admin

С.Г. СМИРНОВ ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ

Еще про былинные времена..

ХАЛДЕЙСКИЕ МАГИ

Пыльный и шумный Вавилон, расположенный на голой песчаной равнине, не радовал царицу Амитис (Семирамида), выросшую восточнее, в гористой и зеленой Мидии. Чтобы утешить ее, в 600 г. до н.э. Навуходоносор приказал возвести "висячие сады" (история). В "Волшебной лампе" дядюшка Алладина - незабываемый злой магрибский маг. Магриб - темечко Африки (далекий запад), и Мидия - восток вавилонии - источники оккультных настроений и магии.

Обзоры по истории математики: В.К. Смышляев (соавтор учебника по алгебре), цикл рассказов о математиках. У Смышляева читаем: "Пифагор быстро осваивается со сложными Вавилонскими традициями.. У халдейских магов изучает теорию чисел. И, может быть, отсюда пошла та числовая мистика приписывания числам божественной силы, которая Пифагором была приподнесена как философия". И это задолго до мага же Ал-Хорезми. Что это за халдейские маги? Смешной вопрос. Производная от наименования племен, традиция передачи знаний из поколения в поколение. Что касается ритуалов и посвящения, то это, несомненно, взято Пифагором на вооружение у более развитых школ, перед лицом которых он выступает едва ли не мальчиком, смутившим разум простодушных греческих пастухов-аристократов.

Во время эллинизма имя халдеев сделалось обозначением вавилонского жречества с его "наукой". По Ктесию, халдеи пришли из Египта с Белом, организовавшим их в жреческую касту и научившим всякой божеской и человеческой премудрости, которую они в течение веков передавали из рода в род. Таким образом, халдеи, наряду с магами, друидами, брахманами, приобрели репутацию жреческих философов, всесветных мудрецов. Это представление сделалось господствующим. Халдеи сделались синонимом вавилонской культуры. Их считали основателями звездочетства и астрономии (Diod., II, 3 1, между прочим, говорит об их наблюдениях, обнимавших тысячелетия), первыми провозгласившими бессмертие души (Paus. 4, 32), математиками (Porphyr. v. Pythag. 9) и натуралистами, теософами и т. п. В связь с ними ставили даже религию Зороастра, объявляя его учеником их (Ammian Marcel. 23. 6) и т. п.

По всему миру можно было встретить странствующих шарлатанов, называвших себя халдеями. Уже Катон предостерегал от них римлян (De agricult., 5). В 139 г. до н. э. сенат изгнал из Рима шайку халдеев, но вскоре при трупе одного консула нашли халдейскую грамоту (Plut. Mar. 42). В халдеев веровал Сулла (Plut. S. 73), Цезарь, Помпей, Красс не гнушались слушать их предсказания. Существовали целые оккультистические школы халдеев. Тиверий на Родосе изучал у какого-то Фрасилла Scientiam Chaldaeorum artis (Tac. Ann. VI, 20). Халдеи имели успех при дворе императоров и у аристократии, а для провинций, после общественных бедствий, они были настоящими бичами, эксплуатируя суеверие, несмотря на протесты таких людей, как Фаворин (у Gell. 14, 1: «Adversu s e os, qui Ch. appellantur»). При таких условиях совершенно забывалось различие халдеев и вавилонян и даже вообще этнографическое значение термина "халдеи".

Последним, кто даeт себе в этом отчeт, был Страбон. Впрочем, во время парфян и Сассанидов различие окончательно сгладилось, тем более, что население Вавилонии осложнилось новыми элементами: иранцами, сирийцами, арабами. Смешение культур и синкретизм религий ещe более содействовал усилению ложных наук и теургий. Представители смешанного населения на почве древней культуры, гордясь своим мнимым происхождением от еe насадителей, производили впечатление ещe на мусульманских арабов времeн Аббасидов. Псевдохалдейская премудрость долго держалась как в Вавилонии (Багдад), так, особенно, в Месопотамии (см. Харран), выставив ряд учeных (особенно Сабит ибн Курра, 826 г.-901 г.) и целую литературу (на арабском языке) якобы переводов с древних вавилонских трактатов и сочинений якобы о вавилонской религии и философии.

Эти заведомые фальсификации высоко ценились до более близкого знакомства с подлинной вавилонской литературой.

Судьба Пифагора и его "магического" союза имела печальный конец, потому что идеология, лежавшая в основе деятельности союза, неуклонно вела его к гибели. Союз состоял главным образом из представителей аристократии, в чьих руках было сосредоточено управление городом Кротоном, и это оказывало большое влияние на политику. Между тем в Афинах и в большинстве греческих колоний вводилось демократическое управление, привлекавшее все большее число сторонников. Демократические движения стали преобладающими в Кротоне. Пифагор со своими сторонниками вынужден был бежать оттуда. Но это уже не спасло его. Будучи в городе Мерапонте, говорят, он, восьмидесятилетний старец, погиб в стычке со своими противниками.

ЗАГАДКА ХАЛДЕЕВ

Кто из нас не слышал библейскую историю о том, как халдейские маги и восточные цари, следуя указаниям путеводной звезды, пришли в Вифлеем, чтобы преклонить колени перед новорожденным Мессией и воздать ему принесенные дары. Существует много версий относительно халдеев. С давних времен историки разделяли халдеев-народность и халдеев-жрецов. Халдеи-народность - это семито-арамейская народность, проживавшая в конце II - начале I тыс. до н.э. на территории Южной и Средней Месопотамии. Вели борьбу с Ассирией за обладание Вавилоном. В 612 г. халдеи в союзе с мидийцами свергли ассирийское господство. В 626—538 гг. до н.э. в Вавилоне правила халдейская династия (Навуходоносор II и др.), основавшая Нововавилонское царство. В Древней Греции и Древнем Риме халдеями называли жрецов и гадателей вавилонского происхождения. ХАЛДЕИ (мн., ивр. KAS'DIM, греч. `oi chaldaioi) были очередным семитским племенем, давно обитавшим в Междуречье. По археологическим данным, пришли они туда с юго-запада, из Аравии, примерно около середины эры Овна (1000 до н.э.). Это были воинственные бедуины, состоявшие одно время на службе у ассирийских царей. В 626 г. халдей Набупалассар захватил вавилонский трон.

ХАЛДЕЯ – азиатская страна, в которой Вавилон был столицею, и которая потому называлась Вавилониею. Она орошалась двумя реками. Тигром и Евфратом, между которыми и находилась. Означенные реки, принимая в себя массу воды с Армянских гор, весьма часто выступали из берегов, обильно оплодотворяли всю страну наносным илом. Вавилонская равнина имеет около 400 миль в длину и 100 в ширину. Она очень плодородна. Жатва и урожай различных хлебных растений вознаграждались здесь сторицею. Обширные поля пшеницы, сжатой дважды в году, и после того давали обильный и прекрасный корм для скота. Продукты пальмовых деревьев были также различны и обильны. В 630 г. до н.э. халдеи спустились с Кавказских и Таврских гор бурным потоком, овладели западною Азией, разрушили Иерусалим, покорили под свою власть Тир и Финикию и основали государство, простиравшееся до берегов Средиземного моря и названное по имени их Халдеею. В 536 н.э. Халдея соединилась с Персиею, в 640 г. как Персия, так и Халдея подпали под власть Магомета, и, наконец, в 1639 г. под власть турок. Два названия - Халдея и Вавилония по-видимому очень часто прилагались к одной и той же стране. Первоначальное название по крайней мере известной части Халдеи было Сеннаар. Так как иудеи долгое время находились в Вавилонском плену, то они постепенно усвоили себе язык своих властелинов. Знание еврейского языка значительно забылось по крайней мере в среде простого народа, и потому чтобы дать ему возможность читать и понимать Священное.

Писание, были сделаны парафрастические переводы ветхозаветных писаний на халдейский язык. Со времен вавилонского плена по-видимому ведет свое происхождение и иудейская каббала

Стоит отметить, что "халдеями" европейцы и до сих пор по традиции иногда называют христиан - жителей Ирана и Ирака, а их церковь и официально называется Халдейской (Catholic Chaldaean Church, уния с Римом 1553, резиденция Патриарха в Багдаде). Но это, само собой, не те халдеи, о которых идет речь.

Древнее понятие халдейского жреца-мага во многом затерто понятием халдея-христианина (несторианца). Несторианцы-христиане, в свое время спасаясь от гонений, бежали из Константинополя в Вавилон и организовали там свою церковь, получившую права патриархата и состоящую в унии с Римом. Поскольку церковь именуется Халдейской, то и христиан-несторианцев называют халдеями. Но, совершенно понятно, что к древним магам-халдеям христиане-несторианцы отношения не имеют.

Халдеи не отменяли официального культа Мардука и других астральных божеств, но у них была и своя эзотерическая традиция, очевидно "архаичного" образца. Считается, что это с их подачи на всем семитском Востоке получили распространение амулеты и талисманы, приемы первобытной магии (энвольтирование) и примитивного гипноза ("сглаз").

Шумерские жрецы-халдеи были обособленным сословием, происходившим из знатных фамилий. Звание жреца было наследственным, кандидат в жрецы должен был быть здоров и не иметь физических недостатков.

Чаще всего правитель был и первосвященником, т. е. высшим жрецом, осуществлявшим на земле связь между Небом и людьми.

Вавилонские жрецы были учеными и самыми образованными людьми своего времени. Служили жрецы и жрицы в основном при храмах, которые имели форму ступенчатых башен. Жрецы знали астрономию, земледелие, математику, магию, мантику, медицину, искусство заклинаний и заговоров, времяисчисление, метрологию, религию, мифологию и др. До сих пор сохранились в различных музеях мира мистические произведения халдеев, записанные на клинописных табличках, это заклинания против злых демонов, астрологические расчеты, различные лечебно-магические наставления. Халдейские астрономы знали, что солнечный год составляет З65 и 1/4 суток, умели предвычислять солнечные затмения. Судьбы народов и государств вычислялись по положению небесных светил. По звездам вычисляли перспективы войны и мира, урожая и неурожая, судьбы правителей и простых людей, дожди и наводнения, голод, болезни и т.д.

Вавилонские жрецы широко использовали транс во вредоносной и военной магии, например, изготовив изображение врага, жрец входил в транс и, четко визуализировав всю картину боя, представлял себе, как враг отступает и гибнет. Выйдя из транса, жрец брал изображение, разворачивал его лицом вниз и сжигал.

Вавилонские жрецы, согласно легендам, унесли с собой сверхдревнюю тайную трансовую культуру, заимствованную ими от какой-то працивилизации, погибшей в Индийском океане двенадцать тысяч лет назад. Но многие исследователи считают Шумер, древний Вавилон, как и древний Египет, осколками цивилизации исчезнувшей Атлантиды. Когда речь заходит о Шумере, вспоминают и затонувший материк Му, основное население которого составляли краснокожие и чернокожие мутанты. Но, тем не менее, праотцами шумеров считают бледнолицых и черноголовых аннунаков с планеты Нубиру (Ю.Каныгин).

Часть халдейской трансовой культуры была заимствована иудеями во время вавилонского пленения (VI век до н. э.) и вошла позднее в каббалу - древнееврейскую трансовую культуру.

Греки халдеями называли древнюю касту жрецов, принадлежавших к племени халдеев, которые занимались астрологией и астрономией.

Когда Александр Македонский находился на пути в Вавилон, он встретил "халдейских предсказателей", которые убедили его не входить в город, поскольку "они узнали по звездам, что царская смерть должна наступить в Вавилоне". Халдеи были жрецами Бела-Мардука и они делали также предсказания наследникам Александра Антигону и Селевку.

Геродот (451 г. до н.э.), который упоминает группу жрецов бога Бела, которых он называет "халдеи" ("История" I 181-183).

Образ жизни этих "халдеев" описывает Страбон в "Географии" (кн. 16, ч.1) следующим образом: "В Вавилонии для местных философов, так называемых халдеев, которые занимаются главным образом астрономией, выделено особое поселение; причем некоторые из них, не признаваемые другими, выдают себя за предсказателей судьбы. Существует также племя халдеев, и территория, занимаемая ими, находится по соседству с арабами и Персидским морем... Существует также несколько племен халдейских астрономов. Некоторых, например, называют орхенами, других - борсиппенами и другими различными именами, согласно подразделению на разные секты, которые придерживаются разных учений по одним и тем же предметам. И математики упоминают о некоторых из этих людей, как, например, о Кидене, Набуриане и Судине. Селевк из Селевкии принадлежит также к халдеям...".

Так называемые халдеи Страбона все жили в Персидскую и Эллинистическую эпохи. Страбон проводит различие между "так называемыми халдеями", которые были философами и астрономами (астрологами), и племенем халдеев, которое жило на юге Вавилонии около Персидского залива. Это различие правильно. Во времена Навуходоносора халдеями как раз называли людей, живших в этой южной области, и цари Вавилона принадлежали к их числу. Уже позднее именем "халдеями" стали обозначать класс жрецов, живущих в Вавилоне, которые занимались астрономией и астрологией.

Халдеи проявляли активность в астрологии уже при Персидских царях (539 - 331 гг. до н.э.).

Основные черты учения халдеев из Вавилона изложены у Диодора (II 30-31). Это изложение состоит из семи частей:

о порядке и регулярности Космоса, о Божественном Провидении и об астрологических предсказаниях;

о планетах и их силах;

о неподвижных звездах и Зодиаке;

о влиянии планет на рождение и жизнь человека;

о 24 важнейших звездах вне Зодиака;

о Луне, затмениях и о форме Земли;

о наблюдениях, охватывающих 473 000 лет до похода Александра. Диодор указывает, что его источники содержали гораздо большую информацию.

Сохранились также другие указания об астрологических концепциях и методиках халдеев.

Плутарх в сочинении "Об Исиде и Осирисе" сообщает: " Халдеи заявляют, что из планет, которые они именуют "богами-хранителями", две благоприятные, две неблагоприятные, а три другие средние и имеют отношение к обоим свойствам". Плиний сообщает ("Nat. Hist." XVIII) о том, что существовала "Парапегма халдеев". Плиний приводит 10 пунктов из этого звездного календаря. В части 2 сочинения "Isagoge" Гемин приводит описание астрологического учения об аспектах. Гемин приписывает это учение и его приложение в гороскопии халдеям. Цензорин ("De die natali", 18, 7) считает халдейским изобретением и систему "Додекаэтерид".

Исследователи отмечают ясность изложений халдейских учений античными авторами, говорящую о стройности астрологической системы халдеев.

В литературе поздней античности халдей - восточный астролог, астролог, обучавшийся у месопотамских или других иностранных мастеров. Мидийская жреческая каста магов и халдейские жрецы считались представителями ближневосточных тайных учений, поэтому их имена заимствованы античной астрологией и магией.

А. Л. Чижевский (1897 – 1964) также отмечает, что своего пышного расцвета астрономическое знание достигло у халдеев. Они учили, что земные явления лишь отражают движение небесных светил, действие которых на Землю неодинаково… Древние греки и римляне, ознакомившись с халдейской мудростью, с величайшим почетом и удивлением отозвались об астрономических познаниях халдеев. Догмат о «всемирной симпатии» возник как результат мудрости халдейских астрологов, преломленный через призму первоначальной греческой философии и окончательно оформившийся в V и IV вв. до н. э. «…Чем более увеличивается сфера человеческого опыта, чем больше в науке накапливается фактов, свидетельствующих о влиянии среды на личность, на ее развитие и поведение, тем этот принцип астрологии приобретает в наших глазах все большее значение, как наивная и одновременно величайшая догадка древних об основных свойствах нашего мира, основанного на принципах монизма Космоса!»

Следует указать на различие между так называемыми «халдеями», которые были философами и астрономами (некоторые также астрологами), и племенем халдеев, которое жило на юге Вавилонии около Персидского залива. Во времена Навуходоносора халдеями как раз называли людей, живущих в этой южной области. Позднее именем «халдеи» стали обозначать класс жрецов, живущих в Вавилоне, которые занимались астрономией и астрологией.

Халдеи проявляли активность в астрологии уже при Персидских царях (539-331 гг. до н. э.). Диодор сообщает нам, что халдеи делали предсказания для нескольких царей, включая Александра, Антигона и Селевка Победителя. Плутарх сообщает в сочинении «Об Исиде и Осирисе»: «халдеи заявляют, что из планет, которые они именуют «богами-хранителями», две благоприятные, две неблагоприятные, а три другие средние и имеют отношение к обоим свойствам».

Есть основания предполагать, что все цитаты, приписываемые «халдеям», восходят к одному сочинению или группе сочинений, написанных по-гречески, где в систематизированном и ясном виде были изложены астрономическое и астрологическое учение халдеев. Это сочинение было написано в начале эллинистической эпохи (между 320 и 170 гг. до н. э.). По-видимому, многие более поздние астрологические сочинения были написаны под влиянием этой основополагающей книги.

Исследователи, изучающие прошлое человеческого общества, пришли к выводу, что и числовая мистика возникла в Халдее. На территории древней Халдеи археологами найдено много письменных источников - глиняных пластинок, которые раскрывают историю и культуру населявших ее племен.

Большое развитие получили у халдеев астрономия и математика. Они выделили среди звезд созвездия, дали им названия; определили, как движутся по небосводу Солнце,

Земля, Луна и планеты; научились довольно точно предсказывать солнечные и лунные затмения. Все это требовало немалых познаний в математике. Халдеи научились извлекать квадратные и кубические корни, знали об арифметической и геометрической прогрессиях.

У халдейских племен существовало многобожие, и каждый из небожителей имел свое число. Об этом рассказали клинописные таблички, обнаруженные археологами при раскопках библиотеки древнего ассирийского города Ниневии. "Творец мира" Бел обозначался числом 20; бог Луны Син - 30, низшие духи, в соответствии с их положением среди богов, зашифровывались уже только дробными числами: Утук - 30/60, Маским - 50/60 и т. д.

Символом вечности у халдейских жрецов-математиков считалось число 653. Священным было число 6532. С ними производились различные действия: разложение на составные части, возведение в степень. Различными комбинациями цифр зашифровывались астрономические познания, истории городов и проч.

С особым почтением относились халдеи к числу 60. При раскопках древнего Ниппура (территория нынешнего Ирака) обнаружены целые хранилища пластинок с записанными на них математическими упражнениями вокруг числа 60 и особенно 604. Почему?

Объяснять смысл математических головоломок "непосвященным" халдейские мудрецы отнюдь не собирались, и сейчас мы можем только догадываться, какие реальные факты и знания того времени были зашифрованы в цифровой магии. Своему народу жрецы преподносили мистику чисел лишь в самой элементарной форме: каждый житель Халдеи знал, что среди первого десятка чисел благоприятствующими человеку, счастливыми являются три и семь. Вот из какой древности пришла к нам вера в "счастливую семерку"!

Позднее, когда числовая мистика пустила корни во всем античном мире, эта вера была повсюду непререкаема. В числе семь древние видели отражение многих явлений мира: неделя делилась на семь дней; на небе было известно в те времена семь планет, а на земле насчитывалось семь чудес света: Большое место занимает эта цифра в древних мифах. У Атланта, подпиравшего плечами небесный свод, было семь дочерей - плеяд, которых Зевс превратил затем в созвездие; Одиссей семь лет провел в плену у нимфы Калипсо на острове Огигия; подземная река Стикс семь раз обтекает ад, разделенный, в свою очередь, на семь областей; у вавилонян подземное царство окружено семью стенами; по исламу, над нами находится семь небес, и все угодные богу попадают на седьмое небо блаженства:

Начиная с Халдеи, семерка, как добрая помощница, фигурирует в знахарских заговорах, заклинаниях. Отголоски почитания этого числа остались в разговорном языке многих народов до наших дней. И сейчас мы говорим: "Семь бед - один ответ", "Семеро одного не ждут", "Семь раз отмерь, один - отрежь":

Халдейская культура оказала большое влияние на культуру других народов древнего мира, а весьма заметной составной частью этой культуры, как уже сказано, была числовая символика. И вот мы видим, как она перекочевывает к народам Востока, к древним грекам и римлянам. Любопытно, что в индийской мифологии халдейская магия с числами оставила свой след главным образом в увлечении большими числами. В известном индийском сказании о битве людей с обезьянами сообщается, например, что в ней участвовало ни много, ни мало, как 10 тысяч секстильонов обезьян (!); Будда, оказывается, имел 600 миллиардов сыновей, и сам он был выдающимся математиком.

Интерес к халдеям-жрецам в последнее время приобретает новый интерес. Учитывая тот факт, что халдейские звездные таблицы насчитывают записи космических наблюдений на протяжении десятков тысяч лет, эти древние знания в современной научной экстраполяции могли бы помочь человечеству избежать многих ошибок на его вселенском пути.

В заключение рассказа о халдеях-жрецах наведу историю о трех халдейских загадках, почерпнутую мной из книги В. Пелевина «Генерация П»: «Три халдейские загадки (Три загадки Иштар). Предание о трех халдейских загадках гласило, что мужем богини мог стать любой житель Вавилона. Для этого он должен был выпить особый напиток и взойти на ее зиккурат. Неизвестно, что имелось в виду: церемониальное восхождение на реальную постройку в Вавилоне или галлюцинаторный опыт. В пользу второго предположения говорит то, что напиток приготовлялся по довольно экзотическому рецепту: в него входили "моча красного осла" (возможно, традиционная в древней алхимии киноварь) и "небесные грибы" (видимо, мухомор).

По преданию, путь к богатству и совершенной мудрости (а вавилоняне не разделяли этих двух понятий - они скорее считались взаимно переходящими друг в друга и рассматривались как различные аспекты одного и того же) лежал через сексуальный союз с золотым идолом богини, который находился в верхней комнате зиккурата. Считалось, что дух Иштар в определенные часы сходит на этого идола.

Чтобы быть пропущенным к идолу, необходимо было разгадать три загадки Иштар. Эти загадки до нас не дошли. Отметим спорную точку зрения Клода Греко, который полагает, что речь идет о наборе ритмизованных и весьма полисемантичных из-за своей омонимичности заклинаний на древнеаккадском, найденных на раскопках в Ниневии.

Гораздо более убедительной, однако, представляется версия, основанная сразу на нескольких источниках: три загадки Иштар представляли собой три символических объекта, которые вручались вавилонянину, пожелавшему стать халдеем. Он должен был разъяснить значение этих предметов (мотив символического послания). На спиральном подъеме на зиккурат было три заставы, где будущему халдею по очереди предлагались эти объекты. Того, кто решал хоть одну загадку неправильно, стража заставы сталкивала с зиккурата вниз, что означало верную гибель.

(Есть основания выводить позднейший культ Кибелы, основанный на ритуальном самооскоплении, из культа Иштар: самооскопление, видимо, играло роль замещающей жертвы.)

Тем не менее желающих было множество, так как ответы, которые позволяли пройти на вершину зиккурата и соединиться с богиней, все же существовали. Раз в несколько десятилетий это кому-нибудь удавалось.

Человек, который решал все три загадки правильно, всходил на вершину и встречался с богиней, после чего становился посвященным халдеем и ее ритуальным земным мужем (возможно, таких было несколько).

По одной из версий, ответы на три загадки Иштар существовали и в письменном виде. В специальных местах в Вавилоне продавались запечатанные таблички с ответами на вопросы богини (по другой версии, речь идет о магической печати, на которой были вырезаны ответы).

Изготовлением этих табличек и торговлей ими занимались жрецы главного храма Энкиду - бога-покровителя Лотереи. Считалось, что через посредничество Энкиду богиня выбирает себе очередного мужа. Это снимало хорошо известный древним вавилонянам конфликт между божественным предопределением и свободой воли. Поэтому большинство решавшихся взойти на зиккурат покупало глиняные таблички с ответами; считалось, что табличку можно распечатать, только взойдя на зиккурат.

Эта практика и называлось Великой Лотереей (устоявшийся термин, которым мы обязаны многочисленным беллетристам, вдохновлявшимся этой легендой, но более точный вариант перевода - "Игра Без Названия"). В ней существовали только выигрыш и смерть, так что в определенном смысле она была беспроигрышной. Некоторые смельчаки решались подниматься на зиккурат без таблички с подсказкой.

По другой трактовке, три вопроса Иштар были не загадками, а, скорее, символическими ориентирами, указывающими на определенные жизненные ситуации. Вавилонянин должен был пройти их и представить доказательства своей мудрости страже зиккурата, что делало возможным встречу с богиней.

В этом случае вышеописанный подъем на зиккурат представляется скорее метафорой. Бытовало поверье, что ответы на три вопроса Иштар скрыты в словах "рыночных песен", которые поют каждый день на вавилонском базаре, но сведений об этих песнях или этом обычае не сохранилось".

Nocticula (Фиалкора). Викканский ковен г. Киев http://wicca.in.ua

ПЛАНЕТА НИБИРУ

Со школьной скамьи всем нам известно, что в Солнечной системе существует девять планет, включая нашу матушку Землю. В учебниках по астрономии и на лекциях в планетарии подробно рассказывается об этих относительно хорошо изученных небесных телах, на которых отсутствуют - за исключением нашей Голубой планеты - привычные нам формы органической жизни.

Эти планеты были известны людям тысячи лет назад. О них знали древние шумеры и персы, египтяне и ассирийцы, инки и китайцы. Сказания и легенды о девяти небесных богах бытуют даже у первобытных племен Африки, Австралии, а также у коренных народов Крайнего Севера, Сибири, Камчатки и Северной Америки. Однако практически в каждой древней культуре также сохранились упоминания о некоем небесном теле, сыгравшем в жизни ее представителей особую роль.

Божественная Нибиру. У народов Северного Китая сохранились предания о том, как однажды высоко в небе появилась большая золотая ладья, с которой на землю спустился бог по имени Энлиль. Этот бог построил город мудрости и дал посвященным людям тайные знания. Схожие по содержанию, но гораздо более древние легенды бытовали и у шумеров, наделявших десятую планету, которую они называли Нибиру, божественными свойствами. Подробная информация об этом содержится в клинописных надписях на глиняных табличках, которые в большом количестве были найдены на территории современного Ирака.

Причины неизвестны…

Астрономы XIX-XX веков, знавшие об этих и подобных им легендах, выдвигали различные гипотезы, касавшиеся таинственной планеты. Одни ученые утверждали, что древние люди обожествляли некую комету, время от времени пролетавшую на незначительном от Земли расстоянии.

Другие предполагали, что тысячелетия назад в Солнечной системе действительно существовала десятая планета, которая по неизвестным причинам погибла, породив большое количество метеоритов. Еще из одной версии следовало, что долгое время вокруг Солнца вращалось некое большое космическое тело, которое из-за своей неустойчивой траектории, либо под воздействием внешних гравитационных сил покинуло Солнечную систему и ушло в дальний космос.

Необычные гипотезы. Начиная со второй половины XX века многие ученые стали склоняться к тому, что загадочная десятая планета все же существует, появляясь рядом с Землей через длительные временные промежутки. Так, новосибирский ученый Сергей Федорович Карнаухов, работавший с 1979 по 1985 годы сотрудником Зеленчукской астрофизической обсерватории, в середине 80-х годов XX века выдвинул гипотезу о существовании в Солнечной системе десятой планеты, имеющей очень вытянутую орбиту. Несколькими годами позже предположение советского астрофизика было закреплено оригинальной теорией американского ученого Захария Ситчина, который также заявил о том, что в нашей звездной системе имеется еще одна крупная планета, весьма редко появляющаяся на небосклоне, которая оказала решающее значение на развитие человечества.

Неземные гены земных людей. Теорию Ситчина очень своеобразно продолжил его коллега Алан Элфорд, считающий, что на этой таинственной планете уже сотни тысяч лет назад существовала высокоразвитая техногенная цивилизация. По мнению А. Элфорда, ее представители впервые ступили на Землю 272 183 года назад, когда десятая планета в очередной раз оказалась на близком расстоянии от нас расстоянии, и… создали первых людей, которых рассматривали в качестве эффективной рабочей силы.

В подтверждение своей гипотезы А. Элфорд привел выводы ученых-генетиков, согласно которым человеческий геном, состоящий из 30-35 тысяч генов, на 99% совпадает с геномом шимпанзе и на 70 % с геномом мыши. Кроме этого, некоторые человеческие гены идентичны генам беспозвоночных животных, растений, дрожжей и плесени. Но у современного человека есть еще 223 гена, которых больше нет ни у одного живого существа на Земле, и которые, соответственно, не могли появиться в результате земной эволюции. Согласно исследованиям и предположениям А. Элфорда, через 18 тысяч лет после своего первого посещения Земли пришельцы построили в Двуречье первый город - Эриду, память о котором до сих пор сохраняется в древних легендах…

Изображение датировано примерно 6000 годом до н.э. Расположена в Тассили, Пустыне Сахара, Северная Африка.

Причина Всемирного потопа. На рубеже 80-90-х годов прошлого века Карнаухов с рядом ученых-единомышленников, в число которых вошел и доктор физико-математических наук Андрей Ппатонович Краев, создали математическую модель этой таинственной планеты. Результаты удивили ученых. В частности, было теоретически установлено: эта планета, имеющая у ряда народов название Нибиру (в переводе с древнешумерского означает «Пересечение»), совершает один оборот вокруг Солнца за 3600 лет. В то время как самая удаленная планета, из известных современным астрономам, - Плутон - оборачивается вокруг нашего светила за 247 лет. Предположительная масса Нибиру равна четырем массам планеты Земля, а наибольшее расстояние удаления десятой планеты от Солнца в три раза больше того, на которое от нашей звезды удаляется Плутон.

Математическая модель также показала и то, что последний раз Нибиру находилась на самом близком от Земли расстоянии, равном 12 миллионам километров, в 10 983 году до н. э. Согласно библейским источникам, именно в это время на нашей планете и случился Всемирный потоп, уничтоживший практически всю земную цивилизацию, а также большую часть животного и растительного мира. Китайское предание о золотой ладье и мудром боге Энлиле, построившем город, датируется II веком до нашей эры. Согласно же расчетам С.Ф. Карнаухова, последний раз планета Нибиру приближалась к Земле в 183 году до Рождества Христова. Любопытно и то, что во время раскопок, проводившихся китайскими археологами в гористой местности Внутреннего Алтая во второй половине 70-х годов прошлого века, были обнаружены руины древнего поселения, жители которого, как предполагается, имели очень высокую культуру.

Возможно, Город мудрости исчез с лица земли в результате катастрофического землетрясения, произошедшего в Северном Китае в III веке н. э., которое до неузнаваемости изменило ландшафт местности.

Роковая встреча с Землей. Почему же до сих пор загадочную десятую планету не удалось обнаружить ни одним из известных современной астрономии приборов? Возможно, считают С.Ф. Карнаухов и А.П. Краев, вокруг Нибиру имеется некое поле, не позволяющее радиоволнам ее выявить. А расстояние, на котором она находится в настоящее время от Земли, не дает возможности обнаружить ее современными оптическими приборами. По расчетам российских ученых, очередное появление десятой планеты рядом с нами следует ожидать лишь только в 3417 году. Однако, как следует из математической модели Карнаухова-Краева, примерно 350 лет назад загадочная планета Нибиру преодолела самую дальнюю точку своей траектории и сейчас стремительно приближается к Земле.

В случае осуществления наихудших прогнозов наша планета достаточно быстро сойдет со своей орбиты и отправится в свободное космическое путешествие, что навсегда уничтожит все органические формы жизни на Земле.

ХОРЕЗМ

Территорию древнего Хорезма часто называют "среднеазиатским Египтом". И, надо сказать, это весьма подходящее сравнение.

Не много в мире найдется мест, где на сравнительно небольшой территории было бы сконцентрировано такое количество памятников древней архитектуры. Одних только крепостей насчитывается здесь более десятка. И так же, как египетские пирамиды, они ошеломляют человека, впервые оказавшегося в непосредственной близости от них. У стороннего наблюдателя или путешественника сразу же рождается множество вопросов: как древние строители при отсутствии какой-либо строительной техники могли возвести все эти грандиозные сооружения? Благодаря чему многие постройки сохранились до наших дней? А ведь возраст большинства из них - две тысячи лет.

Результаты работы хорезмцев потрясают. Взять хотя бы грандиозный комплекс Топрак-Кала (Земляной город), стены которого тянутся более чем на километр. Это был целый город, в котором историки насчитали не менее десяти кварталов. Город начал возводиться в I веке нашей эры. Так как строился он на равнине, для защиты от нападений его непременно должна была окружать высокая стена. И она была сооружена. Высотой до 10 метров! Только представьте себе масштаб строительства: сотни людей участвовали в насыпных работах, а параллельно с этим на самом высоком месте возводился еще и красавец замок.

Работали древние строители поистине ударными темпами. Два-три месяца - и крепость была готова. Зодчие четко знали свое дело и прекрасно разбирались в качестве строительного материала. То ли природа давала мастерам отменное сырье, то ли сами они владели какими-то ныне уже утраченными секретами изготовления высокопрочных сырцовых блоков и кирпичей, но построенные из этих самых блоков и кирпичей крепостные стены прекрасно выдержали испытание временем, атаки ветров, дождей, 50-градусный зной, налеты войск арабского полководца Кутейбы, захватившего Хорезм в 712 году, а потом и нашествие монгольских полчищ. Многие древние крепости выглядят так, будто были покинуты своими обитателями только вчера.

И удивительно то, что, несмотря на свою величественность и хорошую сохранность, о самом существовании этих крепостей сегодня известно только узкому кругу специалистов. Летопись мертвых городов этого государства пестрит нерасшифрованными страницами, которые обязательно рано или поздно будут прочитаны. Есть пример: трудно поверить, что еще в начале XIX века науке было мало известно о древней истории Египта, Вавилона, Ассирии, а сейчас мы знаем о прошлом этих могущественных империй довольно много. Возможно, и история древнего Хорезма со временем приоткроет свои тайны.

АББАСИДЫ

Хашимиты — потомки Хашима ибн Абд ад-Дара, деда пророка Мухаммада, включая его самого. Вели ожесточенную борьбу за власть с Омейядами.

Аббасиды считались хашимитами. Аббасиды – вторая (после Омейядов) династия арабских халифов (750-1258), происходившая от Аббаса ибн Абд аль-Мутталиба, дяди пророка Мухаммеда. Свергли Омейядов, по всему халифату, кроме Аль-Андалузии. Начали своё правление в городе Карры в 750 году, а в 762 году перенесли столицу в Багдад. Современные династии иорданских и марокканских королей считаются хашимитскими.

БАГДАД

Багдад был основан на западном берегу реки Тигр 30 июля 762 года. Строительство этого города, изначально столицы государства Аббасидов, началось по распоряжению халифа Абу Джафар аль-Мансура. Первое название, данное столице, – Мадина-эль-Мудаввара, что в переводе означает «город-круг» и связано с его планировкой, имеющей и по сей день круглую форму. После окончания строительства основатель города назвал его «городом мира», в арабском варианте – Мадина-эс-Салам. Однако впоследствии за иракской столицей закрепилось название, которое она носит и до настоящего времени; оно переводится с древнеперсидского примерно как «богом данный» или «божий дар». В IX—X вв. Багдад превратился в наиболее крупный культурный и экономический центр ближневосточных территорий. В период с 836 по 892 годы столицей халифата был город Самарра.

"ВОЛШЕБНИК" ИЗ БАГДАДА

Я составил краткую книгу об исчислении
алгебры и алмукабалы, заключающую в себе
простые и сложные вопросы арифметики,
ибо это необходимо людям.

Ал-Хорезми

МАТЕМАТИКА В СРЕДНИЕ ВЕКА

Новая арабская династия Аббасидов, распрастранившая свою власть на огромной территории от Испании до Средней Азии, заложила недалеко от развалин Вавилона новую столицу Багдад с множеством дворцов, мечетей и домов, с узкими восточными улочками.

Земледелие требовало ирригационных работ, а длительные военные походы и обширная торговля с соседними странами - знания географии, что в свою очередь связано с развитием астрономии и математики. Это и была одна из причин, заставивших багдадского халифа покровительствовать наукам. Они стали приглашать в Багдад виднейших ученых из покоренных стран.

В начале девятого века в числе других ученых в Багдаде оказался и среднеазиатский математик Мухаммед бен Муса ал-Хорезми, называемый также ал-Маджуси.

Что же скрывается под этим именем? Имя ал-Хорезми указывает на его родину - среднеазиатское государство Хорезм (ныне территория Узбекистана), бен Муса значит "сын Мусы", а одно из прозвищ ученого - ал-Маджуси - говорит о его происхождении из рода магов (по-арабски "маджусь"). Это показывает также, что одним из источников знаний Мухаммеда ал-Хорезми была наука доисламской Средней Азии, хранителями которой были маги.

Сведения о жизни и деятельности ал-Хорезми, к сожалению, почти не сохранилось. Известно лишь, что он возглавлял в Багдаде библиотеку Дома мудрости, своего рода Багдадской академии, при халифе ал-Мамуне. А при другом халифе ал-Васике, преемнике ал-Мамуна, он возглавлял экспедицию к хазарам. Но остались арифметический трактат "Книга об индийском счете", алгебраический трактат "Краткая книга об исчислении аль-джебры и алмукабалы", астрономические таблицы и географический трактат. Оба математических трактата были переведены на латинский язык средневековой Европы и служили долгое время основными учебниками по математики.

Имя ал-Хорезми в видоизмененном виде Algorithmus превратилось в нарицательное слово "алгоритм" и сначала означало всю систему десятичной позиционной арифметики. Впоследствии этот термин приобрел более широкий смысл в математике как правило выполнения операций в определенном порядке. Вспомним, к примеру, алгоритм Евклида или алгоритм решения квадратного уравнения.

Слова "аль-джебр" и "алмукабала", стоящие в заглавии алгебраического трактата, означали две простейшие алгебраические операции при решении уравнений. От слова "аль-джебр" произошел термин "алгебра". Если провести запись при помощи современной символики, то эти два действия можно пояснить на следующем примере. Пусть дано уравнение 6x-13=5x-8. Прибавив к обеим частям по 13 и 8, совершим действие "аль-джебр". Получим 6x+8=5x+13. Отнимая от обеих частей по 5x и по 8, совершим действие "альмукабала" и в результате получим x=5. Таким образом действия "аль-джебр" и "алмукабала" заменили собой присменяющийся ныне перенос членов уравнения из одной части уравнения в другую с приведением подобных членов.

Эти две операции позволили ал-Хорезми приводить всякое алгебраическое уравнение первой и второй степени к каноническим формам, которых у ал-Хорезми шесть: bx=c, ax2=с, ax2=bx, ax2+bx=c, ax2+c=bx, ax2=bx+c.

Все эти уравнения записывались им словестно, коэффициенты a,b и c рассматривались только положительными.

Понятно, что решение этих уравнений ал-Хорезми выражал в виде словестных правил. Но если их перевести на наш современный математический язык, то получим формулы, по которым можно найти корни уравнений. Например, ришение уравнения "квадрат и десять "вещей" равны 39", то есть x2+10x=39, получалось следующим образом: чертили квадрат, сторона которого равна неизвестной "вещи", а площадь, следовательно, равна квадрату; далее чертили два примыкающих к нему прямоугольника, длина которых равна "вещи", ширина половине десяти, то есть пяти. Площадь обоих прямоугольников 10x. По условиям площадь полученной фигуры равна 39. Эта фигура дополнялась до полного квадрата квадратом, сторона которого равна 5, а площадь 25. Получилось, что площадь всего квадрата равна 39+25=64. Значит сторона его равна 8, а "вещь" равна 8-5=3.

В отличии от греков, которые, разумеется, тоже решали квадратные уравнения, но решали чисто геометрическим путем, ал-Хорезми чертежом пользуется лишь для пояснения справедливости своего риторического решения. Он может решить любое квадратное уравнение по его общему правилу (найти положительные корни). Если у греков было именно геометрическое решение, то метод ал-Хорезми - почти алгебраический. И это колоссальный шаг вперед по сравнению с геометрической алгеброй греков; от него остается один шаг (правда, длиной в добрых семь с половиной веков) к алгебре символической, алгебре Виета-Ньютона.

В своем арифметическом тракте ал-Хорезми в основном следовал индийским образцам, и именно через него европейцы познакомились с индийскими методами записи чисел, то есть с употреблением нуля и с поместным значением цифр. Алгебраический же трактат отличался от работ как индийских математиков, так и греческих. Можно пологать, что в этой книге ад-Хорезми следовал местным традициям и собственным результатам. Если большинство греков не видело необходимости в приложении научных знаний к практическим потребностям, то главным желанием ал-Хорезми было поставить науку на службу человечеству, приспособить ее к практическим целям. Алгебра ал-Хорезми имеет раздел о торговле и торговых сделках, с задачами на тройное правило. Таким образом, впервые в истории математики в трактате ал-Хорезми появиллись общие правила решения квадратных уравнений. Но потребовались еще сотни лет, чтобы предать им общепринятую сейчас форму.

В.К. Смышляев "О математике и математиках" | Алгебра | Библиотеки | Ф. Виет

БИБЛИОТЕКА БУХАРЫ

На территории Средней Азии искони существовали крупные книгохранилища, основанные еще до арабского завоевания. "В Бухаре, например, - отмечает известный знаток рукописей А. А. Семенов, - с начала XV в. существовала большая библиотека общественного пользования, основанная известным шейхом Мухаммедом Парса (умер в 1419 г.). Она заключала множество рукописей разнообразного содержания, среди них было немало драгоценных по своей древности и редкости". "Рукописи продавались,- продолжает А. А. Семенов,- во всех городах Средней Азии, но самые обширные книготорговли были в Бухаре и Карши, где на базарах существовали специальные ряды продавцов рукописей и печатных изданий. Здесь у книготорговцев можно было найти немало рукописей, высокохудожественно оформленных, украшенных чудесными миниатюрами, рукописи разнообразного сочинения и различных эпох".

Значение этих рукописей было огромно, так как "помимо памятников письменности местного происхождения существовало огромное количество рукописей иноземного происхождения: из Аравии и Египта, из Турции и Ирана, из Афганистана и Индии, из Кашгара и Поволжья. Оживленные торговые, политические и религиозные связи со всеми этими странами весьма способствовали притоку в Среднюю Азию самой разнообразной литературы. При этом нередко случалось, что именно в Средней Азии оказывались списки совершенно уникальные, нигде больше не встречающиеся или собственноручно переписанные разными знаменитостями не только в области литературы и истории, но и в области восточной каллиграфии".

АЛ-ХОДЖАНДИ

Абу Махмуд Хамид ибн ал-Хызр ал-Ходжанди (перс. ابومحمود خجندی‎, англ. Abu Mahmud Hamid ibn al-Khidr Al-Khujandi, умер ок. 1000 г.) — персидский математик и астроном, уроженец Ходжента, работал в Рее. По словам лично знакомого с ним ал-Бируни, ал-Ходжанди представлял собой "исключительное явление своей эпохи в деле изготовления астролябий и других инструментов". Он построил в окрестностях Рея знаменитый «Фахриев секстант», описанный ал-Бируни в специальном трактате.

Ал-Ходжанди принадлежит ряд работ по астрономии: «Книга о действиях с астролябией "заркала"», «Книга об универсальном инструменте», «Книга о тимпане горизонтов», «Книга об определении наклона эклиптики», «Книга об уточнении склонения и широты местностей», «Книга об азимуте киблы».

В «Книге о прошедших часах ночи» ал-Ходжанди (в одно время с Абу-л-Вафой и Ибн Ираком) доказал теорему синусов для сферического треугольника, позволившую упростить решения ряда задач сферической астрономии, которые до этого решались с помощью теоремы Менелая для полного четырёхсторонника. В неопределённом анализе ал-Ходжанди попытался доказать, что сумма двух кубических чисел не может быть кубическим числом - частный случай великой теоремы Ферма. Это доказательство не сохранилось; о нём упоминает в своём сочинении Ибн ал-Хусайн.

ТИМУР

Тимур родился 9 апреля 1336 года в кишлаке Ходжа Илгар (ныне Яккабаг) близ Шахрисабза, что находится в месте, называемом Кеш, в восьмидесяти километрах к югу от Самарканда. Его отец, эмир Мухаммад Тарагай, ведет свое происхождение от монгольского племени барласов, которые пришли в Мавераннахр (место в Средней Азии, междуречье Аму-Дарьи и Сыр-Дарьи, включая Бухару и Самарканд) с Чингизханом. В Шахрисабзе тогда правил прямой потомок Чингизхана Хаджа-барлас, а отец Тимура, будучи близок к нему, был тесно связан со знатью Мавераннахра и Могулистана. О матери Тимура известно только, что ее звали Текина Мох-бегим.

МАССА КАРТИНОК

Он был предводителем небольшого отряда таких же как он юношей, с которыми совершал набеги на соседние земли и торговые караваны. В 1358 году в возрасте двадцати двух лет Тимур поступает на службу к хану Туглук-Тимуру и с 1360 года он становится правителем небольшого Кашкадарьинского тумана (области). Он женится на сестре правителя Балха, эмира Хусейна, с которым начинает совместную борьбу против наследного правителя Мавераннахра, сына Туглук Тимура, Ильяс-ходжы. Именно тогда будущий великий завоеватель получает ранение в ногу и навсегда остается хромым, получив прозвище в мире – хромой Тимур (Тамерлан, Тимур-ленк, Железный Хромец). Получив поражение в первом сражении, Тимур и Хусейн все же завоевали Самарканд, воспользовавшись победой жителей Самарканда над Ильяс-ходжой, сражающихся на стороне так называемых сарбадаров, выступающих против монголов.

Более двух тысяч лет Самарканда являлся ключевым пунктом на Великом шёлковом пути.

СЕКСТАНТ

В Х в. известный среднеазиатский мастер ал-Ходжанди изобрёл и впервые построил в городе Рей под Тегераном так называемый секстант Фах-ри, традиционно названный в честь тогдашнего местного правителя. Его дуга радиусом 20 м располагалась в закрытом павильоне. Она была частично заглублена в землю. В крыше, в точке, совпадавшей с центром дуги, проделывалось отверстие, сквозь которое светило в момент кульминации бросало луч на градуированную дугу. Луч заменял громоздкую при таких размерах алидаду. Инструмент благодаря этой гениально простой находке был безопасен для зрения. Улугбек увеличил его размеры вдвое, отчего возросла и его точность.

ОБСЕРВАТОРИЯ ПОД САМАРКАНДОМ

Мирза Мухаммед ибн Шахрух ибн Тимур Улугбек Гураган, великий узбекский астроном и покровитель науки, внук знаменитого среднеазиатского завоевателя Тамерлана, родился 22 марта 1394 г. во время одного из походов своего грозного деда, в военном обозе. С 1409 г. он правил Ма-вераннахром, государством, расположенным в Средней Азии между реками Сырдарьёй и Амударьёй, со столицей в Самарканде. В 1447 г. после смерти своего отца Шахруха Улугбек стал правителем всей бывшей империи Тамерлана и главой династии Тимуридов. С юности он проявлял большую склонность к наукам и искусствам, особенно к математике и астрономии. Обширные познания Улугбек приобрёл, читая рукописи из богатейшей библиотеки, собранной его отцом, и общаясь с видными учёными своего времени - математиками и астрономами Джемшидом Гияс-ад-дин-ал-Каши и Казы-заде-ар-Руми.

Свою власть и богатства он направлял в основном на развитие наук и образования в стране, строил высшие школы-медресе и читал в них лекции по астрономии. По отзывам современников, Улугбек был незаурядным учёным.

В 1417-1420 гг. по совету ал-Каши и по проекту Улугбека, ар-Руми и зодчего Тахира ибн Мухаммеда в 2 км от Самарканда была построена астрономическая обсерватория, ставшая самой знаменитой на Среднем и Ближнем Востоке. Её трёхъярусное цилиндрическое здание диаметром более 48 м и высотой не менее 30 м было сооружено на холме. Оно возвышалось над окружающей местностью на высоту современного 12- 13-этажного дома. Главным её инструментом был громадный стенной квадрант (использовавшийся как секстант, т. е. на протяжении дуги в 1/6 окружности) с радиусом 40,2 м. Мраморная дуга квадранта имела ширину 2 м. Верхним концом она упиралась в крышу здания (которое по существу было оболочкой для этого инструмента), а нижним уходила на 10 м под землю, размещаясь в вырубленной в скале траншее.

По сравнению с унаследованными от Птолемея стенными квадрантами это был принципиально новый угломерный инструмент, предназначенный главным образом для измерения высоты Солнца в кульминации. В обычных квадрантах и секстантах направление на светило фиксировалось с помощью подвижной линейки (алидады), направленной по радиусу дуги инструмента. На ней укреплялись два диоптра, сквозь которые наблюдатель смотрел на светило и таким образом наводил на него алидаду. Её нижний конец при этом указывал на градуированной дуге высоту или зенитное расстояние светила в момент кульминации. Наблюдения Солнца с помощью такого инструмента часто приводили к слепоте наблюдателя. Свет от небесного тела (главным образом от Солнца) проникал в помещение квадранта сквозь отверстие в верхней части южной стены обсерватории.

Изображение светила наблюдалось на круглом белом экране с нанесённым на нём крестом, отмечавшим его центр. Экран мог перемещаться в полуметровом по ширине жёлобе, проходившем по центральной части дуги квадранта.

 admin

ЧИСЛА 3, 4, 5

Уравнение известное в древности (привело Ферма к формулировке его теоремы)

9+16=25

все три числа квадраты, см. пропорции пирамиды, на фото.

КИНО С ПИРАМИДАМИ

КРАСНОЯРСКИЙ ФЕНОМЕН

Обобщения. Начались с отрицания. Пьер Ферма заметил, что четвертым степеням в подобных равенствах нет места. Отрицание - самое ценное качество теоремы Пифагора (числа 1 и 2), за постижение которого маэстро, по преданию, утопил Гиппаса, ибо оно нарушало его эстетические установки. Уравнение, над которым размышлял Гиппас, всего то (и надо же за это поплатиться жизнью)

1+1=2

Корень из 1, это единица. А вот корень из двух, не существует, как дробное отношение n/m, признаваемое греками числом. Получается, что каждое отрицание - плодотворно. Если нет, но надо, то появится, но в ином качестве. Теорема Ферма относит относит отрицание к любой степени n>2. Эйлер (и ал-Ходжанди?) отмел кубы.

Дирихле и Лежандр в 1825 разобрали случай n = 5, Ламе - для n = 7. Куммер показал, что теорема верна для всех простых n, меньших 100, за возможным исключением т. н. иррегулярных простых (англ.) 37, 59, 67. Эйлер же предложил выход: брать три слагаемых 33 + 43 + 53 = 63, потом четыре и т.п., Нори (1911 г.) 304+1204+2724+3154 = 3534, контрпример К. Дж. Леидера и Т. Р. Паркина (L. J. Lander, T. R. Parkin, 1966 г.) 275 + 845 + 1105 + 1335 = 1445. В 1988 году Наум Элькис из Гарвардского университета нашел следующее решение: 26824404 + 153656394 + 1879604 = 206156734

Сжимающая одно число (26) разность куба и квадрата

27-25=2

Ферма доказал, что это сочетание единственно. Сын Ферма выпустил отдельное издание Диофанта с замечаниями Ферма, а иначе как бы о них узнали?

Теорема Ферма (Эйлера) о простых числах. Все простые числа подразделяются на числа, представимые в виде 4n+1, и числа, представимые в виде 4n–1, где n — некоторое целое число. Так, число 13 принадлежит к первой группе (13 = 4·3 + 1), а число 19 — ко второй группе (19 = 4·5–1). Теорема Ферма о простых числах утверждает, что простые числа первой группы всегда представимы в виде суммы двух квадратов (13 = 4 + 9), в то время как простые числа второй группы никогда в виде суммы двух квадратов не представимы (19 =? + ?). В 1749 году, после семи лет работы и почти через сто лет после смерти Ферма, Эйлеру удалось доказать эту теорему о простых числах.

Для случая n = 3 теорему Ферма в X веке пытался доказать ал-Ходжанди, но его доказательство не сохранилось. Любое число, представимое в виде 8-й (а также 12-й, 16-й, 20-й…) степени некоторого числа, представимо и в виде 4-й степени какого-то другого целого числа. Например, число 256 равно 2, но оно равно и 44. Следовательно, любое доказательство, которое «работает» для 4-й степени, остается в силе для 8-й и любой другой степени, кратной 4. На основе того же принципа можно утверждать, что эйлеровское доказательство для n=3 автоматически переносится на n=6, 9, 12, 15…. Тем самым Великая теорема Ферма утратила свой неприступный вид и оказалась верной сразу для многих чисел n.

Заметим, что кратность 4 касается также матриц Адамара, четного порядка. У C-матриц важную роль играет представимость q=n-1 в виде суммы квадратов двух чисел. Исключения 22, 34, 58 (68?). Сопоставим с иррегулярными простыми 37, 59, 67.

ПИФАГОР и ЧИСЛА

Древние знания, заключенные в числах

Число - это символ, выражающий некую идею, абстракцию. Многие ученые согласны с тем, что любое возможное знание присутствует в уме в абстрактной форме. Цифры же - это некий язык, средство общения. Мы выражаем мысли с помощью языков, основанных на числовом символизме. Карл Юнг утверждал, что числа предшествовали сознанию и скорее открыты человеком, а не изобретены. По его мнению, числа, возможно, являются наиболее примитивным элементом порядка в мысли и подсознательно используются как организующий фактор. Пифагорейцы верили, что все вещи есть числа и их составляющие есть составляющие всех вещей.

СОВЕРШЕНСТВО ЧИСЛА

По мнению Пифагора, совершенство числа зависит от его делителей (т. е. тех чисел, которые делят без остатка исходное число). Например, делителями числа 12 являются 1, 2, 3, 4, и 6. Если сумма делителей числа больше самого числа, то такое число называется «избыточным». Например, 12 — избыточное число, так как сумма его делителей равна 16.

С другой стороны, если сумма делителей числа меньше самого числа, то такое число называется «недостаточным». Например, 10 — недостаточное число, так как сумма его делителей (1, 2 и 5) равна лишь 8.

Числа, сумма делителей которых в точности равна самому числу, пифагорейцы считали особенно важными. Такие числа они называли совершенными. Например, число 6 имеет делителями 1, 2 и 3 и, следовательно, совершенно, так как 1+2+3 = 6. Следующее совершенное число равно 28, так как 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.

Совершенное число - натуральное число, равное сумме всех своих собственных делителей (т. е. всех положительных делителей, отличных от самого числа). Первое совершенное число - 6 (1 + 2 + 3 = 6), следующее - 28 (1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28). По мере того как натуральные числа возрастают, совершенные числа встречаются все реже. Третье совершенное число - 496, четвертое - 8128, пятое - 33 550 336, шестое - 8 589 869 056, седьмое - 137 438 691 328.

Совершенный характер чисел 6 и 28, имевший столь большое математическое значение для пифагорейцев, был признан и другими культурами, обратившими внимание на то, что Луна совершает оборот вокруг Земли каждые 28 дней, и утверждавшими, что Бог сотворил мир за 6 дней.

Пифагор заметил, что совершенные числа не только равны сумме своих делителей, но и обладают некоторыми другими изящными свойствами. Например, совершенные числа всегда равны сумме нескольких последовательных натуральных чисел. В самом деле, 6 = 1 + 2 + 3, 28 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7, 496 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + … + 30 + 31, 8128 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + … + 126 + 127.

Одно из его открытий состояло в том, что совершенство чисел тесно связано с «двоичностью». Числа 4=2·2, 8=2·2·2, 16=2·2·2·2 и т. д. называются степенями числа 2. Все степени числа 2 чуть-чуть «не достают» до того, чтобы стать совершенными, так как сумма их делителей всегда на единицу меньше самого числа. Иначе говоря, все степени двойки слегка недостаточны: 2·2 = 4, делители 1, 2, сумма 3, 2·2·2 = 8, делители 1, 2, 4, сумма 7, и т.п. Двумя столетиями спустя Евклид уточнил замеченную Пифагором взаимосвязь между двоичностью и совершенством. Евклид открыл, что совершенные числа всегда кратны двум числам, одно из которых равно степени числа 2, а другое на единицу меньше следующей степени числа 2: 6 = 2·(4 - 1), 28 = 4·(8 - 1), ...

Идеал - обобщающая категория теории чисел. Идеалы были впервые введены Дедекиндом в 1876 в третьем издании его книги «Лекции по теории чисел». Название «идеал» ведет свое происхождение от «идеальных чисел» Куммера. Кумер бежал к усечениям (идеальным числам), уходя от неоднозначностей, которые он считал второстепенными, ныне это понятие не используется. Простейшими примерами идеалов может служить подкольцо четных чисел в кольце целых чисел. Для кольца R идеалом называется подкольцо, замкнутое относительно умножения на элементы из R. В кольцах вместо простых чисел изучаются простые идеалы, как обобщение взаимно простых чисел вводятся взаимно простые идеалы, можно доказать аналог китайской теоремы об остатках для идеалов. В некотором важном классе колец (т.н. дедекиндовых) можно даже получить аналог основной теоремы арифметики: в этих кольцах каждый ненулевой идеал можно единственным образом представить как произведение простых идеалов и т.п., это иллюстративный материал алгебры.

Уровни ортогональной матрицы 5-го порядка 6:3:2, дополненные множителем 1, связаны соотношением для совершенного числа. Она - само совершенство. Назначаем порядок n=5, включаем поиск.


%toolbox hadamard, 
if tick=0, n=5, M=0.5, p=0.5, 
A=hilbert(n M M), mesh(A), norms(A), 
i=0, sn=sqrt(n), m=max(abs(A)),  
end,

% СОРТИРОВКА,
A=sortm(A),
% ПРОФИЛЬ ПОНИЖЕНИЯ НОРМЫ,
p=0.995*p+0.005, A=sat(A m*p),
% m=min(abs(A)), % A=satm(A m/p), 
% ВОССТАНОВЛЕНИЕ ОРТОГОНАЛЬНОСТИ МАТРИЦЫ, 
A=orth(A), m=max(abs(A)), p=?, m=?,  
% ГРАФИК НОРМ ЭЛЕМЕНТОВ, 
if i<10, i=i+1, else, i=0, 
Q=sortz(A), mesh(Q), u=columns(A), ball(u),
end, 
% СТОП и ВЫВОД,
if p>0.99, B=sortz(A), B={B/m}, 
B={6*B}, B={round(B)}, mesh(B), B=?, 
else, ticker(1), end,

В древности маги считали число счастливым и священным. В Библии замечено, что алтарь Бога был пяти локтей длины и той же ширины. Жертва мира включала пять овнов, коз и агнцев. Было пять неразумных дев и столько же мудрых. Пентакль Соломона, или пентаграмма, состоит из пяти лучей, изображающих человека с распростертыми рыками и ногами. У нас - пять физических чувств, череп состоит из пяти костей, к тому же мы имеем на руках и ногах по пять пальцев. В астрологическом плане число пять соответствует Меркурию.

Совершенный характер чисел 6 и 28 был признан многими культурами, обратившими внимание на то, что Луна совершает оборот вокруг Земли каждые 28 дней, и утверждавшими, что Бог сотворил мир за 6 дней. В сочинении «Град Божий» Св. Августин высказал мысль о том, что хотя Бог мог сотворить мир в одно мгновенье, Он предпочел сотворить его за 6 дней, дабы поразмыслить над совершенством мира. По мнению Св. Августина, число 6 совершенно не потому, что Бог избрал его, а потому, что совершенство внутренне присуще природе этого числа. «Число 6 совершенно само по себе, а не потому, что Господь сотворил все сущее за 6 дней; скорее наоборот, Бог сотворил все сущее за 6 дней потому, что это число совершенно. И оно оставалось бы совершенным, даже если бы не было сотворения за 6 дней».

Матрица 7-го порядка имеет 49 элементов. В регулярной структуре (n-1)/2=3 слоя вытягиваются в нижнюю полочку в 21-н элемент. Наверху размещено, тем самым, ровно 28-м чисел.

Число понимается как термин, приложимый ко всем цифрам и их комбинациям. Пифагор определяя число как энергию и считал, что через науку о числах раскрывается тайна Вселенной, ибо число заключает в себе тайну вещей.

Именно наука числе может обладать ключом жизни и сути бытия.

Проникая в свойства чисел, объясняя их различные сочетания, Пифагор пытался создать науку всех наук. Все числа он разделил на два вида: четные и нечетные, и с удивительной чуткостью выявил свойства чисел каждой группы. Четные числа обладают следующими свойствами: любое число может быть разделено на две равные части, обе из которых либо четны, либо нечетны. Например, 14 делится на две равные части 7 + 7, где обе части нечетные; 16 = 8 + 8, где обе части четные. Пифагорейцы рассматривали четное число, прототипом которого была дуада, неопределенным и женским. «Четные числа, допускавшие раздвоение, казались более разумными, олицетворяли некоторое положительное явление», - писал Аристотель. Так число получало характер, теряло вечное, абстрактное начало.

Четные числа Пифагор делили на 3 класса: четно-четные, четно-нечетные, нечетно-нечетные.

Первый класс составляют числа, которые представляют собой удвоение чисел, начиная с единицы. Таким образом, это 1,2,4,8,16,32,64,128,512 и 1024. Совершенство этих чисел Пифагор видел в том, что они могут делиться пополам и еще раз, и так далее до получения единицы.

Четно-четные числа обладают некоторыми уникальными свойствами. Сумма любого числа терминов, кроме последнего, всегда равна последнему за вычетом единицы. К примеру, сумма четырех терминов (1+2+4+8) равна пятому термину - 16 минус один, то есть 15.

ПИФАГОР и ГАММЫ

Пифагор пришел к ним (числам), увлекаясь сначала музыкой. Занимаясь гармонией, пифагорейцы пришли к выводу, что качественные отличия звуков обуславливаются чисто количественными различиями длин струн или флейт. Так, гармонический аккорд при звучании трех струн получается в том случае, когда длины этих струн сопоставляются с соотношением чисел 3, 4 и 6. Такое же соотношение было подмечено пифагорейцами и во многих других случаях. Например, отношение числа граней, вершин и ребер куба равно отношению чисел 6:8:12. И тогда Пифагор решил, что не только законы музыки, но и вообще все на свете можно выразить с помощью чисел. "Числа правят миром"! - провозгласил он. Стоит отметить, что в куб можно вписать (двумя способами) тетраэдр и октаэдр.

Разбирая вопрос о покрытии плоскости правильными одноименными многоугольниками, пифагорейцы нашли, что возможны только три случая таких покрытий: вокруг одной точки плоскости можно плотно уложить или шесть правильных треугольников, или четыре правильных четырехугольника (квадрата), или же три правильных шестиугольника. Если обратим внимание на числа правильных многоугольников в этих трех случаях, то увидим, что их отношение равно отношению 6:4:3, если же возьмем отношение числа сторон этих многоугольников, то найдем, что оно равно отношению чисел 3:4:6. На основе подобных наблюдений в школе Пифагора возникло убеждение, что во всей Вселенной явления подчинены вполне определенным числовым соотношениям, то есть существует "мировая гармония", что "элементы чисел являются элементами всех вещей и что весь мир в целом является гармонией и числом".

Математическое выражение закона Гармонии звуков легенда приписывает Пифагору и его ученику Архиту. Чтобы пояснить этот закон, возьмем музыкальный инструмент, состоящий из двух одинаковых струн, длину которых можно менять, прижимая их к грифу, подобно тому как это делает скрипач или гитарист. Совместное звучание, издаваемое струнами, наиболее благозвучно, если длины струн находятся в правильном численном отношении друг к другу: звучащие струны определяют консонанс, если их длины относятся как целые числа Тетраксиса, то есть как 1:2, 2:3, 3:4. Причем чем меньше число n в отношении n:(n + 1) (n = 1, 2, 3), тем более гармоничным кажется созвучие.

В Средние века эти созвучия были названы совершенными консонансами, это: октава (если длины струн относятся как 1:2), квинта (если длины струн относятся как 2:3), кварта (если длины струн относятся как 3:4).

Пифагорова гамма. На основе этих созвучий была построена совершенная пифагорова гамма. Пусть звучание двух струн образует октаву. Звуки, издаваемые струнами, сопоставим с нотами «до» первой и второй октав. Пусть далее одна струна звучит как нота «до» первой октавы, а вторая составляет с ней квинту, — назовем ее звучание нотой «соль» первой октавы. Точно так же нотой «фа» первой октавы назовем звучание струны, составляющей квинту с нотой «до» второй октавы. Ноты можно графически изобразить на отрезке прямой, как это сделано на рисунке слева внизу. Расстояние между нотами назовем интервалом, он измеряется отношением длин звучащих струн. Так, интервал между нотами «до» первой и второй октав равен 2:1, это октава; интервал между «до» и «соль» первой октавы, так же как и между «фа» первой и «до» второй октав, равен 3:2, это квинта. Тогда окажется, что «до» и «фа» первой октавы и «соль» первой и «до» второй октавы образуют кварту. Интервал между нотами «соль» и «фа» составляет тон, он равен 9/8, полутоновый же интервал имеет величину 256:243. На основании этого строится вся октава. Именно эту гармонию признают музыканты с идеальным слухом.

МОНОХОРД ПИФАГОРА

Для своих исследований Пифагор использовал так называемый монохорд (в переводе с греческого - однострунный). Инструмент представлял собой четырехугольный ящик длиной около 1 метра, над верхней декой (доской) располагалась одна струна, ограниченная с двух сторон порожками. Под струной располагалась двигающаяся подставка, которая позволяла изменять высоту звука.

Вообще говоря, высота звука, издаваемого струной, определяется несколькими параметрами - длиной и толщиной струны, плотностью материала, из которого она изготовлена, натяжением и т.д. Когда свойства звука изучаются на монохорде, то толщина струны, ее натяжение и плотность материала остаются неизменными. Высота извлекаемого звука изменяется простым смещением подставки.

Зажимая струну монохорда в отмеченных местах, Пифагор обнаружил, что между длинами получаемых отрезков и длиной целой струны существует определенное математическое соотношение. Тоны, составляющие гармонические интервалы с первоначальным тоном, появляются только в том случае, если соотношение длин звучащей части и целой струны представляет собой соотношение целых чисел, к примеру, 2:1, 3:2, 4:3. Эти целочисленные соотношения - архетипы формы, выражающей гармонию и равновесие, и в этом качестве они фигурируют в культурах самых разных народов.

Если струну стиснуть посередине, разделив ее таким образом на две равные части, полученный тон составит с первоначальным тоном октаву. Частота вибрации половины струны составляет с частотой вибрации целой струны соотношение 2:1. Если же струну поделить на три равные части, мы получим соотношение 3:1. Деление на четыре отрезка дает соотношение 4:1. Принцип деления струны совпадает с соотношением для обертонов. Вполне вероятно, что раздел арифметики, посвященный простым дробям, восходит к учению Пифагора о музыке. Древнему мыслителю приписывается следующее высказывание: "Изучайте монохорд, и вам откроются тайны мироздания".

Частота, с которой колеблется вся струна целиком, определяет так называемый основной тон. Колебания частей струны вызывают появление обертонов. Самые сильный обертон возникает при колебаниях 1/2 части струны, слабее 1/3, 1/4, 1/5 и т.д. Соответственно соотношение частот (или высот) этих обертонов выглядит так: 1:2:3:4:5:6... Это так называемый натуральный или гармонический ряд звуков, и соответствующие обертоны тоже называются гармоническими

СЕКРЕТЫ МУЗЫКИ | КВАНТ

Вернемся к музыкальным звукам. Частоты, соответствующие одной н той же ноте в первой, второй и т. д. октавах, относятся, как 1:2:4:8... А как следует выбирать музыкальные тоны внутри одной октавы, чтобы они тоже звучали согласно? Ответ на этот вопрос дали пифагорейцы, построив музыкальную гамму — согласную последовательность тонов внутри октавы, т. е. указав закон, по которому следует выбирать длины струн для извлечения этих тонов.

Ноты до, ре, ми, фа, соль, ля, со, дооооо, второе до получаем, укорачивая струну вдвое. Ре относится к до в соотношении 1.125 (по частоте), и точно также ми к ре. Фа на этой основе будет разноголосно с до, поэтому увеличиваем струну в полтора раза (выходим за октаву), получившуюся частоту удваиваем (входим в октаву), называем итог фа (квартой). Сокращаем струну до двух третих, получаем соль (квинту). Их частоты соотносятся как 1.125 (что и предопределяет первые два шага). От соль пятимся назад к ли и си с тем же частотным интервалом 1.125. Итак, базу пифагоровой гаммы составляют отношения 2/3 и 3/2.

Частота, с которой колеблется вся струна целиком, определяет так называемый основной тон. Колебания частей струны вызывают появление обертонов. Самые сильный обертон возникает при колебаниях 1/2 части струны, слабее 1/3, 1/4, 1/5 и т.д. Соответственно соотношение частот (или высот) этих обертонов выглядит так: 1:2:3:4:5:6... Это так называемый натуральный или гармонический ряд звуков, и соответствующие обертоны тоже называются гармоническими.

МУЗЫКАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ

Уместно вспомнить M7 (2:3:6) и M15 с нормой m=0.3 и высотой нижней полочки 2/3

Регулярное решение имеет семь одинаковых уровней по 15 элементов.

ДРЕВНЯЯ ИГРА В ЧИСЛА

Теория чисел складывается с глубокой древности. Соответственно, ей сопутствуют жизнеописания первых еще вполне сказочных математиков и нумерология, коллекционирующая эзотерические наблюдения. К математическим открытиям старины относят алгоритм взаимного вычитания Евклида.

* * *

Никто из нас не общался с людьми античности, это забавно, когда пишут об интересах и взглядах древних так, как если бы они были нам соседями. Все эти переложения в сети красивых историй про Пифагора, его золотое бедро и пифагорейскую школу, они - вымыслы, сложившиеся, если взглянуть на них критически, не так уж и давно. Из гипотетических предположений, что античные люди могли бы знать о числе. Мы знаем самого человека, по собственному опыту. А он в отношении любопытства мало изменился. Человека привлекает магия чисел, сейчас и тогда. Все это позволяет нам утверждать, что числа эти были замечены древними. И, углубим свой вымысел, едва ли не из них растет современное древо познания. Равенство, которое можно с их помощью сложить и проверить, к счастью, без компьютера, оно такое

9 + 16 = 25.

и, исходя из этого предположения, открыли доказательство более общей теоремы. Это пропорции катетов и диагонали прямоугольного треугольника, видные на фотографии, которая обошла интернет. Смотрите ниже, высота и ширина этого изображения относятся как 3:4.

Вдумайтесь в контекст предложения. Едва ли нам в голову придет утверждать, что древние египтяне сложили свою грандиозную пирамиду только для того, чтобы показать нам свое почтение к выписанному выше равенству. Это абсурд, натаскать столько кирпича немерянного веса. Но пропорции в пирамиде есть. Возможно, тому виной иной фактор, камни не сыплются, сверху, по склонам, оставим это. Для того, чтобы увидеть такое равенство, нужно уметь возводить числа в квадрат, а на примере римских цифр мы видим, что это не столь легко сделать. Греки цифры писали буквами, примеры обозначений Диофанта приведены у Башмаковой [1]. В общем, увидеть равенство со степенями можно было, разве, мысленным взором или задумать его в форме прямоугольного треугольника, у которого все стороны кратные. Такой красивый треугольник должен представляться чем-то особенным.

Удивительно здесь многое. А какую роль, допустим, играет 1 и 2, почему они "пропущены"? Они, правда, тоже фигурируют, причем, в еще более известном прямоугольном треугольнике, но уже как квадраты сторон и диагонали, удовлетворяющие равенству

1 + 1 = 2.

Древние осознали, что добраться до значения длины диагонали у такого треугольника, напротив, весьма нелегко, с этого начинается мистика иррациональности. Но и 3, 4, 5, 6 презанятны. Только складывать нужно не квадраты, а кубы первых трех чисел, откуда получим куб последнего числа. Вытанцовывается простое правило, настолько провоцирующее на поиск продолжения, с более и более высокими степенями, что искушению сформулировать его поддался такой гений счета, как Эйлер. Он высказал его не в отношении 3, 4, 5, 6, 7, чисел, не складывающих, что легко проверяемо, аналогичное равенство с четвертыми степенями. Но предположил, что такие числа существуют, и, мало того, такое правило обобщило бы гипотезу Ферма. К Ферма, скачком, от до сих пор существующих строений египтян и вполне виртуальных пифагорейцев переходим.

Ферма, как хорошо известно из мифа о нем, чирикал на доступном ему издании учебника Диофанта с широкими белыми чистыми полями. Вот эти 3, 4, 5 тоже заинтересовали его тем, что располагая более совершенными обозначениями для чисел, он сумел для себя понять (так считает история), что при замене квадратов четвертыми степенями "пифагоровы тройки" исчезают. Нет таких натуральных чисел, которые сложат аналогичное равенство с более высокими степенями. Видимо, это произвело впечатление. Далее разворачивается почти дедективная, как пишут, история. Сын Ферма, ценя упражнения отца, переиздал учебник Диофанта с каракулями, среди которых нашлось место утверждению, что Ферма де, уяснил для себя много большее, что не только четвертые, ни и никакие иные степени, выше второй, непродуктивны. И только малость имеющихся в распоряжении полей удержала советника изложить свои соображения на этот счет подробно.

Недоказанная теорема Ферма понаделала шуму много лет спустя, когда разочаровавшийся в жизни молодой человек задумал застрелиться, но взяв с полки Диофанта с пометками так увлекся, что забыл осуществить задуманное. Не найдя сам доказательства весьма простого, как видно, утверждения, он опубликовал в газете объявление о крупном денежном вознаграждении тому, кто раскроет связанную с ним загадку. Увы, именно денежный приз, проклятые меркантильные соображения, создали теорему Ферма и фермоманию. Правда, потом об этот камень споткнулось немало достойных математиков. Книга Синкха [2] освобождает нас от необходимости упоминать подробно страсти, кипевшие во Французской Академии. Напомним, что Наполеон, впечатленный гальваническим элементом, который показал ему Вольта, постановил сделать занятие наукой хорошо оплачиваемой профессией. С тех пор Академия во Франции привлекла к себе немало сильных умов, и вот эти математические умы почти решили, что нашли доказательство, о котором толковал Ферма.

Тем более сильно оказалось разочарование, когда алгебраист Кумер наткнулся на слабое место в их рассуждениях и указал корифеям на всю глубину проблемы. Еще до этих славных битв Академия, созданная Петром, опубликовала доказательство предположения Ферма для третьих степеней. Занимался этим Эйлер, он же предложил выход, состоящий в том, чтобы с ростом показателя степени, увеличивать и число слагаемых. Для кубов брать три слагаемых, для четвертых степеней - четыре. И так далее. Ввиду сложности доказательства простой, в своей основе, догадки, предположение успешно продержалось до первых вычислительных машин и пало жертвой численного эксперимента. Так компьютер помог человеку установить истину в отношении задачи, идущей к нам из седой древности. Собственно, он и теорему Ферма перепроверил, не для всех степеней и значений чисел, но вполне довольно. За человеком пока держится пальма первенства, в отношении эффективности поиска абстрактного доказательства, если не найдется компьютером же вдруг контрпример не столь давним соображениям Уолша.

Итак, о чем наш первый рассказ? О том, что уравнение

xn + yn = zn,

неразрешимо в целых числах для степеней n>2, это полезное сообщение и есть великая гипотеза или теорема Ферма.

Что может быть лучше такого утверждения в смысле легкости его усвояемости? Неразрешимо, и все. Нет решений, и проблем с ними нет, как хорошо. Серпинский [3] утверждает, что такова именно или близка участь многих диофантовых уравнений с высокими степенями, и это знание нам важно уже потому, что объясняет акцентирование внимания на линейных и квадратичных формах. С помощью компьютера можно создать графические иллюстрации, неразрешимости, но не это видится главным в теме. Следующим объектом, достойным первостепенного рассмотрения, является алгоритм Евклида, прародитель всех алгоритмов вообще и самого понятия, в частности, поэтому иллюстрациями пренебрежем.

ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ

СЕРПИНСКИЙ | ГЕЛЬФОНД | ЖУРНАЛ 1959

Выжимка по линейным уравнениям помещена в справочник. Линейные системы обычно вырождены, понятие псевдообращения утвердилось довольно поздно, в пятидесятых годах. Псевдообратная матрица заметно не используется в алгоритмах, между тем, с ее помощью выражаются все решения вообще, не только целочисленные. Она возможный кандидат на дополнительные иллюстрации.

Полиномиальный случай тривиален, поскольку корней и без того мало, их можно отыскать элементарным перебором, исходя из соображения, что все они принадлежат к делителям свободного члена. Но уже квадратичное уравнение с двумя неизвестными, появляется свобода, решается заметно сложнее. То же уравнение с тремя неизвестными - это уже область Ферма. Дарио Альперн балуется тем, что загнал квадратичное уравнение в сетевую машину, см. Dario Alpern' Solver.

Ферма обнаружил удивительный факт, что повышение порядка несовместимо с целочисленностью - это ведь уравнения кривых или поверхностей, которые умудряются располагаться между точками решетки. Слалом, в области чисел. Ферма оговорился, что видит простое доказательство слалому. И породил фермистов. Параметрические решения иллюстрируются кривыми и точкам на сетке, которые они высекают. Так, например, экспонента проходит всего через две целочисленние точки 0 и 1. На связи алгебры с геометрией построены иллюстрации, находимые у Башмаковой, Крафта.

Топик теории чисел, см. записи Скайлабе | Теорема Ферма | Эллиптические функции.

Специалисты: Джон Стилвел Дэвенпорт Серпинский Гельфонд Тут много любопытного: Роджер Пенроуз Сизый С.В. Полезно знать кто такой Морделл Луис Джоел.

Топик теории чисел, см. записи Скайлабе | Теорема Ферма | Эллиптические функции.

Справочники: Вапедия WIKI: Теоремы

История: Пифагорим и фермизм: WIKI Кирсанов - теорема Ферма Кантор - Пифагор Тихомиров - теоремы Обзор Диофантовы уравнения Сайт Гаршина

О роли уравнения Пелля для становления алгебры хорошее представление дает обзор Бугаенко В.В., кратко вики-заметки, задача Архимеда о быках (последняя задача "древних греков" сводится к квадратичному уравнению, что и заметил Ферма). Уравнение Пелля позволяет находить автоморфизмы бинарных квадратичных форм [2]

Магические квадраты: Древний Китай, коллекция магических квадратов древности заброшена на WIKI | КРУГОСВЕТ. Математика Беляева, Макаровой. Гарднер считал, что магические квадраты - не имеют практического значения, тут построение Ло ШУ. Мазуров в лайф. Магический квадрат востребован авантюрными теориями, см. антигравитационные двигатели Джона Серла.

Вычислительная математика: С. Шарый | Райс Джон | C. Белов и Н. Золотых

Справочник пакета МАТЕМАТИКА | Нормы

Инструменты: Декодер кириллицы

Алгоритмы: Алгоритмы

Давенпорт, Дэвенпорт (Davenport) Харолд (30.10.1907, Акрингтон, 9.6.1969, Кембридж), английский математик, член Лондонского королевского общества (с 1940), в 1957-59 президент Лондонского математического общества. Автор работ по аналитической теории диофантовых уравнений. Наиболее значительны работы Д. по оценке тригонометрических сумм и характеров в конечных полях, оказавшие значительное влияние на современную алгебраическую теорию чисел.

Сизый С.В. Лекции по теории чисел | Обзор

ФИЛЬМ | СИЗЫЙ С.В. | СНЕЖИНКИ КЕПЛЕРА | ЭЙНШТЕЙН О КЕПЛЕРЕ

Колываныч

Число e=2,718281828459045...

Матушка-природа подарила нам несколько замечательных констант, весьма неожиданно появляющихся при попытках математического выражения и записи законов разных наук. С одной из таких констант - “основанием натуральных логарифмов” - мы познакомимся поближе в этом пункте.

Когда-то давно я учился в средней школе № 110 г. Свердловска. В школе нам страшно повезло - судьба послала нам великого учителя, сухощавого математика на железной ноге Николая Ивановича Слободчакова, по прозвищу “Колываныч”. Самым загадочным образом хулиганы и двоечники становились у него отличниками, а математика - любимым предметом. Еще в восьмом классе Колываныч говорил нам: “Дети! Запомните, что основание натуральных логарифмов обозначается буквой e в честь Леонарда Ейлера, а запомнить его десятичные знаки очень просто. Два и семь - помнят все. Дальше - 1828, - год рождения Льва Николаевича Толстого. Дальше - снова 1828, - год рождения Жюль Верна, а если вы тупые, то - опять год рождения Толстого. Потом идут углы равнобедренного прямоугольного треугольника - 45, 90, 45. А что идет потом - я сам не знаю...”. Потом Николай Иванович доказал нам, что 3>e>2 и загробным голосом сказал: ”Число e - трансцендентно!”. Этим словом мы потом обзывались на переменках.

 admin

Число хромосом и один сиг

Что еще совершенного можно найти в матрице пятого порядка? 2/3=0.666.. впечатляющая матрица.


%toolbox control,
B=[2 3 6 6 6;6 2 -3 -6 6;6 6 -2 3 -6;6 -6 6 -2 -3;3 -6 -6 6 2], 

% B=?, S=sums(B), S=?, tr(B), S=sums(B), S=?, M=mul(S), M=?,

Суммы и произведения абсолютных значений элементов столбцов или строк матрицы равны 23 и 1296, соответственно. Алгебраические суммы дают простые числа 1, 5, 7, 23 (их сумма 36, произведение 805). Один, пять и семь представлять особо не приходится. За 23 тоже тянется шлейф совершенств.

23 Поговорим о 23. У человека 46 хромосом - 23 от отца, 23 от матери. Что уже весомо. В теле 230, а в руке - 23 сустава, в позвоночном столбе насчитывается 23 межпозвоночных хряща. Биоритмический цикл человека составляет 23 дня. Кровь совершает полный оборот в организме за 23 секунды.

Загадка числа 23

Человек, это одно большое несчастье. Одним из вдохновителей помешательства на числе 23 был писатель Уильям Берроуз. В 60-х годах он писал о своем знакомом капитане Кларке, который управлял паромом, соединявшим Марокко и Испанию. Как-то раз Кларк похвастался Берроузу, что за 23 года на его пароме не было ни одного происшествия... В этот же день паром затонул со всеми пассажирами и самим Кларком. Вечером Берроуз случайно услышал по радио, что потерпел крушение самолет из Нью-Йорка с бортовым номером 23. Самолетом управлял пилот капитан Кларк. После этого писатель начал коллекционировать совпадения, в которых фигурировало число 23. А фразочка "Капитан Кларк приветствует вас на борту" теперь кочует из одного его романа в другой. Берроуз, в свою очередь, вдохновил эзотерика Роберта Антона Уилсона, написавшего об этом книгу "Космический триггер".

Золотое сечение числа 60 (количество минут в часе и секунд в минуте) дает числа 37 и 23. Таким образом, 23 минуты – обращенное золотое сечение часа, а 23 секунды – обращенное золотое сечение минуты.

Джон Диллинджер ограбил 26 банков, но деньги забрал только в 23-х из них. Его застрелили в чикагском театре, находящемся в доме 2323 по Кларк-стрит. Другая звезда криминала, Артур Фленгенхаймер, более известный как Немец Шульц, умер 23 октября 1935 года. За год до смерти Шульц оплатил заказное убийство гангстера-конкурента Колла по кличке «Бешеный пес» - того застрелили в возрасте 23 лет. В день смерти Шульца был ранен Кромпьер, король преступников Гарлема, который в момент ареста сказал полиции загадочную фразу: «Кажется, это одно из тех совпадений». Убийца Шульца, Чарли Уоркмэн, отбывал наказание в течение 23 лет, после чего был освобожден условно.

Символ ванадия, 23-го элемента таблицы Менделеева – V (то есть римское 5, иными словами 2+3).

Едва ли в самой совершенной матрице число 1296=2x2x2x2x3x3x3x3 случайно. Это число Фридмана (Friedman), 1296 можно получить арифметическими операциями с его цифрами 6(9-1)/2: таковы 25, 121, 125, 126, 127, 128, 153, 216, 289, 343, 347, 625, 688, 736, 1022, 1024, 1206, 1255, 1260, 1285, 1296, ... Его делители 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 27, 36, 48, 54, 72, 81, 108, 144, 162, 216, 324, 432, 648, 1296. Сумма всех делителей 3751 (2455, без учета самого числа). 2455 больше, чем 1296, в теории чисел их называю обильными (abundant number or excessive number).

Число 1296 выглядит как урожайный год.

Читаем: султан Дели Ала-ад-дин Хильджи. Уничтожил своих противников из числа влиятельных иктадаров и отразил три монгольских вторжения. Неплохо, наверное, для султана. Целых три вторжения. Иктадаров, поди, еще и больше было. Шесть или три сотни. Неважно. Всех иктадаров. А ведь √1296 = 36. Что то со школы знакомое. Шесть в квадрате! Температура тела (36.6). Каждые сутки древних славян были разделены на 16 часов, каждый час содержал 144 части, в каждой части было 1296 долей, в каждой доле – 72 мгновения, в каждом мгновении – 760 мигов, в каждом миге – 160 сигов. Зачем славянам такая секунда? Разве мух рукою ловить. Но понадобилась. Вот откуда пошло, сигануть.

Кого заинтересовало - иктадары, владельцы икты. Земельного надела. Феодалы-собственники, помещики, сборщики дани с безыктового крестьянства.

Золотое сечение. Прямоугольник в этой пропорции, разделанный квадратом, воскресает. Как же, без него, q=(√5+1)/2=1.61803399..

Для художников с математическим складом ума отношение величин при золотом сечении выражается постоянным иррациональным числом 1,61803398, обозначаемым греческой буквой Ф - по первой букве имени греческого скульптора Фидия. Алгебраически это записывается обычно так: a:b=b:(a+b).

Золотое сечение - не единственный способ получения гармоничных пропорций. Важную роль при делении пространства имеют некоторые сочетания, основанные на простом квадрате. Из квадрата, являющегося естественной частью прямо-угольника золотого сечения, может быть построен прямоугольник √2, который образуется проведением дуги радиусом, равным диагонали квадрата. Этот прямоугольник иногда путают с прямоугольником золотого сечения. Возможно, путаница произошла по вине группы кубистов, использовавших прямоугольник √2 назвавших свою выставку 1912 г. в Париже La Section d'Or ("Золотое сечение").

Этот прямоугольник составляет основу для форматов серии А принятой в качестве стандарта в Европе и Великобритании. Самый распространенный А4 (210х297 мм). Квадрат также играет ключевую роль в модульной системе японского национального дома, которая исходит от размера соломенных циновок-"татами". Пропорция двойного квадрата соломенных циновок размером приблизительно 3х6 футов (0,91 х 1,83 м) делила площадь пола на различные залы, что создавало удивительное разнообразие асимметричных форм в традиционных японских домах. Простейший прямоугольник, квадрат, был, пожалуй, для современных художников более важным фактором в развитии сетки, чем золотое сечение или любая другая система пропорций.

Ищите и обрящете. В правильной пятиконечной звезде каждый отрезок делится пересекающим его отрезком в золотом сечении.

Числа Фибоначчи — элементы числовой последовательности 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, … в которой каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел. Название по имени средневекового математика Леонардо Пизанского (известного как Фибоначчи).

 admin

ПИФАГОР (Б.Л. ВАН ДЕР ВАРДЕН)

В настоящее время Пифагора рассматривают прежде всего как математика. Его именем названа улица в восточной части Амстердама по соседству с улицами Архимеда, Ньютона и Коперника; его имя сразу заставляет вспомнить знаменитую «теорему Пифагора».

В древности было иначе. Геродот называет его «выдающимся софистом», т. е. учителем мудрости, и рассказывает, что Залмокс, которого геты чтили как святого и который согласно легенде воскрес из мертвых, был учеником Пифагора. Он рассказывает еще, что пифагорейцы не погребали своих мертвецов в шерстяных одеждах. Это скорее похоже на религию, чем на математику. Пифагорейцы, осмеиваемые комедией, изображались суеверными, весьма разборчивыми вегетарианцами, но совсем не математиками.

И сам Пифагор был для своих современников, прежде всего, религиозным пророком. Много путешествовавший поэт-писатель Ксенофан осмеивает пифагорово учение о переселении душ. Пифагор, рассказывает он, увидал однажды, как били собаку, и сказал: «Перестань ее бить, в этой собаке живет душа моего друга: я узнал его по голосу».

Пифагор считался также и чудотворцем. О нем ходило много сказок: что у него было золотое бедро; что люди видели его в один и тот же час в двух разных местах; когда он переходил через речку, она вышла из своего ложа и приветствовала его, восклицая: «Да здравствует Пифагор».

Итак, кем же был Пифагор на самом деле: математиком, философом, пророком, святым или шарлатаном? От каждого из них он имел что-то в себе. Его последователи видели в нем воплощение высшей божественной мудрости, однако Гераклит в нем не усмотрел ничего, кроме «многознания без разума». Он проповедовал бессмертие души, ввел для своих последователей строгие правила жизни и основал братство верующих, пифагорейский орден, который позднее из Кротона распространился на другие греческие города Италии и, должно быть, играл важную роль в политической жизни этих городов. Посвященные в этот орден после испытательного периода и строгого отбора могли слушать из-за занавеса голос Учителя, но видеть его самого они могли только через несколько лет, когда их души были очищены музыкой и строгой жизнью согласно обетам. Полагали, что эти очищения, а также посвящение в тайны гармонии и чисел, приближают душу к божеству и таким образом она сможет освободиться из круга повторных воплощений.

…У Плутарха («Изида и Озирис», 42) я заимствую довольно интересный с математической точки зрения пример: «Пифагорейцы питают отвращение к числу 17. Ибо 17 лежит как раз посередине между числом 16, представляющим полный квадрат, и числом 18, являющимся удвоенным квадратом; оба эти числа являются единственными плоскими числами, для которых периметр (прямоугольника) равен его площади...».

…Неопифагорейцы вроде Никомаха Геразского (100 н. э.) и Ямвлиха (300 н. э.) наслаждаются такой мистикой чисел. Ямвлих в своем «Арифметическом богословии» без конца говорит о мистическом и божественном значении чисел. Популярное «Введение в арифметику» Никомаха ставит себе главной целью изложить в доступной форме чудесные и божественные свойства чисел. Там презабавно рассказывается о треугольных, квадратных прямоугольных и многоугольных числах, о гномонических и пространственных числах, об отношениях и их частных видах: кратных и эпиморных, и т. д., затем о простых числах и геометрических прогрессиях; все это иллюстрируется многочисленными примерами, но нигде не дается доказательств. Никомах знал свою публику; он понимал, что хотя его читатели желают быть посвященными в мистику чисел, но сухие доказательства вызовут у них досаду, а кроме того, и чудеса сильно поблекнут. Другой источник для пифагорейской теории чисел представляют три арифметические книги (VII, VIII и IX) «Начал» Евклида. Но это уже настояпщй научный труд; ни о каких тайнах уже нет и речи и все доказывается строго. Хотя Никомах жил четырьмя веками позже Евклида, он производит, однако, впечатление чего-то более примитивного; он стоит гораздо ближе к первоначальной числовой мистике Пифагора и его школы…

Кто, услыхав имя Пифагора, не вспомнит знаменитую теорему о квадрате на гипотенузе? К сожалению, свидетельства именно относительно этого пункта являются в высшей степени сомнительными. Прокл в своем комментарии к этому предложению (Евклид, I, 47) говорит очень неясно: «Если послушать тех, кто любит повторять древние легенды, то придется сказать, что эта теорема восходит к Пифагору; рассказывают, что он в честь этого открытия принес в жертву быка». Плутарх цитирует двустишие: «Когда Пифагор нашел свой знаменитый чертеж, то он за него принес в жертву быка», и добавляет, что этот чертеж или относился к квадрату на гипотенузе или к приложению площадей. Однако в другом месте тот же Плутарх уверяет, что бык был принесен в жертву по случаю решения задачи о построении фигуры, которая была бы равновелика другой и подобна третьей. Витрувий полагает, что бык пал жертвой открытия прямоугольного треугольника со сторонами 3, 4, 5.

Однако этот рассказ совершенно неправдоподобен, ибо, как известно, Пифагор был непримиримым противником убоя и жертвоприношений животных, а в особенности крупного рогатого скота. Правда, одно время думали, что в эпоху Пифагора, на первой стадии развития геометрии, эта теорема была еще неизвестна. Но теперь этот аргумент отпадает, ибо мы знаем, что за 1200 лет до Пифагора эта теорема уже приводилась в клинописных текстах. Весьма возможно поэтому, что Пифагор узнал о своей теореме в Вавилоне. Кроме этого, мы, собственно, ничего не можем сказать.

Итак, в результате мы кое-что знаем о музыкальной теории Пифагора, почти ничего не знаем о его теории чисел, о его астрономии — еще меньше, о его геометрии, если рассудить толком, — ровно ничего. Результат печальный!

Но нет ли в нашем распоряжении каких-либо других указаний относительно развития математики в эти древние времена? Разве не занимались математикой, скажем, те строители, которые построили великолепные храмы в Ионии и на юге Италии? Ведь храм Артемиды в Ефесе был одним из семи чудес мира. Откровенно говоря, мы этого не знаем. Можно строить великолепные здания и без математики, как это было у римлян. Римский архитектор Витрувий подробно описывает, как строится зал с колоннами, но математики у него никакой нет.

ИНДИЯ

Многие учёные Нового времени отмечали, что мотивы своих открытий почерпнули у древних. Зачатки анализа заметны у Архимеда, корни алгебры - у Диофанта, аналитическая геометрия - у Аполлония и т. д.

Около 500 года н. э. неизвестный нам великий индийский математик изобрёл новую систему записи чисел — десятичную позиционную систему. В ней выполнение арифметических действий оказалось неизмеримо проще, чем в старых, с неуклюжими буквенными кодами, как у греков, или шестидесятиричных, как у вавилонян. В дальнейшем индийцы использовали счётные доски, приспособленные к позиционной записи. Они разработали полные алгоритмы всех арифметических операций, включая извлечение квадратных и кубических корней.

К V—VI векам относятся труды Ариабхаты, выдающегося индийского математика и астронома. В его труде «Ариабхатиам» встречается множество решений вычислительных задач. В VII веке работал другой известный индийский математик и астроном, Брахмагупта. Начиная с Брахмагупты, индийские математики свободно обращаются с отрицательными числами, трактуя их как долг.

Наибольшего успеха средневековые индийские математики добились в области теории чисел и численных методов. Индийцы далеко продвинулись в алгебре; их символика богаче, чем у Диофанта, хотя несколько громоздка (засорена словами). Геометрия вызывала у индийцев меньший интерес. Доказательства теорем состояли из чертежа и слова «смотри». Формулы для площадей и объёмов, а также тригонометрию они, скорее всего, унаследовали от греков.

Теорема Пифагора - смотри

В IX веке жил ал-Хорезми — сын зороастрийского жреца, прозванный за это аль-Маджуси (маг). Изучив индийские и греческие знания, он написал книгу «Об индийском счёте», способствовавший популяризации позиционной системы во всём Халифате, вплоть до Испании. В XII веке эта книга переводится на латинский, от имени её автора происходит наше слово «алгоритм» (впервые в близком смысле использовано Лейбницем). Другое сочинение ал-Хорезми, «Краткая книга об исчислении аль-джабра и аль-мукабалы», оказало большое влияние на европейскую науку и породило ещё один современный термин «алгебра».

Первым крупным математиком средневековой Европы стал в XIII веке Леонардо Пизанский, известный под прозвищем Фибоначчи. Основной его труд: «Книга абака» (1202 год, второе переработанное издание — 1228 год). Абаком Леонардо называл арифметические вычисления. Фибоначчи был хорошо знаком (по арабским переводам) с достижениями древних и систематизировал значительную их часть в своей книге. Его изложение по полноте и глубине сразу стало выше всех античных и исламских прототипов, и долгое время было непревзойдённым. Эта книга оказала огромное влияние на распространение математических знаний, популярность индийских цифр и десятичной системы в Европе.

ОБЗОР

РАМАНУДЖАН

Сриниваса Рамануджан Айенгор (22 декабря 1887, Ироду на юге Индии, — 26 апреля 1920, близ Мадраса) — индийский математик. Не имея специального математического образования, получил замечательные результаты в области теории чисел. Вопрос о необходимости поездки Рамануджана в Кембридж широко и упорно дебатировался в кругах мадрасской интеллигенции, так что его мать, наконец, сдалась. Однажды утром она заявила, что во сне богиня приказала ей не противиться более отъезду сына и что она видела его сидящим в кругу европейцев в большом зале.

Исторический анекдот. Однажды Харди ехал к больному Рамануджану в такси с номером 1729. Харди это число показалось «скучным»: 1729 = 7×13×19, и он сказал об этом Рамануджану. Но Рамануджан, оживившись, тут же возразил ему: «Нет, Харди, нет! Это очень интересное число, оно является наименьшим числом, представимым в виде суммы двух кубов двумя различными способами: 93 + 103 = 13 + 123 = 1729». Литлвуд заметил по этому поводу, что каждое натуральное число являлось личным другом Рамануджана.

Влияние войн. Война, разразившаяся осенью 1914 г., помешала продолжению образования Рамануджана. Литлвуд, который вместе с Харди вёл основную работу с Рамануджаном, был мобилизован, а, как сказал Харди, одного учителя для такого ученика было мало. Научная жизнь в Кембридже замерла, нарушились международные связи. Только на втором этаже внутреннего корпуса колледжа Св.Троицы, на стене которого висела под стеклом старая надпись «Посетителей просят не шуметь, так как это мешает занятиям достопочтенного сэра Исаака Ньютона», в квартире Харди продолжались ежедневные занятия с Рамануджаном.

Результаты Рамануджана, касающиеся числа π, связаны большей частью с его исследованиями модулярных уравнений – темы, наиболее подробно раскрытой в «Тетрадях». Грубо говоря, модулярное уравнение – это алгебраическое соотношение между функцией от некоторой переменной x, т.е. f(x), и той же функцией от переменной x, возведенной в некоторую целую степень, например f(x2), f(x3) или f(x4). Эта целая степень задает «порядок» модулярного уравнения. Простейшим модулярным уравнением является уравнение 2-го порядка

f(x)=2√f(x²)/(1 + f(x²)) .

Конечно, не всякая функция удовлетворяет какому-нибудь модулярному уравнению. Но существует класс функций, обладающих этим свойством. Они называются модулярными функциями. Кроме того, модулярное уравнение выполняется только при определённых значениях x, а именно тех, которые являются «решениями» данного уравнения.

Рамануджан не имел себе равных в умении «откапывать» решения модулярных уравнений, удовлетворяющие также некоторым другим условиям. Такие решения называются сингулярными. Оказывается, поиски сингулярных решений в некоторых случаях приводят к числам, натуральные логарифмы которых совпадают с π (умноженным на константу) в поразительно большом числе десятичных знаков. Виртуозно пользуясь этим общим приемом, Рамануджан построил для приближения p много замечательных бесконечных рядов и одночленных формул. Некоторые из них приведены в его единственной формальной статье на эту тему «Модулярные уравнения и приближения к π», опубликованной в 1914 г.

Своими попытками вычислять π Рамануджан отдал дань древней традиции. Уже в самых ранних индо-европейских цивилизациях было известно, что площадь круга пропорциональна квадрату его радиуса, а длина окружности пропорциональна её диаметру. Правда, не совсем ясно, когда впервые было осознано, что отношение длины любой окружности к её диаметру и отношение площади любого круга к квадрату его радиуса равны одной и той же постоянной, которую принято обозначать символом π. (Сам этот символ был введен гораздо позднее – в 1706 г. английским математиком-любителем Уильямом Джонсоном и стал широко употребляться благодаря поддержке крупнейшего математика XVIII в. Леонарда Эйлера).

 admin

ИССЛЕДОВАТЕЛИ ДИОФАНТОВЫХ УРАВНЕНИЙ

Советник Ферма

Пьер Ферма родился 17 августа 1601 года в гасконском городке Бомон-де-Ломань (Франция). Его отец, Доминик Ферма, был зажиточным торговцем, вторым городским консулом; мать, Клер де Лонг — преподавательница математики. В семье, кроме Пьера, были ещё один сын и две дочери. Ферма получил юридическое образование — сначала в Тулузе, а затем в Бордо и Орлеане.

Работа советника в парламенте города Тулузы не мешала Ферма заниматься математикой. Постепенно он приобрёл славу одного из первых математиков Франции, хотя и не писал книг (научных журналов ещё не было), ограничиваясь лишь письмами к коллегам. Среди его корреспондентов были Р. Декарт, Ж. Дезарг, Ж. Роберваль и другие.

Открытия Ферма дошли до нас благодаря сборнику его обширной переписки (в основном через Мерсенна), изданной посмертно сыном Ферма.

В отличие от Галилея, Декарта и Ньютона, Ферма был чистым математиком — первым великим математиком новой Европы. Независимо от Декарта он создал аналитическую геометрию. Раньше Ньютона умел использовать дифференциальные методы для проведения касательных, нахождения максимумов и вычисления площадей. Правда, Ферма, в отличие от Ньютона, не свёл эти методы в систему, однако Ньютон позже признавался, что именно работы Ферма подтолкнули его к созданию анализа.

Но главная его заслуга — создание теории чисел. Математики Древней Греции со времён Пифагора собирали и доказывали разнообразные утверждения, относящиеся к натуральным числам (например, методы построения всех пифагоровых троек, метод построения совершенных чисел и т. п.). Диофант Александрийский (III век н. э.) в своей «Арифметике» рассматривал многочисленные задачи о решении в рациональных числах алгебраических уравнений с несколькими неизвестными (ныне диофантовыми принято называть уравнения, которые требуется решить в целых числах). Эта книга (не полностью) стала известна в Европе в XVI веке, а в 1621 году она была издана во Франции и стала настольной книгой Ферма.

Ферма редко освещал ход своей мысли, делая заметки на полях Арифметики. Эйлер, уникум, державший в памяти все простые числа до миллиона, доказал (1749) гипотезу Ферма о квадратах: простые числа вида 4k+1 представляются в виде суммы квадратов (5=4+1; 13=9+4), причём единственным способом, а для чисел, содержащих в своём разложении на простые множители простые числа вида 4k+3 в нечётной степени, такое представление невозможно. Гиганту и математической машине Эйлеру это доказательство стоило 7 лет трудов.

Петербург Эйлера

В 1725 г. Петр умер, так и не дождавшись открытия Академии. Наступает черед наследников «принять участие в строительстве мельницы».

Екатерина I не без колебаний осуществила замысел мужа, хотя и не разделяла его интереса к науке (как пишет современник, «похвальные речи ученых были непонятны Ее Величеству»). Судьба Академии все время висела на волоске. Она воспринималась как явление исключительно немецкое, и русская партия, в частности Меншиков, была настроена против нее.

Публика плохо понимала функции Академии, и академики по мере сил демонстрировали свои достоинства. Дневник Петербурга, публиковавшийся в «Санкт-Петербургских ведомостях», сохранил запись о публичном чтении, устроенном академией по случаю коронации Петра II (1727 г.), когда академики Делиль и Бернулли Леонард Эйлер (1707 – 1783) дискутировали о вращении Земли вокруг Солнца, академик Байер произнес «похвальную оду латинскими стихами», а «в то же время для народа, гулявшего всю ночь на Царицыном лугу, были пущены фонтаны белого и красного вина». Академики пытались наладить контакты с русской публикой, два раза в неделю двери Академии открывались для посетителей.

Иногда там можно было увидеть нечто удивительное. 24 февраля 1729 г. «профессор Лейтман умудрился изменить изображение государственного герба (с помощью призм) в портрет царствующего императора».

Академики несколько утвердили себя успехами в организации «потешных огней» и иллюминаций, в сочинении торжественных од, в составлении гороскопов.

Высокие материи не были в чести, разве что при составлении «ландкарт» да некоторых рекомендаций мореплавателям. В уставе 1747 г. будет записано: «Государству не может быть инако яко к пользе и славе, ежели будут такие в нем люди, которые знают течение тел небесных и времени, мореплавание, географию всего света и своего государства». А пока умирает в 1730 г. Петр II; Анна Иоанновна лишь однажды посещает Академию, а затем упоминания об Академии надолго исчезают из дневника Петербурга.

НЕМЦЫ В ПЕТЕРБУРГЕ

Многолетнее общение Петра I с великим немецким мыслителем Г. В. Лейбницем привело к идее создания в Петербурге Академии наук. На приглашения, посланные крупнейшим европейским ученым, первыми откликнулись немцы. Академия открылась в конце 1725 года, уже после смерти царя. Приехавший из Вестфалии историк и географ Г. Ф. Мюллер вспоминал, что отец провожал его в Петербург, «словно хоронил: так велико было тогда предубеждение против России».

Первыми петербургскими академиками в большинстве своем были немцы из Германии и Швейцарии: математики Л. Эйлер и Я. Герман, физики Г. Б. Бюльфингер и Г. В. Крафт, натуралист И. X. Буксбаум и др. Многие с восторгом писали на родину о прекрасных условиях, созданных для них в Петербурге это в сочетании с предоставленными им независимостью и рядом важных привилегий позволило математику X. Вольфу назвать Петербург того времени «раем для ученых».

Сыграв столь большую роль в создании петербургской Академии наук, немцы бессменно возглавляли её в первые два десятилетия. За весь же дореволюционный период существования Академии из двенадцати её президентов шестеро были лицами немецкого происхождения: Л, Л. Блюментрост (лейб-медик Петра I), Г. К. Кайзерлинг, И. А. Корф, К. фон Бреверн, А. Л. Николаи, Ф. П. Литке.

Во время своего десятилетнего путешествия по Сибири ученый-энциклопедист Г. Ф. Миллерсобрал колоссальный материал по истории, географии, экономике и этнографии этого края. Капитальный труд Миллера «История Сибири» не утратил научного значения по сей день.

Показательна самоотверженность, с какой немецкие академики XVIII века исследовали самые отдаленные, труднодоступные области России: Крайний Север, Зауралье, Алтай, Камчатку, Аляску. В условиях сурового климата, бездорожья, нехватки продовольствия и оборудования совершались многолетние экспедиции, в которых участвовали виднейшие ученые: Д. Г. Мессершмидт, И. Г. Гмелин, П. С. Паллас, И. Г. Георги — этнограф, путешественник, минералог, который хорошо знаком питерским краеведам по его энциклопедическому труду «Описание… Санкт-Петербурга» и в честь которого назван цветок георгин.

В 1829 г. в Россию приезжал А. Гумбольдт. Главной целью знаменитого немецкого ученого и путешественника было знакомство с азиатской частью России, но он встречался с учеными, за успехами которых давно следил. И. Ф. Крузенштерна А. Гумбольдт давно знал заочно, а в Петербурге они познакомились лично. Начал свои исследования в полярных морях Ф. П. Литке — будущий президент Академии наук; геодезист и картограф Ф. Ф. Шуберт составил подробный план Петербурга 1828 г. — этот бесценный для историков документ, известный как «План Шуберта»

Затем последовало создание Пулковской обсерватории во главе с выдающимся астрономом В. Я. Струве, открытие Э. X. Ленцем законов электромагнитной индукции, изобретение Б. С. Якоби гальванопластики, труды основоположника эмбриологии К. М. Бэра, филологические исследования Я. К. Грота, установившего нормы русского правописания, которые сохранялись больше 30 лет (до реформы 1918 г.), и многое другое. Благодаря их совместным усилиям немецких и российских петербургская Академия наук стала одним из ведущих научных учреждений Европы и мира.

---

28 января 1725 Петр Великий издал указ о создании Российской Академии Наук. Через год после его смерти 27 декабря 1725. Академия приступила к работе. Это было первое в России научное учреждение, которое вскоре превратилась в один из самых авторитетных научных центров мира.

Активным соучастником идеи организации Академии был великий немецкий ученый Лейбниц 1646-1716, к опыту и советам которого Петр весьма внимательно прислушивался. Первый Президентом Российской Академии наук был немец Роберт Лоуренс Блюментрост 1692-1755. При Петре он был его личным секретарем и лейб - медиком. Его заслуги в организации работы Академии невозможно переоценить. В эти годы Россия была землей обетованной для ученых из Европы, ещё не оправившейся от потрясений 30 - летней войны. Россия же в то время представляла для них прекрасные возможности и для работы, и для жизни. В первые годы работы академии иностранцы составляли в ней большинство. Из 111 членов 67 было немцев. Но, в довольно скором времени, появились и собственные кадры. Хотя состав иностранных членов был всегда ощутим.

Подлинным украшением Российской Академии наук был великий Леонард Эйлер 1707—1783 пришедший в Россию по совету братьев Даниила и Николая Бернулли в возрасте 20 лет. Уже через несколько месяцев он овладел русским языком совсем молодым человеком. В 26 лет он стал Академиком. В течение 50 лет он был действительным членом Российской Академии Наук и много лет прожил в Петербурге, где оставил после себя потомство.

Эмилий Христианович (Генрих Фридрих Эмиль) Ленц (нем. Heinrich Friedrich Emil Lenz; 12 февраля 1804, Дерпт — 10 февраля 1865, Рим) — знаменитый физик.

От 1823 до 1826 г. принимал участие в качестве физика в кругосветном путешествии Коцебу. Результаты научных исследований этой экспедиции напечатаны им в «Мемуарах Санкт-Петербургской академии наук» (1831). В 1829 принимал участие в первой экспедиции на Эльбрус под руководством генерала Эмануэля. В 1828 г. выбран адъюнктом академии, а в 1834 г. академиком. Вместе с тем он состоял профессором, а в последние годы и ректором СПб университета. Преподавал также в знаменитой Немецкой школе Святого Петра (1830-1831), в Главном Педагогическом институте и в Михайловском артиллерийском училище. Лекции его по физике и физической географии отличались замечательной ясностью и строгой систематичностью. Такими же качествами обладали и его известные руководства физики (для гимназии) и физической географии; оба учебника выдержали несколько изданий, но первый из них был особенно распространен. Настолько же блестяща и плодотворна была и научная деятельность академика Ленца.

В истории физики научным трудам его всегда будет отводиться почетное место. Многие его научные исследования относятся к физической географии (о температуре и солености моря, об изменчивости уровня Каспийского моря, о барометрическом измерении высот, об измерении магнитного наклонения и напряженности земного магнетизма и др.). Но главным образом он работал в области электромагнетизма. Выяснению важного значения этих работ посвящены, между прочим, сочинения А. Савельева: «О трудах академика Ленца в магнитоэлектричестве» (СПб., 1854) и В. Лебединского: «Ленц как один из основателей науки об электромагнетизме» (журн. «Электричество» 1895).

Главнейшие результаты его исследований излагаются и во всех учебниках физики. Именно: закон индукции («Правило Ленца»), по которому направление индукционного тока всегда таково, что он препятствует тому действию (напр. движению), которым он вызывается (1883 г.). «Закон Джоуля и Ленца»: количество теплоты, выделяемое током в проводнике, пропорционально квадрату силы тока и сопротивлению проводника (1844). Опыты, подтверждающие «явление Пельтье»; если пропускать гальванический ток через висмутовый и сурьмяной стержни, спаянные концами и охлажденные до 0°C, то можно заморозить воду, налитую в ямку около спая (1838).

Опыты над поляризацией электродов (1817) и т. д.

Некоторые свои исследования Ленц производил вместе с Парротом (о сжатии тел), Савельевым (о гальванической поляризации) и академиком Борисом Якоби (об электромагнитах). Список его мемуаров, которые печатались в «Записках Императорской Академии Наук» и в журнале «Poggendorfs Annalen», помещён в «Biograφsch-literarisches Handwörterbuch von Poggendorf» (I, 1424). В соответственных статьях (Электрический ток, Нагревание электрическим током) будут подробнее изложены работы Ленца.

ГИПОТЕЗА ЭЙЛЕРА

Знаменитого Диофанта Александрийского (около III в.) интересовали вопросы о решении уравнений с несколькими переменными в рациональных числах, но эта задача во многих отношениях родственна задаче о решении уравнений в целых числах. Леонард Эйлер, которому равенство 33 + 43 + 53 = 63 было хорошо известно, высказал гипотезу, что подобно тому, как существуют два (натуральных) числа х и у, сумма квадратов которых равна квадрату третьего (натурального) числа, существуют и 3 (натуральных) числа, сумма кубов которых равна кубу 4-го числа; имеются также и 4 числа, сумма четвертых степеней которых равна 4-й степени 5-го числа; 5 чисел, сумма 5-х степеней которых равна 5-й степени 6-го числа, — и т. д. для всех (натуральных) показателей степени. С другой стороны, Эйлер полагал, что не существуют 2 чисел, сумма кубов которых равна кубу 3-го числа (эту теорему Эйлер сумел доказать!); 3 чисел, сумма 4-х степеней которых равна 4-й степени 4-го числа; 4 чисел, сумма 5-х степеней которых равна 5-й степени 5-го числа, и т. д. В 1911 г. гипотеза Эйлера как будто получила подтверждение: Р. Норри установил, что 304+1204+2724+3154 = 3534. Однако в 1966 г. (почти через двести лет после того, как Эйлер высказал свою гипотезу!) общая гипотеза Эйлера была опровергнута К. Дж. Леидером и Т. Р. Паркином (L. J. Lander, T. R. Parkin), показавшими, что 275 + 845+ 1105+ 1335 = 1445.

ЧИСЛА МЕРСЕННА

Священник Марен Мерсенн (1588—1648), горячий любитель и знаток физических, математических и философских проблем, занимал совершенно уникальное положение во французской науке своего времени. Обладая замечательной памятью и находясь в переписке с многими учеными разных стран, Мерсенн выполнял, так сказать, обязанности «института научной информации» своей эпохи, что при весьма ограниченном числе научных журналов и полном отсутствии сложившихся научных коллективов было чрезвычайно важно: у него всегда можно было получить справку по любому научному вопросу; с другой стороны, тесно связанный с большим числом лиц, Мерсенн как бы «персонифицировал» понятие научного коллектива, охотно связывая ученых, интересующихся одним кругом вопросов. Королевская Парижская академия наук как раз и выросла из кружка любителей научного знания, в центре которого стояла колоритная фигура Мерсенна.

Мерсенн вёл чрезвычайно оживлённую переписку (на латинском языке), представляющую громадный исторический интерес. В числе его 78 корреспондентов, кроме Декарта, были Галилей, Кавальери, Паскаль, Роберваль, Торричелли, Ферма, Гюйгенс, Гассенди и многие другие. 17-томное собрание переписки Мерсенна было издано в Париже в 1932-1988 годах. Основываясь на его исследованиях, французский математик Жозеф Совёр объяснил феномен обертонов. Особенно важным общение с Мерсенном было для Декарта и Ферма. Мерсенн не только сообщал Декарту о новейших научных идеях и достижениях, но также защищал его от клерикальных нападок и помогал в издании трудов. А об открытиях Ферма мы знаем практически только из его переписки с Мерсенном, изданной посмертно. Мерсенн, один из первых, оценил скорость звука. Он описал схему зеркального телескопа, позднее реализованную Ньютоном.

Мерсенн также издал перевод на французский язык «Механики» Галилея (1634), редактировал издания Евклида, Архимеда и других античных классиков.

Последовательность чисел Мерсенна 2n-1 начинается так: 1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511, 1023, … она знаменита с простыми аргументами 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, ... дающими простые числа. Всего известно 47 простых чисел Мерсенна, причём порядковые номера с уверенностью установлены только у первых 40. Самое большое известное ныне простое число принадлежит этой последовательности.

Символы Лежандра

Адриен Мари Лежа́ндр (фр. Adrien-Marie Legendre, 18 сентября 1752, Париж — 10 января 1833, там же).

Лежандр закончил Коллеж Мазарини, с 1775 года — преподаватель Военной школы в Париже. Член Парижской Академии наук (с 1783 года). В годы Французской революции Лежандр, вместе с Лагранжем и Лапласом, активно участвовал в Комиссии по введению метрической системы, в частности, в измерении длины одного градуса между Дюнкерком и Барселоной для установления эталона метра. 1795: профессор Нормальной школы. 1799: заменил на посту экзаменатора Политехнической школы Лапласа, с которым он вместе преподавал ранее в Военной школе. 1816: профессор Политехнической школы. Из-за какой-то бюрократической ошибки пенсия Лежандра была отменена в 1824 году, и остаток своих дней он прожил в нужде. Скончался Лежандр в Париже 10 января 1833 года.

Его имя внесено в список величайших учёных Франции, помещённый на первом этаже Эйфелевой башни. В честь Лежандра также названы: кратер на Луне; множество математических теорем и понятий.

В 1798 году выходит в свет «Опыт теории чисел» — фундаментальный труд, итог арифметических достижений XVIII века. Книга выдержала три переиздания ещё при жизни Лежандра. К сожалению, многие доказательства в книге были нестрогими или даже отсутствовали вовсе. В этом труде Лежандр доказал (не вполне строго) квадратичный закон взаимности, высказанный ранее Эйлером, причём придал ему современную формулировку, и предложил «символы Лежандра». Пробелы в доказательстве позже заполнил Гаусс. Изложена полная теория непрерывных дробей и их применений для решения диофантовых уравнений. Лежандра преследовал какой-то злой рок — стоило ему сделать выдающееся открытие, как тут же оказывалось, что другой математик сделал то же самое немного раньше. Даже те его открытия, приоритет которых никто не оспаривал, часто в самом скором времени перекрывались чужими, более общими результатами. Например, по поводу авторства метода наименьших квадратов, которым Лежандр особенно гордился, он имел приоритетный спор с Гауссом, который открыл этот метод независимо и раньше Лежандра (1795), но опубликовал позже. Многолетние труды Лежандра по эллиптическим функциям были во многом обесценены после появления классических работ Абеля и Якоби. "Начала геометрии" послужили образцом для всех дореволюционных учебников по элементарной математике в России.

Пусть a — целое число, и p — нечётное простое число. Символ Лежандра (a/p) определяется следующим образом: (a/p)=0, если a делится на p; (a/p)=1, если a является квадратичным вычетом по модулю p, то есть существует такое целое x, что x2=a (mod p); (a/p)=-1, если a является квадратичным невычетом по модулю p.

При p>2 символ Лежандра можно вычислить по формуле Эйлера (a/p)=a(p-1)/2 (mod p). Среди чисел 1<=a<=p-1 ровно половина имеет символ Лежандра, равный +1, а другая половина — -1. Существуют алгебраические зависимости для символа Лежандра. Символ Лежандра нередко вычисляют при помощи символа Якоби.

Символы Лежандра

Символы Якоби, Кронекера-Якоби, квадратичные формы

Оперирует представлением числа сомножителями P=p1p2.., вследствие чего появляется составная характеристика (a/P)=(a/p1)(a/p2).. . Символ Якоби практически никогда не вычисляют по определению. Чаще всего для вычисления используют свойства символа Якоби, главным образом — квадратичный закон взаимности. Главным образом, символ Якоби используется для быстрого вычисления символа Лежандра. Символ Лежандра, в свою очередь, необходим для проверки разрешимости квадратичного сравнения по модулю простого числа.

Символ Кронекера-Якоби является обобщением символов Лежандра и Якоби. Символ Лежандра определён только для простых чисел, символ Якоби — для натуральных нечётных чисел, а символ Кронекера-Якоби расширяет это понятие на все целые числа. Абстрактное определение его расширено, а суть та же, использование в процедурах (тестах) сравнения.

К. Гаусс создаёт теорию сравнений, называемую иначе арифметикой остаточных классов, с помощью которой были доказаны теорема о том, что простое число является суммой двух квадратов тогда и только тогда, когда оно имеет вид 4n + 1, и теорема о представимости каждого натурального числа суммой четырёх квадратов целых чисел. К. Гаусс, а затем П. Дирихле, продолжая исследования Л. Эйлера, создали теорию квадратичных форм, другими словами, - теорию о представлении натуральных чисел формами вида ax2+ 2bxy + су2, где а, b, с - целые числа.

СОФИ ЖАРМЕН

В 1825 году метод Софи Жермен был успешно применен Густавом Леженом Дирихле и Адриеном Мари Лежандром. Этих ученых разделяло целое поколение. Лежандр был семидесятилетним старцем, пережившим политические бури Великой французской революции. За отказ поддержать правительственного кандидата в Национальный Институт он был лишен пенсии, и к тому времени, когда он внес свою лепту в доказательство Великой теоремы Ферма, Лежандр испытывал сильнейшую нужду. Дирихле же был молодым и исполненным честолюбивых замыслов специалистом по теории чисел, которому едва исполнилось двадцать лет. И Лежандру, и Дирихле независимо друг от друга удалось доказать Великую теорему Ферма при n=5, причем оба основывали свои доказательства на рассуждениях Софи Жермен и именно ей были обязаны своим успехом.

Кто такая Софи Жермен? В 1794 году в Париже открылась Политехническая школа, основанная как высшее учебное заведение для подготовки математиков и естествоиспытателей для нужд нации. Эта школа могла бы стать идеальным местом для Жермен, где она могла бы развить свое математическое дарование, если бы не одно непреодолимое препятствие: в школу принимали только мужчин. Природная застенчивость не позволяла Софи открыто выступить против школьных властей, и она решила учиться там тайно, под видом бывшего студента этого учебного заведения месье Антуана Огюста Леблана. Руководству школы не было известно, что настоящий месье Леблан уже покинул Париж, и оно продолжало печатать для него конспекты лекций и задачи. Жермен стала получать материалы, предназначавшиеся для Леблана, и каждую неделю предоставляла решения задач под свои новым псевдонимом. Все шло по плану до тех пор, пока несколько месяцев спустя смотритель курса Жозеф Луи Лагранж не обратил внимание на блестящие решения, которые стал представлять месье Леблан. Решения месье Леблана не только отличались необычайным остроумием, но и свидетельствовали о глубокой перемене, происшедшей в студенте, ранее известном своими слабыми познаниями в математике. Лагранж, принадлежавший к числу наиболее выдающихся математиков Европы, потребовал встречи с преобразившимся студентом, и Софи Жермен была вынуждена открыть, кто она на самом деле. Лагранж был удивлен и приятно поражен, увидев перед собой девушку, и стал ее наставником и другом. Наконец-то у Софи Жермен появился учитель, который мог поощрить и вдохновить ее, кому она могла открыто продемонстрировать свои знания и с кем могла поделиться замыслами. Жермен обретала все большую уверенность в своих силах и перешла от решения задач в учебных заданиях к изучению еще неисследованных областей математики. В письмах к Гауссу она изложила общий ход вычислений, сосредоточенных на простых числах p частного типа: таких, что числа 2p+1 — также простые.

В составленный Жермен перечень таких простых чисел входит число 5, поскольку 11 = 2·5 + 1 - также простое, но число 13 в него не входит, так как 27 = 2·13 + 1 не простое. В частности, Жермен с помощью изящного рассуждения, доказала, что если уравнение xn + yn = zn имеет решения для таких простых n, что 2n+1 также простое число, то либо x, y, либо z делится n. Стоит отметить, что Лагранж, в некотором смысле, преемник Эйлера (уравнения Эйлера-Лагранжа), так что к случаю n=5 выстраивается цепочка Эйлер, Лагранж, Жармен, Лежандр и Дирихле. Символы Лежандра - база построения C-матриц и матриц Адамара.

Еще один прорыв осуществил четырнадцатью годами спустя француз Габриель Ламе. Он внес некоторые остроумные усовершенствования в метод Жермен и доказал Великую теорему Ферма при простом значении n=7. Жермен показала специалистам по теории чисел, как исключить целую группу случаев с простыми значениями n, и теперь объединенными усилиями ее коллеги продолжали доказывать теорему для одного простого значения n за другим. Работа Жермен над Великой теоремой Ферма стала ее величайшим достижением в математике, хотя и не сразу оцененным по достоинству. Когда Жермен впервые написала Гауссу, ей не было еще и тридцати лет, и хотя ее имя приобрело известность в Париже, она опасалась, что великий математик не воспримет письмо от женщины всерьез. Чтобы защитить себя, Жермен снова укрылась за псевдонимом, подписав письмо именем месье Леблана.

КУМЕР

Э. Куммер построил арифметику целых чисел алгебраического числового поля, порожденного корнями n-й степени из единицы a, рассматривая числа вида z+ay, где z и у - целые, как «новые целые числа». Пропроция 2:1 встречается у матрицы третьего порядка и вещественной проекции корня третьей степени. В пропорции для корня пятой степени замешан √5, едва ли уровневые матрицы идут на поводу уже сложившейся теории, иначе было бы "все слишком просто".

Корни 3-й степени из 1

Уже при n=3 в доказательстве Эйлера появляется корень из -1. Немецкий математик Эрнст Куммер занимался разложениями комплексных чисел на множители и ему хорошо была знакома неединственность в решении этой задачи. В вещественном случае целые числа разлагаются на произведение простых единственным способом. Наблюдая за переполохом во французской Академии Наук, вызванной очередною схваткою между Габриелем Ламе и Огюстом Коши, он послал письмо приятелю, Жозефу Лиувиллю, в котором вылил на спорщиков ушат холодной воды. Оба пренебрегали вариативностью задачи, необъятно разрастающейся в случае неединственности нерегулярных целых чисел n = 37, 59, 67 (уже при n<100). Поэтому Кумер считается основоположником, указавшим проблемное место теории.

Эллиптическая кривая

Вернемся к идее Ферма, разность куба и квадрата 27-25=2, кубическое уравнение

x3-y2=2

помимо точки x=3, y=5 нигде более не сближается на 2.


n=16, I=one(n),
Z={I}, for i=2:n, A={i*I}, Z={[Z A]}, end,  

X={Z.*Z}, tr(Z), 
Y={Z.*Z}, Y={Y.*Z}, D={{Y-X-2}}, 

D={abs(D)}, D=blocks(D 0 4 0 n-1), 
tr(D), D=?, t=line(n), plot(t D),

Довольно часто цитируется форма Вейерштрасса

y2=x3+g2x+g3

с дискриминантом D=-(4g23+27g32), приводится заменой переменных к глобально минимальной форме имени того же автора (это форма, когда степень каждого простого числа входящего в дискриминант не может быть уменьшена и все коэффициенты целые):

y2+a1xy+a3y=x2+a1x2+a4x+a6

Кубические уравнения рассматривают заданными на числах по модулю (mod p), если частная задача неразрешима, неразрешима и общая. Числа еще более прореживают, выбирая делители дискриминанта, и выбирают форму приведения (полустабильная - одна из таких форм). Простые числа, делящие дискриминант, можно объединить в так называемый кондуктор эллиптической кривой (произведение по определенным правилам).

Модулярная форма

Обозначим через H верхнюю комплексную полуплоскость. Пусть N - натуральное и k - целое числа. Модулярной параболической формой веса k уровня N называется аналитическая функция f(z), заданная в верхней полуплоскости и удовлетворяющая соотношению

f(az+b/cz+d)=(cz+d)kf(z),

для любых целых чисел a, b, c, d, таких, что ad - bc = 1 и c делится на N. Вдоль вещественной оси и на бесконечности (если грубо) функция 0. Пространство модулярных параболических форм веса k уровня N обозначается через Sk(N), оно имеет конечную размерность. В дальнейшем нас будут особо интересовать модулярные параболические формы веса 2, размерность dim(S2(N)) отлична от нуля и равна 1 для N= 11, 14, 15, 17, 19, 20, 21. При N=22 размерность 2. f (z + 1) = f (z) для каждой формы f из S2(N), т.е., функция f(z) периодична и представима гармоническим рядом (суммой экспонент). Выделяют собственную модулярную форму с целыми коэффициентами разложения и первым, равным 1. Эллиптическая кривая с рациональными коэффициентами и кондуктором N называется модулярной, если для нее найдется собственная форма (с рядом ограничений).

Гипотеза Таниямы. Всякая эллиптическая кривая с рациональными коэффициентами является модулярной.

В 1985 году немецкий математик Герхард Фрей предположил, что если теорема Ферма неверна, то эллиптическая кривая (выведенная из уравнения Ферма) не может быть модулярной, что противоречит гипотезе Таниямы. Самому Фрею не удалось доказать это утверждение, однако вскоре доказательство было получено американским математиком Кеннетом Рибетом. Другими словами, Рибет показал, что последняя теорема Ферма является следствием гипотезы Таниямы.

23 июня 1993 года математик из Принстона Эндрю Уайлс, выступая на конференции по теории чисел в Кембридже (Великобритания), анонсировал доказательство гипотезы Таниямы для полустабильных эллиптический кривых, к которому относятся кривые вида Фрея. Текст с доказательством гипотезы Таниямы, написанный Уайлсом в сотрудничестве с Тейлором, вышел в свет летом 1995 года.



Rambler's Top100