ДИСКРЕТНАЯ АЧХ

Панель инерционной системы Q(p)=1/D(p) выводит дискретный спектр на интервале времени, меньшем 1.5, зависящим от точности используемого универсального метода.

Матрица Теплица системы и дискретный спектр

Анализом сопровождающей ганкелевой матрицы может быть получен дискретный спектр (приближение) динамического звена, лежащий на АЧХ.

Главная сингулярная функция

На рисунке приведены первая (главная, красным) и вторая сингулярные функции системы, на первой из них реализуется максимальный энергетический коэффициент усиления. Классическая АЧХ, это график амплитудных коэффициентов усиления простых гармоник. На конечном интервале каждая динамическая система имеет свой спектр и свой базис, определяемый профилем частотной характеристики.

ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Частотная характеристика системы - это интереснейший объект, знакомство с которым стоит начинать с традиционной амплитудно-частотной характеристики A(ω)=|Q(jω)| интегратора Q(p)=1/p.


%toolbox control, 
w=joinfreq(10), N=1, D=[1 0], 

B=bode(N D w),  I1W=[w B], plot(w B),
A=abode(N D a), I1A=[a A], 

function: joinfreq(max),
w=frequence(max), w[0]=w[1], 
a={-w}, a=flip(a), w=join(a w), 
return w, 
end,

Традиционная АЧХ A(ω)=|Q(jω)| интегратора

Левая, симметричная половинка АЧХ, обычно не рассматривается. Данная трактовка АЧХ является частной, возможны, разумеется, иные срезы модуля Q(p) на комплексной плоскости.

Характерные воронки трехмерной характеристики будем называть вулканами
(или вулканчиками)

Для характеристики передачи экспоненциальных функций срежем модуль Q(p) вдоль оси вещественного аргумента A(α)=|Q(α)|

Нетрадиционная АЧХ A(α)=|Q(α)| интегратора

Заметим, что Q(α) может трактоваться как функция "мнимой частоты" Q(jω) при ω=-jα. Этот терминологический изыск встречается в работах И.А. Орурка, который интересовался входными экспоненциальными сигналами и приложением аппарата частотных характеристик для анализа апериодических процессов. Это, скорее, дань традиции, интересоваться "частотой", поскольку на комплексной плоскости срезов может быть больше, чем два, и все они заслуживают внимания.

Пока обе "частотные" характеристики с виду одинаковы, но есть одно но. Построим их для апериодического звена Q(p)=1/(p+1)


%toolbox control, N=1, D=[1 1],  

w=joinfreq(10),
B=bode(N D w),  A1W=[w B],   
A=abode(N D w), A1A=[w A], plot(w [B A]),  

function: joinfreq(max),
w=frequence(max), w[0]=w[1], 
a={-w}, a=flip(a), w=join(a w), 
return w, 
end,

Традиционная АЧХ и срез |Q(α)| апериодического звена

Тут выясняется различие. Традиционная АЧХ сохраняет свою симметрию, в то время как иной срез этим ценным топологическим качеством не обладает. Заметим, что это касается любых вообще звеньев. Трехмерная интерпретация срезов прозрачна - жерло "вулкана" смещается в точку -1.

Соответствующий профиль среза вулкана на левой стороне второй диаграммы отражает резонансное свойство устойчивого апериодического звена, для которого входной сигнал e-t с "частотой" -1 совпадает с собственным (свободным) движением.

Проверим отмеченное топологическое качество на звене второго порядка, что легко, при наличии под рукой вычислителя


%toolbox control, N=1, D=[1 0 1],  

w=getfreq(10),
B=bode(N D w),  K1W=[w B], 
A=abode(N D w), K1A=[w A], plot(w [B A]),  

function: getfreq(max),
w=frequence(max), w[0]=w[1], 
a={-w}, a=flip(a), w=join(a w), return w, 
end,

Традиционная АЧХ и срез |Q(α)| консервативного звена

Теперь вулканчик уселся на ось мнимых частот, но он тут удвоился. Такое существенное топологическое различие поясняется тем, что синус и косинус - составные функции: это полусумма и полуразность комплексных экспонени

sin(t)=(ejωt-e-jωt)/2, сos(t)=(ejωt+e-jωt)/2.

За бортом остались полусумма и полуразности вещественных сходящейся и расходящейся экспонент, образующих гиперболические синус и косинус

sh(t)=(eαt-e-αt)/2, сh(t)=(eαt+e-αt)/2.

Изменение понятия ФЧХ

Фазовый показатель комплексной функции Q(jω) описывает сдвиг фазы выходного синусоидального сигнала.

У экспоненциальных сигналов понятия сдвига фаз нет. Формально аддитивная поправка к аргументу может рассматриваться et+φ, она эквивалентна масштабированию et+φ=Met, где M=eφ. Ничего подобного нет у синусоидальных сигналов, где царит четкое разделение между амплитудой и фазой. Мало того, что понятие фазы и амплитуды вдоль среза по α смешаны, смена знака при функции не описывается фазой.

Беря модуль |Q(α)| и не имея заменителя фазы, мы теряем информацию о передаче сигнала на выход. Более целесообразно при срезе вдоль этой оси модуль не брать, вулканчиком придется пожертвовать. При "честных" расчетах правая сторона резонансного пика для экспоненциального сигнала должна достраиваться о знаком "-", т.е. к линии разрыва приходить снизу.

Составная АЧХ

На сопоставлении срезов |Q(jω)| и |Q(α)| ввиду разности масштабов мало заметно еще одно важное топологическое свойство АЧХ. Они сопрягаемы вдоль линии разреза 0. Сделаем это качество более явным


%toolbox control, N=1, D=[1 0 1],  
w=frequence(10), 

A=abode(N D w), B=bode(N D w), 
w=joinfreq(10), A=flip(A), A=join(A B), plot(w A), 

K1AW=[w A], %graph K1AW:2D,

function: joinfreq(max),
w=frequence(max), w[0]=w[1], 
a={-w}, a=flip(a), w=join(a w), 
return w, 
end,

Составная АЧХ консервативного звена

Так как |Q(α)| асимметрична, возможны два вида сопряжения, выбор зависит от вида сигналов.



Rambler's Top100