ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЙ ХАОС

Mitchell Jay Feigenbaum discovered the Feigenbaum constant, in other words, there is a pattern in chaos... cosmic man (C) internet

В теории линейных динамических систем колебаниям уделяется должное внимание, их теория построена и хорошо известна. Изменением параметра системы, например, коэффициента демпфирования, можно колебательный режим перевести в апериодический. Нечто подобное встречается и у систем нелинейных, причем существует дополнительный эффект: два соседствующих периода с изменением параметра способны (слегка) утратить подобие. Весьма нежестко, однако приходится констатировать удвоение периода. Удвоениями период колебаний растягивается и при прохождении параметром критического значения захватывает всю временную ось. О движении можно судить, как о апериодическом, хотя формально колебательный характер движения сохраняется.

Подобным образом ведет себя биллиардный шар на овальном столе, неповторяющаяся траектория заметает всю площадь. У аттракторов есть свойство утраты информации о пути входа в них. Если аттрактор занимает все пространство, это означает непредсказуемость поведения в любой точке траектории. Два биллиардных шара, теоретически едва рознящихся, ведут себя несходным образом. Детерминизму моделей Ньютона противопоставлен детерминированный хаос, когда модель известна достоверно, но поведение непредсказуемо в силу особенностей самой модели. Для того, чтобы шагнуть в сторону от мира предсказуемого, человечеству потребовалось три сотни лет шагать до весьма примитивной, в общем, математической конструкции, продемонстрировавшей отмеченные чудеса. А сколько копий вокруг детерминизма было сломано.

Митчел Фейгенбаума (Mitchell Jay Feigenbaum, Cornell University, Ithaca, NY)

Блестящая находка Фейгенбаума состоит в том, что эффект удвоения периода в окресности критической точки не только качественно, но и количественно перестает зависеть от характера нелинейности, имеет место быть универсализм. Найти общее у нелинейных систем сложно, поэтому когда общее качество буквально выпирало из всех его опытов: бифуркации (удвоения периода) вдоль оси параметра соседствуют в соотношении примерно 4.66:1, оставалось не пройти равнодушно мимо результата. Открытие наделало немало шума, но все же стоит добавить, что при всем универсализме все же стол-столу рознь и столов существует великое множество.

Универсальность в поведении нелинейных систем

Неплохие обзоры: страничка доктора Демидова | еще. Гугл легко ныне наищет инфо на тему логистическое уравнений/отображение. Мы располагаем средствами не только почитать-посмотреть, но и построить. Как это делается?


g1=leq(1.0 0.5), 
g2=leq(2.0 0.5),
g3=leq(3.0 0.5), % и т.д.,  

t=line(g1), plot(t [g1 g2 g3]), 

function: leq(lambda x),
var k g, g=zero(100), g[0]=x, 
for k=1:100, x=lambda*(x-x*x), g[k]=x, end, 
return g, 
end,

Сценарий первого моделирования, см. справка языка программирования iMatLab. Параметр lambda<4 (ловя бифуркации, старшие значения задаются с меньшим шагом). Показано вымирание, выживание и моделирование после первой бифуркационной точки. Искусство программирования состоит в умении сочетать прямое моделирование процесса и накопление статистики в виде диаграммы конечных состояний.

ДИАГРАММА ФЕЙГЕНБАУМА

Генерация диаграммы Фейгенбаума: статья. Получить ее можно, если хвосты серии процессов складировать построчно в матрицу. Тогда графики колонок будут вырисовывать только конечные состояния системы. Технически нужно добавить цикл изменения lambda и точки необходимо отсортировать по величине, чтобы сохранялась преемственность ветвей графика. Вот простейший график.

Аналоговое моделирование: статья

Видны точки бифуркации. По горизонтальной оси отложена lambda. Конечные состояния бывают либо одинарными (вначале), либо двойными (первая точка бифуркации) и т.п. Детальная прорисовка этого графика требует повышенного количества расчетов, которые нецелесообразно поручать браузеру. Фейгенбаум считал на калькуляторе и обрел, благодаря своей наблюдательности, мировую известность. Важно уяснить принцип построения такого сорта диаграмм. Попробуйте.


lambda=1, F=zero(20), n=132, % длина процесса, 

for i=0:size(F), 
g=leq(lambda 0.5 n), g=block(g n-32 n), g=sorts(g),
g={[g lambda]}, g=flip(g), F[i]={g}, 
lambda=lambda+2.6/size(F),
end,

tr(F), plot(F),

function: leq(lambda x n),
var k g, g=zero(n), g[0]=x, 
for k=1:n, x=lambda*(x-x*x), g[k]=x, end, 
return g, 
end,

function: sorts(g),
var i j gi, 
for i=0:size(g), for j=i:size(g), gi=g[i],  
if gi>g[j], g[i]=g[j], g[j]=gi, end, end, end, 
return g,
end

Фрактальность диаграммы:

ОКРАСКА МНОЖЕСТВА МАНДЕЛЬБРОТА

Мир нелинейных систем велик. Итерационный процесс, порождающий множество Мандельброта, за три десятка лет компьютерной эволюции оброс фантастическими иллюстрациями. Среди методов раскраски есть и такой, при котором со сдвоенных тарелок множества смотрят львиные лица: сфинкс.

Древняя египетская богиня Бастет на многих изображениях тоже имеет характерный нагрудный знак. В физиологии человека и животных парность - обыденность. Помимо того, что таз изоморфен черепу, конечности и глаза не только парны, но и асиметричны: правая и левая руки развиты неодинаково и т.п.


A=mandset(101 -2 0.5 -1 1 50 100), tr(A),

P=10*PI, I=ones(A), Ex={exp(-1.5*A)}, A={I-Ex}, 
A={cos(P*A)}, A={cos(P*A)}, 'MS'=send(A), bar('MS':CR),

function: mandset(n x1 x2 y1 y2 Q M),
var i j k z xx yy ri rj, A=zeros(n), n=n-1, 
dx=(x2-x1)/n, dy=(y2-y1)/n, cP=100,
for i=0:n, xx=x1+i*dx,  
for j=0:n, yy=y1+j*dy, ri=0.0, rj=0.0, k=0, 
 while k<Q, k=k+1,
 z=xx+(ri*ri-rj*rj), rj=yy+(ri*rj*2), ri=z, 
 if abs(ri)>M, k=Q, end, 
 if abs(rj)>M, k=Q, end,
 end,
 if abs(ri)>M, ri=0.0, else,
 if abs(rj)>M, ri=0.0, else, 
 ri=sqrt(ri*ri+rj*rj), end, end, 
 A[i][j]=ri,
end, end,
return A,
end,



Rambler's Top100