admin

МАГИЧЕСКИЕ КВАДРАТЫ

Ло Шу. Единственный нормальный магический квадрат 3×3. Первое изображение на легендарном черепаховом панцире датируется 2200 до н.э.

A =
4 9 2
3 5 7
8 1 6

У нормального квадрата задействован весь ряд чисел от 1 до n2. Сумма чисел по столбцам, строкам, обеим диагоналям одинакова и равна 15. Эта магическая константа оценивается как

M=(n3+n)/2

Константы для разных порядков: 1,-,15,34,65,111,175,260,369,505,671,870,1105.. магический квадрат второго порядка не существует (антитеза гипотезе Ферма). Ло Шу - ассоциативен, сумма чисел, симметричных относительно центра, равна n2+1=10.


A=[4 9 2; 3 5 7; 8 1 6], mesh(A), 
S=sum(A), S=?, D=eig(A), diags(D), plots(D)

Фэн-шуй - это учение, которое работает с символами, и в котором многие простые вещи приобретают загадочный, знаменательный и символический смысл.

В Китае эти арифметические квадраты воспроизводят устройство китайской Ло шу, карты мира, представленной Богом в теле черепахи мифическому императору Ю.

Ло-шу - это разделенный на сектора квадрат, служащий моделью пространства. С историей появления Ло-шу связана легенда, которая гласит, что около четырех тысяч лет назад из бурных вод реки Ло вышла большая черепаха. Люди, увидевшие черепаху, сразу признали ее божеством. Эта черепаха на самом деле была особенной, потому что на ее панцире был нанесен странный узор из точек. Точки были нанесены упорядоченно - это привело древних философов к мысли о том, что квадрат на панцире черепахи таит в себе некоторую тайну бытия.

Расположение чисел в магическом квадрате Ло-шу сходно с символическими обозначениями духов в каббале и знаками индейской астрологии. Ло-шу лежит в основе таких вещей как медитация, религиозные обряды, воинские искусства. Разумеется, этот квадрат используется и в нумерологии. Цифры, составляющие дату рождения, расставляются в ячейке квадрата Ло-шу и затем расшифровываются в зависимости от значения и местоположения цифр.

Привычное изображение магического квадрата явля­ется основой для нестареющей игры в крестики-нолики, которую любят почти все дети с тех пор, как они откры­ли, что первый игрок всегда может выиграть. Прежде чем стать забавой в младших классах, эта девятиклеточная фигура была известна как квадрат Сатурна, считав­шийся загадочным и магическим, так как числа в нем расположены таким образом, что при сложении дают одинаковые суммы в каждом ряду, столбце и по обеим диагоналям. Простой магический квадрат на рисунке ос­нован на числе 5, которое помещено в центре и по всем направлениям дает 15. Большие магические квадраты имеют большее число полей и большую сумму чисел.

Магический квадрат был важен в средневековой ну­мерологии, часто использовался как амулет и считался содержащим мистические откровения о реальном мире. Некоторые тайные общества в Средние века видели в нем «каббалу девяти палат». Каждая ячейка содержала мистическую букву или иной символ. Прочитанные вме­сте вдоль определенной линии, эти знаки передавали ок­культные сообщения. Несомненно, такой оттенок за­претного волшебства много значил для сбережения сим­волов, даже если их старые значения испарились, когда они стали детской игрой.

 admin

ЛАТИНСКИЙ КВАДРАТ

Название «латинский квадрат» берёт начало от Леонарда Эйлера, который использовал латинские буквы вместо цифр в таблице.

Определение. Латинским квадратом порядка n называют квадратную матрицу размером nxn, элементы которой принадлежат множеству M = {1, 2, ..., n}, причем каждое число из M встречается ровно один раз в каждой строке и в каждом столбце.

Любой латинский квадрат является таблицей умножения (таблицей Кэли) квазигруппы. Регулярная M-матрица отвечает, таким образом, неполному латинскому квадрату. Пара латинских квадратов ортогональна, если порождаемые их элементами пары индивидуальны. Квадрат из пар элементов двух ортогональных латинских квадратов называется греко-латинский квадратом. Подобные квадраты часто используются для построения магических квадратов.

Занимаясь греко-латинскими квадратами Эйлер доказал, что квадратов второго порядка не существует, зато были найдены квадраты 3, 4, и 5 порядков. Квадрата 6 порядка обнаружить не удалось, но доказать, что их не существует, Эйлеру не удалось. Но им была высказана гипотеза, что не существует квадрата порядка N, если N — чётное число, не делящееся на 4 (то есть 6, 10, 14 и т. д.).

В 1901 гипотеза была подтверждена для N=6 математиком Гастоном Терри. Это было сделано перебором всех возможных вариантов квадрата. А в 1959 году гипотеза была опровергнута Э. Т. Паркером, Р. К. Боусом и С. С. Шрикхердом, обнаружившими греко-латинский квадрат порядка 10.


00 47 18 76 29 93 85 34 61 52 
86 11 57 28 70 39 94 45 02 63 
95 80 22 67 38 71 49 56 13 04 
59 96 81 33 07 48 72 60 24 15 
73 96 90 82 44 17 58 01 35 26 
68 74 09 91 83 55 27 12 46 30 
37 08 75 19 92 84 66 23 50 41 
14 25 36 40 51 62 03 77 88 99 
21 32 43 54 65 06 10 89 97 78 
42 53 64 05 16 20 31 98 79 87

После были обнаружены квадраты 14, 18 и т. д. порядков.


A=['a' 'b' 'c'; 'b' 'c' 'a'; 'c' 'a' 'b'], 
B=['a' 'b' 'c'; 'c' 'a' 'b'; 'b' 'c' 'a'], 
C={A+B}, C=?,

Латинский квадрат образует сумма индексов, складываемых (для различимости) по модулю n. В конце XIX века Кэли показал, что таблица умножения элементов конечной группы является латинским квадратом.

 admin

СВЯЗЬ С M-МАТРИЦАМИ

У регулярных M-матриц (n-1)/2 ступеней по n-элементов. Но мало этого, элементы сидят каждый в своем столбце/строке

Это свойство латинского квадрата. Суммы абсолютных значений столбцов-строк гонятся M-алгоритмом к константе. Собственно, это свойство магического квадрата.

Если взять латинский квадрат третьего порядка, приравнять в нем пару элементов, получим М-матрицу (без учета знака). У матрицы пятого порядка нужно 3 элемента равнять, в общем: (n+1)/2

Тоже ведь некоторая информация о структуре. Если правило знаков угадать, то прямой путь к аналитике без M-алгоритма.

A =
1 2 2
2 1 -2
2 -2 1

У матрицы 3-го порядка вычеркнем положительные первую строчку и столбец. У двоек наблюдается баланс знаков.

 admin

ПОИСК ЗНАКОВ M3 ПЕРЕБОРОМ


if tick=0, n=3,  
A=ones(n), I=eye(A), A={2*A}, A={A-I},
Z=ones(n), I={9*I}, end, 

Z=change(Z), 
M={A.*Z}, mesh(M), M=?, tick=?,
d={{M'*M-I}}, d=norm(d), d=?,
if d>0, d=1, else, d=1000, end,
ticker(d), 

function: change(A),
var n=size(A), 
  for var i=1:n, var c=1, var a=A[i],
  for var j=1:n, var aj=a[j], a[j]=-aj,
  if aj>0, j=n, c=-c, end,
  end, if c<0, i=n, end,
  end,
return A,
end,

 admin

ПОИСК ЗНАКОВ M3 ПЕРЕБОРОМ


if tick=0, n=3,  
A=ones(n), I=eye(A), A={2*A}, A={A-I},
Z=ones(n), I={9*I}, end, 

Z=change(Z), 
M={A.*Z}, mesh(M), M=?, tick=?,
d={{M'*M-I}}, d=norm(d), d=?,
if d>0, d=1, else, d=1000, end,
ticker(d), 

function: change(A),
var n=size(A), 
  for var i=1:n, var c=1, var a=A[i],
  for var j=1:n, var aj=a[j], a[j]=-aj,
  if aj>0, j=n, c=-c, end,
  end, if c<0, i=n, end,
  end,
return A,
end,



Rambler's Top100