ДИСКРЕТНАЯ АЧХ

Системы и сигналы

Теория сигналов опирается на разложение Фурье периодической функции с получением коэффициентов, складывающихся в дискретный спектр, т.е. точки, сортируемые по частотам входящих в разложение гармонических составляющих. Период функции предопределяет шаг по шкале частот. Существует формальный переход к непрерывному спектру непериодического сигнала, заданного на конечном интервале времени, а также теорема об аппроксимации непрерывного спектра линейчатым, если вводить в рассмотрение специфическое расширение непериодического сигнала его равносмещенными бесконечными повторениями с получением периодической функции (дающей линейчатый спектр).

Теория систем (не сигналов) использует полубесконечный интервал и непрерывные спектры входного и выходного сигналов, определив при помощи преобразования Лапласа передаточную функцию Q(p) как отношение изображений выходного и входного сигналов. Переход к спектрам и сигналов и систем осуществляется вычислением модуля функции комплексного переменного при подстановке в качестве аргумента p=jω. Частота ω интерпретируется как частота синусоидального сигнала, амплитуда отклика на который системы, после затухания свободных составляющих, дает точку непрерывного спектра системы. Дискретный спектр динамической системы в такой интерпретации получить нельзя, поскольку на конечном времени говорить о затухании чего-либо не приходится, и получить точку дискретного спектра как коэффициента усиления невозможно.

Однако, и это будет лейтмотив нашего исследования, отмеченное не отрицает существования сигналов, не вызывающих, при подаче, у динамической системы появления свободных составляющих. Тогда точка дискретного спектра как коэффициента усиления сохранит свое значение. Помимо прочего, дискретная частотная характеристика должна описывать изменение резонансных амплитуд (максимумов АЧХ), так как очевидно, что при уменьшении интервала сохранить гаратированный бесконечным рассмотрением процессов резонансный максимум не удастся. Резонанс, одна из важнейших характеристик динамических систем, которая нуждается в удовлетворительном описании.

Расширение АЧХ срезами модуля передаточной функции

Теория динамических систем заменой базиса значительно упрощает описание систем и сигналов, сводя модель объекта к алгебраической зависимости вида

y(p)=Q(p)u(p),

где Q(p) - передаточная функция системы, u(p) - описание сигнала после применения к нему преобразования Лапласа.

Особое значение теория придает экспоненциальным сигналам и их линейным комбинациям, синусоидам. В этом случае несложно указать связь между свойствами передаточной функции и особенностями передачи таких сигналов во временной области. Так, например, модуль передаточной функции описывает коэффициент усиления сигнала по амплитуде, если брать достаточно отдаленные от искажений стартового периода промежутки времени.

В случае среза передаточной функции вдоль комплексной оси аргумента p=jω знак его не играет особого значения, поскольку функция модуля здесь симметрична. Это позволяет ввести в рассмотрение полусумму и полуразность комплексных экспонент, трактуемых по Эйлеру как вещественные синус и косинус

sin(t)=(ejωt-e-jωt)/2, сos(t)=(ejωt+e-jωt)/2.

Коэффициент передачи для них будет тем же самым, что и для экспонент. Называется он амплитудной частотной характеристикой АЧХ. Фазовый показатель комплексной функции Q(jω) описывает сдвиг фазы выходного сигнала.

Другое дело вещественная расходящаяся и сходящаяся экспоненты, для них коэффициенты передач получаются разными. Срез передаточной функции вдоль вещественной оси p=α вещественнен. Чисто формально аддитивную добавку в аргумент для апериодических сигналов можно ввести (аналог фазы), но она сводится не к сдвигу, а к масштабированию сигнала. Иными словами, модуль передаточной функции описывает масштабирование или сдвиг по фазе сигнала, выбирается как удобнее это понимать, а знак ее - только коэффициент передачи.

За бортом остались полусумма и полуразности вещественных сходящейся и расходящейся экспонент, образующих гиперболические синус и косинус

sh(t)=(eαt-e-αt)/2, сh(t)=(eαt+e-αt)/2.

Их называют еще гармоническими функциями мнимой частоты p=α. На достаточно большом отдалении от старта нерасходящаяся экспонента затухает, поэтому коэффициент усиления нестационарен и сводится к коэффициенту среза Q(p) вдоль вещественной оси в правой ее полуплоскости. Наименование мнимая частота обязано происхождением возможности такого назначения аргумента p=jω, ω=jα.

Графики круговых (слева) и гиперболических (справа) синусов и косинусов

Квадрированная частотная характеристика

В том случае, когда сигнал имеет произвольную форму, от неоднозначных амплитудных коэффициентов можно перейти к коэффициентам передачи сигнала по норме или энергии, как еше ее называют. Для характеристики передаточной способности звена норму входного сигнала зажимают и варьируют его форму, добиваясь максимального коэффициента передачи, теперь уже, энергии. В случае квадратичных норм и матричном описании системы y=Au коэффициент передачи реализуется на главном собственном векторе симметричной A'A. По отношению к исходной матрице это сингулярный вектор. Для динамических систем сходную с матричным произведением роль играет произведение Q(p)Q(-p). В силу известной симметрии Q(p) срез корня квадратного из модуля этой характеристики вдоль мнимой оси дает знакомую нам АЧХ.

Собственно, мы подошли к простому выводу, что при анализе дискретного спектра динамической системы на конечном интервале времени его топология определяется теперь уже не столько передаточной функцией, сколько более общей квадрированной характеристикой Q(p)Q(-p), включающей в себя, в том числе, и топологические особенности АЧХ. Помимо весьма ограниченной роли (быть амплитудой), ей отводится особое место при поиске тех гармоник, на которых реализуется спектр.

Пояснить эту роль кратко можно вот как. На ограниченном интервале времени собственные движения системы не затухают, мешая установлению коэффициента усиления. Другое дело, если входной сигнал состоит из суммы гармоник с одинаковым коэффициентом пропускания. Тогда назначением весовых коэффициентов собственные движения можно компенсировать. Уже синусоиды являются составными сигналами, сечение линий уровня частотной характеристики мнимой осью выделяет первые парные точки (jω и -jω), прочие сечения выделяют следующие "парные частоты". Часть гармоник образуют привычные синусоиды, остальные составляют гиперболические и смешанные функции. У звеньев более высокого порядка, чем второй, могут потребоваться дополнительные срезы вдоль осей, на которых функция передачи вещественна.

Собственные и сингулярные функции линейных операторов

Интегральный оператор, описывающий динамическую систему, теплицев. Он каузален и отличается крайней ассиметрией. При сведении к матрицам это нижне-треугольная теплицева матрица. Система с инвертированным во времени выходом описывается, соответственно, симметричным ганкелевым оператором. Этот оператор имеет дискретный вещественный спектр и ортогональные собственные функции - сингулярные функции исходной системы. Поскольку термин сингулярные у функций занят дельта функцией и ей подобными, есть еще название ганкелевы.

Однако в конкретном контексте сингулярных функций динамической системы никакой путаницы не проиходит, поэтому справедливо и это, взятое из теории матриц название.

Чисто технический вопрос теперь сводится к тому, чтобы уметь такие функции на ограниченном интервале относительно просто находить. Коэффициент передачи у их составляющих, парциальных гармоник, одинаков. Из их комбинации составляется неискажаемый по форме сигнал. Это естественно, поскольку они собственные функции. Но не исходной системы, а связанной с ней эквивалентностью по норме. Эквивалентным по норме выходному сигналу являются сигналы, инвертированные во времени. Поэтому верным признаком сигнала, на котором реализуется дискретный спектр, является то, что он проходит с выхода на вход без искажений формы, инвертируясь во времени. На неограниченном интервале потребность компенсировать свободные движения отпадает и результат нам известен, дискретный спектр сводится к АЧХ и реализуется он на синусоидах.

При ограничении интервала спектр становится дискретным, его отсчеты лежат на АЧХ в том смысле, что уменьшением интервала мы не получим коэффициент больший резонансного максимума.

Условия для поиска составляющих с парными гармониками, имеющими одинаковый коэффициент пропускания, складываются на склонах квадрированной частотной характеристики, это сечения ее линий уровня мнимой, вещественной и иными зеркально симметричными в силу особенностей квадрирования парными осями. Данный принцип складывается в несложный математический формализм, эксплуатирующий, далее, новое понятие - параметрическую передаточную функцию оператора инверсии сигнала во времени (флипа).

Топологические особенности АЧХ

Амплитудно-частотная характеристика играет фундаментальное значение в теории систем, на особенностях ее топологии построены многочисленные критерии качества. Для того, чтобы соображения по поводу ее возможных обощений приобрели черты конкретности, дополним ее построение срезом модуля A(p)=|Q(p)Q(-p)|½ вдоль вещественной оси для звеньев 2-го и 4-го порядков. Если эта характеристика была неизвестна ранее, то считайте, что мы ее сейчас ввели в обиход. Справа отложены функции обычной частоты ω, а налево идут функции мнимой частоты α (этот параметр взят на оси с обратным знаком для удобства построения).

Вот что характерно для этих "одногорбого и двугорбого верблюдов", так это то, что при амплитудах выше статического коэффициента усиления склоны резонансных пиков образуют парные точки при пересечении их горизонтальной линией. Причем существуют амплитуды, для которых количество парных точек равно порядку системы: две точки пересечения и четыре, соответственно, для систем второго и четвертого порядков. Для амплитуд ниже коэффициента статического усиления наблюдается совсем уже дефицит таких точек. При потребности найти их все придется продолжить процедуру рассечения обобщенной частотной характеристики A(p) вдоль направлений вещественности ее "подмодульного выражения"

Для большей наглядности к амплитудному графику приложено зеркальное отражение характеристики мнимой части Q(p)Q(-p)

Структурно классическая АЧХ является "становым хребтом", к ней примыкают ответвления от ее минимумов и максимумов. Их можно сделать ощутимо видными при делении модуля на линейную функцию мнимой части. Плоскость повернута, хорошо различимы АЧХ и область усилений гиперболических гармоник. На низких коэффициентах в работу включается тропинка, идущая от минимума между горбами АЧХ вниз, отвечающая за коэффициенты усиления смешанных гармоник. При усилении большем, чем амплитуда АЧХ меньшего горба, очевидно работает тропинка, идущая от него вверх, она тоже видна. Еще одна тропинка вверх от максимума АЧХ, становится актуальной при анализе неминимальнофазовых систем.

Для элементарных звеньев зависимости проще. На рисунках приведены "стрелки часов", которые дают срезы частотной характеристики для двойного и тройного интеграторов. Характерные углы отвечают положениям корней соответствующей степени из мнимой единицы j.

Каждая парная точка на АЧХ отвечает своей гармонике. Точкам на комплексной оси p=jω отвечают круговые гармоники a sin(ωt) + b cos (ωt), точкам на вещественной оси p=α - гиперболические a sh(αt) + b ch(αt), четверкам (квартетам) двоякосопряженных относительно мнимой и вещественной осей точек - более сложные смешанные гармоники sh(αt)(a sin(ωt) + b cos (ωt)) и сh(αt)(c sin(ωt) + d cos (ωt)).

Гиперболические функции имеют "ограниченную фазу". Их апериодичность препятствует описанию смены знака коэффициента усиления системы смещением (вариацией коэффициентов слагаемых в гармониках). Поэтому при инверсии знака верхушка горба растет вверх и "отражается от потолка бесконечности" вниз, если будет понятна такая терминология (что же поделать, приходится, раз такие функции). Расширяя понятие частотных характеристик, можно упрощать их графический вид иначе, не утрируя знак Q(p)Q(-p). За неимением ФЧХ для гиперболических гармоник информативным будет построение не модуля, а коэффициента усиления со знаком. Впрочем, далеко не всегда дело доходит до подобных сложностей: почти у любых правил есть исключения. О них полезно упомянуть, но не о них речь.

Линейчатый спектр

Обсудив потребные нам топологические особенности АЧХ, мы готовы к восприятию, что такое дискретная частотная характеристика.

Собственные движения системы, искажающие амплитуду передачи воздействия, не возникают, если они компенсируются. Свобода для компенсации появляется тогда, когда на вход подается мультигармонический сигнал, количество компонент которого равно количеству собственных движений системы. При переходе к конечному времени роль всем хорошо известных синусоид играет взвешенная сумма гармоник с частотами, отвечающими сечению обобщенной ЧХ вертикальными линиями (линейчатым спектром) при одном и том же, что важно, коэффициенте усиления. Это дает возможность варьировать входной сигнал, не меняя коэффициента усиления, и получая желаемые условия его прохождения. Максимум при этом сходит с верхушки, так как на ней нет условий для образования мультигармонической функции.

Методика нахождения линейчатого спектра состоит в том, чтобы ведя сверху вниз горизонтальную линию коэффициента усиления вдоль континуальной частотной характеристики, отмечать точки, при которых входной сигнал проходит с входа на выход свободно. Спектр получается дискретным, а не сплошным, поскольку существуют уровни, на которых задача компенсации неразрешима. Таким образом, точки пересечения склонов ЧХ действительно не случайные, а выдают частоты компонент базисного сигнала. Забегая немножко вперед скажем, что фразу про то, что базисный сигнал проходит через систему свободно, без искажения, следует понимать буквально. И не только в смысле свободы от возбуждения собственных движений системы, которые нам мешают "неподчинением" их единому коэффициенту усиления.

Также, как и на бесконечном интервале времени, на конечном интервале форма базисного сигнала в некотором смысле не искажается. Различие между интервалами состоит лишь в том, что в первом случае синусоида смещается, что дает почву для введения помимо АЧХ еще и ФЧХ (вторичной, зависимой характеристики, как мы знаем), а во втором случае сигнал инвертируется во времени (что тоже вторично): коэффициент передачи в обоих таких случаях ищется по отношениям амплитуд на входе и на выходе. При увеличении интервала времени линии дискретного спектра сгущаются, переходя в синусоиды, в пределе. Компенсационные поправки более не требуются. Но бесконечный интервал - абстракция, ценная лишь упрощением выкладок. То, что расчет делается легко, не говорит о том, что расчет хороший, скорее, наоборот. То есть, мы то рассматриваем как раз менее затеоретизированный случай. Исторически в радиотехнике чаще работали с преобразованием Фурье и периодическими функциями, поэтому в обиход вошла только правая часть рассмотренной выше частотной характеристики.

Численные методы построения линейчатого спектра

При численном подходе остается неизвестным аналитическое описание мультигармонических функций, это недостаток, но их вид и уровни линейчатого спектра определяются очень легко. Метод базируется на том, что оператор свертки имеет теплицеву структуру и легко симметрируется инверсией входного или выходного сигнала во времени. Инверсия не нарушает линейности, зато оператор системы преобразуется к ганкелевому виду, первые максимальные по амплитуде собственные значения которого легко находятся численными методами. Собственные числа и собственные функции - это и есть дискретные линейчатый спектр и мультигармонические функции, на которых спектр реализуется. В примере ниже найдем приближения нескольких первых уровней для системы второго порядка и нанесем их на график АЧХ.


%toolbox control, 

function: digbode(w A k eps),
var A1, A1=zero(A),  
for var j=0:size(A), for var i=0:size(k),     
if abs(A[j]-k[i])<A[j]*eps, A1[j]=A[j], 
if j>0, if A1[j-1]<>0, A1[j-1]=0, end, end, 
end, end, end, 
return A1,
end,

L=2, t=time(L 25), w=frequence(10 500),
N=1, D=[0.2 0.2 2], A=bode(N D w), 
H=Hankel(N D t), [V k]=eig(H), diag(k), 
k={abs(k)}, k=?, call dA=digbode(w A k 0.02), 

P={[A dA]}, plotDL(w P)

На рисунке слева видно, что на конечном интервале 2 секунды на резонансном пике остаются несколько сложносоставных гармоник. Вид главной собственной функции, отвечающей верхней паре точек, приведен на рисунке справа. Это и есть искомый мультигармонический сигнал, отвечающий сумме синусоид с частотами, отмеченными двумя наиболее длинными "спичками" ДЧХ. Для проверки вычислена и приведена рядом реакция на сигнал (красным). Она совпадает с входным сигналом по форме, но инверсна ему во времени. Статический коэффициент усиления реализуется около третьей гармоники, близкой к сумме единичного сигнала с синусоидой.

В ряду численных методов стоит упомянуть также итерационные процессы, которыми традиционно ищутся собственные числа и отвечающие им собственные векторы или функции. Это когда нормированный сигнал с выхода (в нашем случае инвертированный во времени) поступает на вход системы, и так до тех пор, пока главный собственный вектор не возобладает в нем. Потом можно найти и другие, отраиваясь от найденных. Помимо прочего, это удобный метод уточнения главного собственного значения, а также метод получения интересующих нас характеристик постановкой натурного эксперимента, не требующего априори знания математической модели объекта. Метод сопоставим, по числу запусков, с известным экспериментальным методом нахождения графика АЧХ. Это косвенно говорит о значимости искомой мультигармонической функции, стоящей в одном ряду с импульсной весовой и переходной характеристиками системы. Тем более интересным теперь становится уметь получить ее аналитическое описание.

В примере видны многие важные топологические особенности дискретной частотной характеристики. Прежде всего, в отличие от дискретных спектров сигналов, дискретные спектры систем хотя и расположены на непрерывной АЧХ, но образуют на оси частот неравномерные (ближе к резонансным пикам) отсчеты. Главная функция частотами компонент расположена окрестности резонансного пика. Это дает надежду, что для ряда практических задач экзотика в виде гиперболических составляющих может и не потребоваться.

Аналитические методы вычисления ДЧХ

Передаточная функция флипа. Задачу поиска ДЧХ можно решать, опираясь на экстремальные свойства собственных функций, однако этот метод приводит к громоздким построениям. К тому же, развивая частотный подход вполне логично в рамках его и оставаться. Это возможно, если ввести в обиход передаточную функцию флипа.

Инверсия сигнала во времени (флип) - это операция линейная, но нестационарная. Нестационарные системы принято описывать передаточными функциями, зависящими от параметра. Так, например, в методе Гольдфарба параметрическая передаточная функция линеаризуемого нелинейного элемента зависит от амплитуды входного сигнала. В данном случае, передаточная функция флипа зависит от фазы, амплитуду эта операция не меняет.

Гармонический сигнал u(t)=sin(ωt+f), инвертированный на отрезке времени длиной L, не меняется по амплитуде, но сдвигается по фазе. Следовательно, амплитудная характеристика флипа равна 1, а фазовая описывается так

QF(p)=eφ(ω,f), φ(ω,f)=π-ωL+2f.

В случае апериодических сигналов анализ приводит к сходному результату, но у гиперболических функций знак не может быть описан сдвигом на π (его следует приписать к обобщенной амплитудной характеристике или учитывать иным образом).

Характеристическое уравнение. Преамбула позволяет описать условия, из которых выводится характеристическое уравнение для точек дискретного спектра. Остановимся подробнее на синусоидальных гармониках.

1. Уравнение амплитудного баланса имеет вид

A(ω)=|k|,

где A(ω) - амплитудно-фазовая характеристика (модуль Q(p)). Для гиперболических гармоник применяется корень квадратный из модуля квадрированной характеристики, причем знаковая политика исключает рассмотрение только лишь модулей, знак учитывается.

Отметим, что уравнение амплитудного баланса позволяет установить зависимости собственных частот от коэффициента передачи ω(k).

2. Уравнение фазового баланса констатирует, что суммарный фазовый сдвиг, вносимый системой и флипом, должен соответствовать знаку коэффициента передачи

P(ω)+φ(ω,f)=arg(k),

где P(ω) - фазовая характеристика системы, φ(ω,f) - фазовая характеристика флипа, фаза arg(k)=0, если k>=0 и arg(k)=π при отрицательном k (с точностью до 2π, для обычных гармоник). Подставляя частоты в уравнение фазового баланса, получаем зависимость фаз от коэффициента передачи f=f(k).

3. Фазочастотное уравнение. Краевые условия, которые описывают связь фаз и частот, при подстановке в них найденных выше зависимостей обоих от коэффициента усиления, дают характеристическое уравнение

χ(ω(k),f(k))=0.

В этом последнем уравнении (или системе уравнений, если не удается свести все условия к одному уравнению) учтены, тем самым, все три составляющие - уравнения баланса амплитуд, фаз и краевые условия.

Поясним. Условие зеркальной симметрии входного и выходного сигналов приводит к краевым условиям, записываемым проще всего для выходного сигнала S(t) и его производных

S(0)=0, kS'(0)=q(0)S(L), kS''(0)=q'(0)S(L)-q(0)S'(L), ..

в данном случае штрихом обозначено дифференцирование, а k - это алгебраический коэффициент усиления (его модуль и составляет ДЧХ).

Для периодических функций краевые условия выливаются в связь фаз с частотами, например, для инерционных систем второго порядка с q(0)=0 имеем: S(0)=0, S'(0)=0. Из первого условия следует, что коэффициенты при элементарных гармониках равны перекрестно взятым синусам их фаз, т.е. S(t)=sin(f2)sin(ω1t+f1)-sin(f1)sin(ω2t+f2). Из второго условия выводится трансцендентное уравнение связи фаз с частотами

ω1ctg(f1)-ω2ctg(f2)=0.

Из краевых условий, в частности, следует, что при соответствующем масштабировании начал S'(0)=q(0) хвосты собственных функций заметают спектр

S(L)=k.

Таким образом, искомые базисные сигналы обладают качеством, наблюдаемым у собственных векторов матриц Вандермонда (связь собственных функций с дискретным спектром).

Интегратор 1/p

Предложенный метод позволяет достаточно просто получить ДЧХ элементарных звеньев, что и составляет предмет основного интереса данной статьи. Матрица дискретного представления интегратора треугольная:

Уравнение амплитудного баланса интегратора имеет вид

A(ω)=1/ω=|k|.

Уравнение фазового баланса сводится к равенству фаз флипа и интегратора c точностью до arg(k) (который либо 0, либо π, с точностью до 2π), т.е.

φ(ω)=π-ωL+2f=π/2-iπ.

Из фазо-частотного уравнения (нулевых начальных условий) следует, что f=0. Это упрощает выкладки, позволяя рассчитать базовые частоты: ωi=(i+1/2)π/L. Характеристическое уравнение (за тривиальностью фазо-частотного) следует нопосредственно отсюда, в указанных точках корни имеет косинус

cos(L/k)=0.

Дискретный спектр лежит на АХЧ и отвечает частотам, обратно пропорциональным интервалу времени существования системы. Чем меньше L, тем реже отметки размещены на непрерывной АЧХ, и наоборот. Максимальный коэффициент усиления энергии сигнала (нормы) для интегратора достигается на главной функции этого звена S(t)=sin(ω0t), представляющей собой четверть синусоиды, целиком умещающейся на заданном отрезке времени L. Входной сигнал u=S(L-t).


%toolbox control,

function: digbodeI(w A n eps),
var A1, A1=zero(A),  
for var j=0:size(A), for var i=0:n,     
if abs(w[j]-PI/2-i*PI)<eps, A1[j]=A[j], 
if j>0, if A1[j-1]<>0,  A1[j-1]=0, end, end, 
end, end, end, 
return A1,
end,

L=1, t=time(L), 
w=frequence(20), w[0]=w[1], A={1/w},  
dA=digbodeI(w A 10 0.1), 
A=sat(A 1), P={[A dA]}, plotDL(w P)

Для проверки применим численный метод, опирающийся на нахождение собственных функций ганкелева оператора. Он не дает нам в руки формул, но возвращает предсказываемый теорией результат: ниже приведена главная и вторая базисные функции (налицо четвертинка и 2/3 синусоиды).

Апериодическое звено 1/(Tp+1)

Типичная матрица теплицева оператора апериодического звена приведена ниже, она получается последовательным смещением импульсной весовой характеристики вниз, столбец за столбцом

Уравнение амплитудного баланса имеет вид

A(ω)=1/(T2ω2+1)½=|k|.

Уравнение фазового баланса сводится к равенству фаз флипа и апериодического звена c точностью до π (как и выше, сдвиг фаз f=0)

φ(ω)=π-ωL=arctg(Tω)-iπ.

Характеристическое уравнение. Для поиска корней проще обратиться к лаконичной тангенциальной форме уравнения выше

tg(ωL)+Tω=0,

из амплитудного баланса имеем ω=T-1(1/k2-1)½, |k|<1.

Это трансцендентное уравнение обобщает полиномиальные характеристические матриц на бесконечномерный случай, возвращая счетное количество корней, отвечающих пересечениям линий тангенса с линейной функцией. Искажения шага по оси частот наблюдается только в начале и на больших частотах предсказывается без решения уравнений. Корням характеристического уравнения отвечают базисные функции Si(t)=sin(ωit), отвечающие выходу.

При численном решении нелинейных уравнений точность определения корней зависит как от используемого метода, так и от крутизны фронтов, поэтому с вычислительной точки зрения это и прочие выводные из него тригонометрические уравнения вида cos(ωL)Tω+sin(ωL)=0 или cos(ωL)+sin(ωL)/Tω=0, неэквивалентны.


%toolbox control,

L=1, T=0.2, 

call F=cfun(1.1 L T 1000),  
k=F[0], k=block(F[0] 100 930), 
f=F[1], f=block(F[1] 100 930), 
f=sat(f 10), g=[k f], plot(g),  

r=roots(k f 0.1), r=?,

function: cfun(K L T points),
% return characteristic function F(k) for 0<k<K,
var t L m, m=abs(K), t=time(m points),  
f=fun(cos(sqrt(1/t/t-1)*L/T)*sqrt(1/t/t-1)+sin(sqrt(1/t/t-1)*L/T)),  
F=[t f], return F,
end,

Решение первого из двух указанных уравнений дает значения первых трех амплитуд дискретного спектра 0.88, 0.51, 0.33, для k>0 (нечетные корни исключены, они приобретены ввиду перевода тангенциального уравнения к упрощенной форме). Резонансный максимум 1 недостижим, постоянный сигнал на ограниченном интервале становится энергетически проигрышным.

Выше показан вид главной базисной функции этого звена, превосходящей четверть синусоиды. Так реагирует звено на инверсный во времени сигнал. На малом отрезке времени апериодическое звено (как и прочие звенья) становятся сходными с интегратором, с уменьшением интервала их главные функции стремятся к главной функции интегратора. Это симптоматичный и достаточно важный результат.

Аппроксимационные формулы. Помимо точных формул для определения главного ганкелева числа возможно выведение содержательных простых аппроксимационных зависимостей, например, подымающийся косинус: cos(ωL)+k/T=0.

Консервативное звено 1/(p2+1)

Консервативное звено отличается "полощущийся как флаг" матрицей операторного представления системы

Уравнение амплитудного баланса для старших гармоник (|k|>1) консервативного звена c передаточной функцией Q(p)=1/(p2+1) имеет вид

R(jω)=1/(1-ω2)2=k2.

Отсюда получаем зависимости ω1=(1-1/|k|)½, ω2=(1+1/|k|)½, которые следует подставить в уравнение фазового баланса

P(ω)+π-ωL+2f=arg(k),

где P(ω)=arg(1-ω) - фазовая характеристика звена, описывающая инверсию фазы по двум сторонам особой точки ω0=1. В частности, P(ω1)=0, P(ω2)=π. Отсюда получаем фазы двух гармоник:

f1=(π-ω1L)/2, f2=-ω2L/2 (если k>1), f1=-ω1L/2, f2=(π-ω2L)/2 (если k<-1).

Полученные частоты и фазы следует подставить в уравнение для краевых условий

ω1ctg(f1)-ω2ctg(f2)=0,

что приводит к характеристическому уравнению

ω1tg(ω1L/2)+ω2ctg(ω2L/2)=0.

Парные частоты ω1=(1-1/|k|)½, ω2=(1+1/|k|)½ лежат на склонах резонансного пика, "вулканчика", характерного для консервативных звеньев. Парным спектральным точкам отвечают базисные функции, состоящие из двух гармоник

S(t)=sin(f2)sin(ω1t+f1)-sin(f1)sin(ω2t+f2).


%toolbox control, 



L=22.3, call F=cfunc(10 L 1000), 

k=F[0], f=sat(F[1] 5), plot(k f),  



r=roots(k f 0.1), r=?,



function: cfunc(K L points),

% return characteristic function F=f(k) if k>1,

var k L2 m, L2=L/2, m=abs(K)-1, 

points=points+1, t=time(m points), t={1+t}, if K<0, t={-t}, end,

f=fun(sqrt(1-1/t)*tan(sqrt(1-1/t)*L2)+sqrt(1+1/t)/tan(sqrt(1+1/t)*L2)),

F={[t f]},

return F,

end,

График характеристической функции при 1<|k|<10 и L=10*π/√2=22.3 приведен на рисунке слева, ниже показана главная функция.

По мере приближению к началу координат точки спектра сгущаются и становятся неразличимыми, значения первых трех корней характеристического уравнения для этого диапазона равны 7.43 (главное сингулярное число, лежит на непрерывной АЧХ, рисунок слева), далее 2.32 и 1.55. В диапазоне отрицательных значений алгебраического коэффициента усиления k наибольшее по абсолютной величине число -6.8 уступает главной амплитудной точке спектра, следующее равно -2.5.

Управляющий сигнал инверстен во времени выходному. Действовать нужно энергично вначале и почти ничего не делать в конце. Расчет это подтвердил. Парные частоты дают биения выходного сигнала, заметим, что огибающая амплитуд у главной функции близка все к той же четвертушке синусоиды.

Альтернативные формы. Тригонометрические зависимости можно записывать в альтернативных формах, они отличаются разной численной устойчивостью, например, tg(ω1L/2)tg(ω2L/2)+ω21=0 или ω1sin(ω1L/2)sin(ω2L/2)+ω2cos(ω2L/2)cos(ω1L/2)=0. Часть уравнений при преобразованиях приобретает лишние корни в точках разрыва, возникающих при применении формул с тангенсами.

Замечание по топологии дискретной ЧХ. Отсутствие левого склона АЧХ при коэффициентах k, меньших единицы, можно компенсировать присоединение слева среза обобщенной ЧХ вдоль вещественной оси. Такая интерпретация будет по прежнему описывать парные составляющие, одна из которых - гиперболическая. Это достаточно общий метод.

Некоторые выводы

В науке нередко бывает, что одни направления ее развиваясь питают собой другие. В начале прошлого теперь уже столетия шведский математик Эрик Фредгольм обратил внимание на сходство между интегральным уравнением и системой линейных алгебраических уравнений. На этой основе он создал теорию настолько успешную, что это вызвало пристальный интерес на семинарах Давида Гильберта и, позднее, отразилось в работах этой школы. Во второй половине столетия интенсивно совершенствуются вычислительные методы линейной алгебры, выдвинувшей сингулярные числа матриц в качестве показателей, широко используемых в задачах редукции. Неудивительно, что вслед появляются сингулярные числа, но теперь уже, передаточных функций динамических систем. Таким образом, мы видим, что через подпитку рабочими идеями со смежных областей знаний, развитие идет и теперь.

Теория динамических систем и теория сигналов - две смежные тесно пересекающиеся области знаний. Передаточная функция системы, это изображение сигнала - реакции системы на дельта-функцию. Хорошо известны частотные характеристики тех и других. Вместе с тем, в теории сигналов сложились представления о непрерывном и дискретном спектрах, а также об их взаимосвязи (когда какой спектр аппроксимирует другой). Термин "дискретные" по отношению к системам заметно прижился в том, что касается динамических процессов. Привычным является деление общей теории на теорию непрерывных и дискретных динамических систем, причем вторая ее часть развивалась позднее под влиянием первой более продвинутой части.

Спектральные характеристики линейных динамических систем известны прежде всего как непрерывные амплитудная частотная и фазовая характеристики (АЧХ и ФЧХ), значение которых столь существенно в теории, что не нуждается в комментариях. На их основе формулируется критерий устойчивости Найквиста. Понятно, что развитие теории дискретных систем не обошло вниманием эту крупную тему. Исследованию частотных характеристик при дискретном описании объекта было посвящено достаточное количество статей, монографий и учебников. Однако дискретные частотные характеристики (ДЧХ) это совсем не то же самое, что характеристики систем, дискретных во времени. Это другая ипостась науки о динамике.

Обращая свои взоры на теорию сигналов, мы видим там, что о дискретных спектрах говорят при ограничении сигнала во времени. Таким образом, дискретные частотные характеристики линейных динамических систем должны возникать при финитном управлении, когда время существования системы ограничено. Задачи линейной алгебры связаны преимущественно с решением уравнений и с поиском собственных чисел и собственных векторов. Линейные динамические системы входных сигналов по форме не повторяют и это объясняет отсутствие последней проблематики. Но не оправдывает пренебрежение центральной ветвью теории. На ограниченном интервале времени исключительно дело вкуса, как мы рассматриваем выходной сигнал, в прямом или инверсном времени. Раз система сигнал искажает, то возьмем, и инвертируем выходную зависимость. Можно провести эксперимент и убедиться, что в этом случае итерации подачи сигнала с входа на выход сходятся на выходе к сигналу, повторяющему входной по форме. Перед нами собственный вектор динамической системы. Но каков он, как он описывается? Оказывается, что ответ связан с базисным набором сигналов ДЧХ.

Заключение

Классическая АЧХ, это график амплитудных коэффициентов усиления простых гармоник. При этом они сдвигаются, по фазе, но на пренебрежимо малое расстояние, с точки зрения протяженности всего интервала целиком. Смысл обсуждаемого формализма сводится к тому, что ДЧХ лежит на АЧХ. На конечном интервале сдвиг заменяется инверсией. Каждая система имеет свой спектр и свой базис, определяемый топологией частотной характеристики, базис становится общим для всех динамических систем только при переходе к абстракции - бесконечному интервалу.

В завершение отметим, что довольно легко понять, почему младшие базисные функции звеньев более высокого порядка, чем первый, гиперболические. Двойной интегратор имеет "вулканчик" на АЧХ в начале координат. Одна стенка его пика обычная, а вторая лежит в области гиперболических частот. Базисная функция - кентавр: cумма круговой и гиперболической гармоник. Нарастающие по амплитуде колебания будут смещены вверх, занимая один квадрант. У обычного интегратора колебание - четвертушка синусоиды (флюс). Энергетически это не очень выгодное движение, для качелей, поэтому у колебательных звеньев гиперболические гармоники связаны с низом ДЧХ.

Критерию Найквиста не суждено перейти рубикон дискретности, поскольку на конечном интервале времени разница между устойчивыми и неустойчивыми системами нивелируется. Поэтому здесь уже видно, что новый фактор, ограниченное время процесса, приводит к нетривиальным изменениям теории. Можно было бы говорить о выхолащивании ее с упусканием подступов к рассмотрению наиболее интересных закономерностей, если бы не одно но. Реальные системы нередко, как раз, выполняют свою задачу в фиксированное время. То есть, нас интересует не динамика систем вообще, а динамика, приложимая к конкретному интервалу. В этом случае более информативны дискретные частотные характеристики.

ПРОДОЛЖЕНИЕ



Rambler's Top100