) задачу можно свести к рассмотрению аналогичной задачи для уравнения вида –y"+q(x)y=dy. Была впервые (1837—41) исследована Ж. Лиувиллем и Ж.Ш.Ф. Штурмом. Решение некоторых видов уравнений математической физики методом Фурье приводит к задаче Штурма-Лиувилля.

Например, к ней приводит задача о колебаниях однородной струны, закрепленной на концах, для уравнения –у"=dу с граничными условиями y(0)=y(p)=0. В этом случае существует бесконечная последовательность собственных значений, которым соответствуют собственные функции sin(nx), образующие на отрезке [0,p] полную ортогональную систему функций.

Аналогично обстоит дело и в общем случае, возникающем, например, при изучении распространения тепла в неоднородном стержне и т.д. И здесь, если функция q(x) в уравнении непрерывна и действительна на отрезке [a,b], a коэффициенты граничных условий — действительные числа, существует возрастающая последовательность действительных собственных значений, стремящаяся к бесконечности, причём каждому из собственному значению соответствует определённая с точностью до постоянного множителя собственная функция, имеющая n нулей. Полнота такой системы функций была доказана В. А. Стекловым в 1896.

РАЗЛИЧИЕ СПЕКТРОВ МАТРИЦ И ОПЕРАТОРОВ

На первый взгляд, что добавляется (к матрицам), это существенная разница в трактовке спектра.

Теперь спектр и собственные значения – это не одно и то же. Обратный оператор к А-dЕ может быть определен не на всем пространстве, это более широкая ситуация. К спектру относятся все нерегулярные значения d операторной резольвенты А-dЕ. Только часть их соответствуют собственным значениям, определяемым, как обычно, через Аx=dx. Такой спектр может быть точечным и непрерывным. В ряде случаев точечный спектр сгущается, имеют место предельные точки. Не совсем ясно, насколько это интересно, поскольку задача на собственные значения все равно обособляется.

При всей обширности доступных аналогий, функциональный анализ достаточно консервативен.

Так ограниченный в L2[a,b] и с виду безобидный оператор умножения x(t) на время f(t)=tx(t) не имеет в некотором строгом смысле собственных значений и собственных "векторов". При том, что их легко можно построить как дельта функции – напрашивающееся в сравнении с диагональными матрицами очевидное обобщение. Следовательно, абстрагирование может идти и дальше, как в случае математики Поля Дирака, но нужны мотивации полезности нововведений.

Хороший пример, где это уместно – динамические системы.

Им отвечает интегральный оператор свертки, или, как его еще называют, оператор Вольтерра. Собственных значений этот оператор не имеет, поскольку выходной сигнал динамической системы не повторяет входного.

Рассмотрим импульсную весовую функцию системы. Ее можно считать "почти нулевой" (пренебрежимо малой) в сравнении с входным дельта-импульсом с его бесконечной амплитудой, то есть – в сравнении с "собственным вектором" при нулевом собственном значении. В конечномерном случае таких "почти" собственных векторов не бывает.

Нуль в таком случае, это точка спектра. Все остальные особые точки (если они есть) в практически важных случаях к ней стремятся. Корневые "жордановы векторы" при этом строятся вполне тривиально – как итерационно пересчитываемы реакции от любого полностью возбуждающего систему сигнала. Поскольку жорданова цепочка здесь строится бесконечно, от старшего вектора к младшему, до несуществующего в строгом смысле собственного вектора дело никогда не доходит – неважно, что его нет.

На последнее обстоятельство, что собственный вектор не находим, но не совсем и нужен, досадно редко указывают, хотя в этом видится и общность к матрицам – наличие жордановых цепочек векторов, и различие – некий рудимент собственного вектора все таки есть и его можно постулировать как "особый".

Наиболее полно проблема собственных значений разработана для случая линейных операторов в гильбертовом пространстве. Пусть А – ограниченный линейный оператор в гильбертовом пространстве H. Число d называется регулярной точкой оператора А, если обратный оператор (А-dЕ)–1 существует, ограничен и определён на всём пространстве. Остальные (не регулярные) значения d называется спектром оператора А.

Размежевание непрерывного спектра и точечных собственных значений – весьма условное. Как отмечалось, в примере с f(t)=tx(t) ничто не мешает видеть в t диагональ некой бесконечномерной матрицы и, вместе с тем, почти "собственные" значения при дельта функциях в качестве неких обобщенных собственных векторов. Исключение некоторых частей спектра из состава принимаемых во внимание собственных значений в силу некой "псевдострогости" определений здесь более мешает, чем полезно по существу. Абстрагирование на то и абстрагирование, чтобы такие барьеры преодолевать.

Итак, спектру и собственным значениям (которые теперь не одно и то же, но могут считаться родственными), собственным и присоединенным (жордановым) векторам в бесконечномерном случае удается найти несколько спорные, но прямые аналогии.

ШУТКА

Шутка. Математик компактен. Потому что он ограничен и замкнут.



Rambler's Top100