books

ЛИТЕРАТУРА

По теории чисел и ее приложениям существуют прекрасно написанные учебники, книги, и, увлечение последних дней, сетевые заметки и пояснения. Риторически спрашивается, зачем еще писать? Возьмите это, написанное, оно ничем не хуже. Предваряя повествование, назовем и отлинкуем несколько превосходных источников. В шестидесятых годах на русском языке опубликована книга президента Лондонского математического общества Гарольда Дэвенпорта. Примерно тогда же изданы книги Вацлава Серпинского и Александра Осиповича Гельфонда, Ойстина Оре. Много любопытного у Роджера Пенроуза. Полезно заглянуть в википедию, и узнать, кто такой Морделл Луис Джоел. Теореме Ферма посвящен бестселлер Саймона Сингха.

Интересны Дон Цагир. ПЕРВЫЕ 50 МИЛЛИОНОВ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ [2] Г.Г. Харди. Апология математика из сборника Абрамочкина Евгений Григорьевича

В школьном возрасте на Юрия Ивановича Манина большое влияние оказала книга Ивана Матвеевича Виноградова «Основы теории чисел» и в 15 лет он отослал Виноградову полученное им обобщение формулы для числа целых точек в круге. В 1953 окончил среднюю школу с золотой медалью и поступил на механико-математический факультет МГУ. Теперь мы можем почитать уже его видение теории и составных частей, см. "Введение в теорию чисел". Среди повествований о теории чисел есть повести короче, Гидинкин, о малой теореме Ферма. Размышление о математике с позиций кризиса ее, Морис Клейн.

Еще в начале прошлого века Алексей Николаевич Крылов писал, что "математика в современном своем состоянии настолько обширна и разнообразна, что можно смело сказать, что в полном объеме она уму человеческому непостижима, а следовательно, должен быть сделан строгий выбор того, что из математики нужно знать... Европейские народы унаследовали свою культуру от древних греков, населявших побережье восточной части Средиземного моря, главным образом теперешнюю Грецию. Само собой разумеется, что в то время геометрию изучали взрослые юноши, а вернее, в часы досуга зрелые бородатые мужи, искушенные в словопрениях перед судилищами и ареопагами, ибо лишь они могли оценить всю тонкость оргики Евклида; теперь же в Англии в буквальных переводах мучают 12– и 13-летних мальчиков, и можно лишь удивляться, как общество "Защиты детей от жестокого обращения и покровительства животным" это допускает".

Прекрасные строчки, достойные памяти. Наш век, век компьютерный. Помимо того, это век сетевой. Цитируя Крылова, мы можем позволить читателю заглянуть в книгу его воспоминаний, лишь бы она была "оцифрована" и выложена в сеть. Технология гиперлинка стирает границы между источниками. Ссылочные материалы легко доступны и составляют, как бы, часть повествования. Но не только это кардинально меняет книги нашего времени. Компьютер является помощником, до сих пор робко используемым. 2004 год, Джон Стилвел набирает сам книгу в LaTeX. Теории чисел посвящена сетевая книга Сергея Викторовича Сизого.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Числа Фибоначчи (Fibonacci):

Fn = Fn–1 + Fn–2,

где n>1, F0=0, F1=1, первые десять 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 и 55. Порождение суммы трех членов называют иногда последовательностью Трибоначчи (Tribonacci).

Числа Лукаса: 2, 1, 3, 4, 7, 11.. получены обобщением предыдущего с иными начальными условиями 2 и 1.

Золотое сечение: Fn+1/Fn стремится к (1+√5)/2

Fn+1/Fn = (Fn+Fn–1)/Fn = 1 + 1/Fn/Fn–1

где x=Fn+1/Fn, при большом n Fn+1/Fn = Fn/Fn–1, отсюда

x2 – x – 1 = 0, корни a=(1+√5)/2=1.618.., b=(1–√5)/2=–0.618..,

положителен первый корень, к нему стремится отношение. В то же время отношение членов последовательности Лукаса стремится к золотому сечению 0.618.., для этой последовательности x2 + x – 1 = 0, знаки корней инверсны.

Формула Бине: В 1843 Binet выражает числа Фибоначчи и Лукаса формулами через золотое сечение

Fn = (an – bn)/(a – b), Ln=an + bn

Фибоначчи полиномы: В 1883 два математика (Catalan and Jacobsthal) ввели в рассмотрение не числа, а полиномы

fn(x) = xfn–1(x) + fn–2(x),

где n>1, f0(x)=0, f1(x)=1, тогда fn(1)=Fn. Причем отношение полиномов последовательности fn+1(x)/Fn(x) стремится к a(x)=(x+√(x2+4))/2. Есть аналог формулы Бине, где b(x) сопряжено с a(x).

При x=2icosh(z) имеем a(z)=iez, b(z)=ie–z, тогда

fn=in–1 sinh(nz)/sinh(z).

Полиномы Якобсталя (Джекобса) (Jacobsthal):

fn(x)=fn–1(x) + xfn–2(x),

где n>1, fn(1)=Fn, fn(2)=Jn (числа последовательности Якобсталя). Немецкий математик Эрнст Якобсталь - ученик Фробениуса и Шура (формы Шура), диссертация по вычетам.

Матрица Якобсталя вошла в перечень стандартных матриц IT++ библиотеки C++ для научных расчетов, наравне с C-матрицами и матрицами Адамара.

Матрицы Фибоначчи или Q-матрицы. Степенные матрицы, связывающие элементы последовательности, см. у А. Стахова Матрицы Фибоначчи и новая теория кодирования | в сети полемика: о золотой лихорадке и конец науки

 books

ПИФАГОРОВЫ ТРОЙКИ

Пифагорова тройка (x,y,z), целые числа удовлетворяющие равенству:

x2 + y2 = z2

Общее параметрическое решение для пифагоровых троек (формула Евклида):

x=m(u2 – v2), y=2muv, z=m(u2 + v2),

где m, u, v - целые числа (параметры), u>v.


m=2, u=line(10), v=zero(10), 

x={{m*(u.*u-v.*v)}}, 
y={{2*m*(u.*v)}}, 
z={{m*(u.*u+v.*v)}}, 

P=[x y z], P=?, G=[x z],  plots(G),

ЕЩЕ

 books

Пифагоровы тройки как точки пересечения окружности с сеткой

Ферма заметил, что среди пифагоровых троек нет квадратов целых чисел. Иными словами, аналогичное уравнение четвертой степени неразрешимо в целых числах, и ему показалось, что он понял - почему это происходит для всех степеней, выше второй. В том случае, когда решение найти нетрудно, ценится противоположное умение указать те случаи именно, когда таковое определенно не существует.

 books

СЕТЕВЫЕ ИНСТРУМЕНТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ

WolframAlpha. В мае 2009 стартовало приложение пакета Математика, управляемое с командной строки и связанное с погодным сервером (распределенными датчиками).

Система терпима к обозначениям переменных и позволяет указать также начальные условия y(0)=1, y'(0) (рядом), см. справку.

Задание на поиск адамаровой матрицы 2-го порядка

a*a+b*b=2, c*c+d*d=2, a*c+b*d=0,

третьего

x1*x1+x2*x2+x3*x3=9, y1*y1+y2*y2+y3*y3=9, z1*z1+z2*z2+z3*z3=9, x1*y1+x2*y2+x3*y3=0, x1*z1+x2*z2+x3*z3=0, y1*z1+y2*z2+y3*z3=0,

затыкается по времени решения.

Тем не менее, находит интерпретацию нижнего элемента M7 по значению 0.1771 через радикал √7

 admin

ОБЩЕЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Диофантово уравнение - это уравнение вида

p(x1,...,xn) = 0

где p - целочисленная функция (например, полином с целыми коэффициентами), а переменные принимают целые значения. Названы в честь древнегреческого математика Диофанта.

­­Линейное уравнение

a1x1+a2x2 = b или ax=b,

где a - строка параметров, b - правая часть, x - вектор решения линейного вырожденного уравнения.

Классическое решение включает сумму частного решения x0 с добавкой

x=x0 + с'n/ НОД(a),

где с = (-a2 a1) - строка с обратным следованием элементов, n ∈ Z.

Для получения частного решения a и b делят на НОД(a), причем если b - не делится нацело, то уравнение неразрешимо. После этого искомое частное решение x0 = zb выражается через решение упрощенного уравнения az = 1, следующее из соотношению Безу алгоритма Эвклида.

Общее псевдорешение вырожденного уравнения

x=x0 + a+(b - ax0),

где a+ = a'/||a||2 - псевдообратная матрица, x0 - произвольный вектор притяжения.

УРАВНЕНИЕ ПЕ­­ЛЯ

Уравнение вида

x2 – dy2 = 1

где d - целое положительное число, не являющееся полным квадратом.

В общем виде задачу сформулировал французский математик Пьер Ферма, поэтому во Франции данное уравнение называется "уравнением Ферма". Современное же название уравнения возникло благодаря ­еонарду Эйлеру, ошибочно приписавшему их авторство Джону Пеллю (J. Pell; 17 в.).

Решение x0 = 1, y0 = 0 очевидно. Пары (±1, 0) являются решениями, называемыми тривиальными. Ввиду симметрии, достаточно найти решения с положительными x и y. Если d является полным квадратом, то у уравнения нет нетривиальных решений, поскольку в левой части стоит разность двух полных квадратов, что объясняет ограничение на этот параметр. Если d не является полным квадратом, то уравнение имеет бесконечное количество решений.

При больших x и y, являющихся решениями уравнения Пелля, отношение x / y должно быть близким к √d. Верно и более сильное утверждение: такое отношение должно быть подходящей дробью, и имеет место следующий критерий: числитель и знаменатель подходящей дроби являются решением уравнения Пелля тогда и только тогда, когда номер n этой подходящей дроби нечётен и сравним с -1 по модулю p (т.е. дает при делении на p число p-1), где p - период цепной дроби для √d. Отсюда, собственно, намечается путь к поиску решений (алгоритм).

Пример, уравнение

x2 – 13y2 = 1

т.е. d=13, период цепной дроби p=5, n=9 такое, что n mod p = -1, наилучшее приближение √13 = 649/180, т.е. x=649, y=180.


s=sqrt(13), f=fractions(s), f=?,

n=9, a=rational2(f 1 n), b=rational2(f 0 n), 

[a b]=?, [s a/b]=?, 

function: rational2(f b n),
var i n r a b, 
if typeof(f)=typeof(2), 
if b>0, a=f, else, a=1, end, else, 
if n>size(f), n=size(f), end,
if b>0, a=f[0], else, a=1, end,
for i=1:n, r=f[i]*a+b, 
b=a, a=r, end, end, 
return a,
end, 

function: fractions(x),
var q r f, r=x, q=floor(x), 
f=q, r=r-q, for var i=0:20, 
if r>0.0000001, r=1/r, q=floor(r), 
f={[f q]}, r=r-q, else, break, end, 
end, return f,
end,

Итак, следующее по величине (после тривиального) решение (x1, y1) можно найти, пользуясь разложением в непрерывную дробь числа √d. Всю совокупность решений (xk, yk) получают последовательным "умножением на себя":

xk + √d yk = (x1 + √d y1)k,

где k = 0, 1, 2,...

Для числа x + y √d можно ввести норму (x + y √d)(x - y √d) = x2 C dy2, таким образом, решения уравнения Пеля лежат на сфере единичного радиуса (решению соответствует единица кольца Z(√d)). Поэтому, а также в силу мультипликативности нормы, решения можно как "умножать", так и "делить": решениям (x1,y1) и (x2,y2) можно поставить в соответствие решения

(x1x2 + d y1y2, x1y2 + x2y1), (x1x2 - d y1y2, -x1y2 + x2y1).

А­ГЕБРАИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ­

В алгебраической теории чисел понятие числа расширяется, в качестве алгебраических чисел рассматривают корни многочленов с рациональными коэффициентами. При этом аналогом целых чисел выступают целые алгебраические числа, то есть корни унитарных многочленов с целыми коэффициентами. В отличие от целых чисел в кольце целых алгебраических чисел не обязательно выполняется свойство факториальности, то есть, единственности разложения на простые множители. См. Википедия. Наши помошники: Серпинский, Гельфонд

ДЕКОДЕР



Rambler's Top100