admin

ДИСТАНТНЫЕ СИСТЕМЫ

Дистантные системы – системы нашего времени. Отчасти это блоги и сетевые журналы, форумы, социальные сети. Но у инженеров есть собственные потребности в коммуникации, в частности, нужна математика, нужно обучение, нужно тестирование учеников, для этого предназначены MOODLE и SAGE. MOODLE содержит подсистемы выкладывания учебных материалов и тестирования учеников (курирует освоение этих материалов). SAGE позволяет завести блокнот с математическими примерами, исполняемыми на сервере с помощью Питон.

Стандарт SCORM. Cтандарт описывает структуру учебных блоков и пакетов учебного материала. Пакет может содержать курс, урок, тест, модуль и т. п. В пакет входят xml-файл (манифест), где описана структура пакета, и файлы, составляющие учебный блок. Этот файл должен иметь название imsmanifest.xml и находится в корневой папке пакета.

Манифест пакета включает: метаданные (свойства компонентов учебного материала); организацию учебного материала (в каком порядке расположены компоненты); ресурсы (ссылки на файлы, содержащиеся в пакете); sub-Manifest (xml-файл может содержать под-манифесты, описывающие отдельные части пакета - это может иметь смысл, если пакет очень большой и имеет сложную структуру, чтобы не перегружать один файл большим объёмом данных). Блоки учебного материала, входящие в пакет, могут быть двух типов: Asset и Sharable Content Object (SCO).

Asset — элемент, который не взаимодействует с сервером системы управления обучением (LMS-сервером). Это может быть html-страница, просто картинка, звуковой файл, flash-объект и т.п. Asset может состоять из нескольких файлов (например, html-файл + css-файл c описанием его стилей + js-файл с описанием используемых в нём функций), но с точки зрения системы и учащегося Asset будет рассматриваться как один неделимый объект.

SCO — это элемент, который взаимодействует с системой управления обучением: сообщает о ходе и результатах обучения, получает и передаёт дополнительные данные и т.п. Как минимум SCO сообщает о своем запуске и завершении (путём вызова методов Initialize("") и Terminate("") объекта API_1484_11, используемого системой для взаимодействия).

СИСТЕМА MOODLE

Система реализует философию «педагогики социального конструкционизма» и ориентирована прежде всего на организацию взаимодействия между преподавателем и учениками, хотя подходит и для организации традиционных дистанционных курсов, а также поддержки очного обучения.

Moodle переведена на десятки языков, в том числе и русский и используется почти в 50 тысячах организаций из более чем 200 стран мира. В РФ зарегистрировано более 600 инсталляций. Количество пользователей Moodle в некоторых инсталляциях достигает 500 тысяч человек.

WIKI | ДЕМО | ОТКРЫТЫЕ ТЕХНОЛОГИИ

Sage (анг. 'Мудрец') – система компьютерной алгебры покрывающая много областей математики, включая алгебру, комбинаторику, вычислительную математику и матанализ. Первая версия Sage была выпущена 24 февраля 2005 года в виде свободного программного обеспечения с лицензией GNU GPL. Первоначальной целью проекта было "создание открытого программного обеспечения альтернативного системам Magma, Maple, Mathematica, и MATLAB". Разработчиком Sage является Уильям Стейн – математик Университета Вашингтона. Официальный сайт: sagemath.org | Вики.

Внимание, php-иллюстрация

Корни квадратные в хвосте статьи Харди, апология |z|<√ab (нужен стиль)

НИЖЕ ФОРМИРУЕМ СВЕДЕНИЯ ПО НОРМАМ

 admin

Нормы векторов и матриц

В евклидовой геометрии длина вектора на плоскости рассчитывается по его проекциям на оси декартовой системы координат согласно теореме Пифагора

|| x || = ( x12 + x22 )½

Неравенство треугольника - одно из интуитивных свойств расстояния, позволяющее абстрагировать понятие длины (нормы элемента векторного пространства). Оно утверждает, что длина любой стороны треугольника не превосходит сумму длин двух его других сторон. Неравенство треугольника со сторонами x, y и z = x + y включается как аксиома в определение нормы

|| z || = || x + y || ≤ || x || + || y || ,

норма || z || ≥ 0, ноль соответствует вектору нулевой протяженности z=0, длины векторов z и αz отличаются тем же коэффициентом пропорциональности || αz || = α || z ||.

В n-мерном пространстве критериям нормы удовлетворяет более общая, чем квадратичная, степенная зависимость

|| x ||p = ( | x1 |p + ... + | xn |p )1/p,

введенная в научный обиход благодаря работам Гельдера.

С повышением показателя степени p, роль максимальной по величине проекции увеличивается настолько, что ее вклад существенно превалирует над вкладом остальных составляющих суммы, ее значение считается нормой и обозначается как

|| x || = max { | x1 |, ... , | xn | }.

Наиболее популярны манхэттенская || x ||1, евклидова || x ||2 и чебышева || x ||n нормы, наименования которых восходят к предыстории их создания. Свойства этих пространств принято иллюстрировать кругом в каждом из них

Круг в пространствах с разной нормой

Наряду с величиной (нормой) элемента принято вводить метрику - функцию, с помощью которой оценивается расстояние между двумя элементами x, y. В том случае, когда расстояние оценивается нормой разности x-y, говорят о метрике, согласованной с нормой. В общем, при ее независимом определении, метрика удовлетворяет сходным аксиомам, которые нет смысла повторять.

Еще одним источником метрики и нормы служит квадратичная форма

|| x || = ( x'Ax )½,

где A - симметричная неотрицательно определенная матрица весовых коэффициентов.

Матрица отличается от вектора тем, что с ее помощью описывается преобразование из одного векторного пространства в другое

y = A x,

где она именуется (матричным) коэффициентом усиления или оператором.

Соответственно, матриц могут рассматриваться сами по себе, и как элементы преобразования. В первом случае аксиомам нормы удовлетворяет фробениусова или эвклидова норма матрицы || Ax ||F, подсчитываемая ровно также, как и евклидова норма вектора, через корень квадратный из суммы квадратов ее элементов.

Во второй своей ипостаси матрица характеризуется своей пропускной способностью через максимум коэффициента усиления по норме

|| A || = max || Ax || / || x ||,

и имеет смысл указывать, по какой именно норме. Матричная норма, подчиненная норме ||x||p, обозначается ||A||p. Подчиненные нормы согласованы с векторными в том смысле, что

|| Ax ||p ≤ || A ||p || x ||p.

Нормы || A ||1, || A ||2 и || A || называются манхэттенской, спектральной и чебышевской, соответственно. Можно показать, что

|| A || 1 = max j { ∑ i=1:n | aij | }

|| A || 2 = max j { (λj(A'A))½ }

|| A || = max i { ∑ j=1:n | aij | }

Здесь λj(A'A) - собственные значения матрицы A'A, у симметричных матриц A' = A корни квадратные заменяются модулями собственных значений матрицы A.

Отметим, что квадратичная фробениусова норма матрицы согласована в указанном выше смысле с квадратичной нормой вектора, хотя и не является подчиненной.

 admin

По нормам

Норму можно рассматривать как обобщение на многомерный и абстрактный случаи понятия абсолютной величины числа. Вообще, и норма, и абсолютная величина являются понятиями, которые формализуют интуитивно ясное свойство размера объекта, его величины, т. е. того, насколько он мал или велик безотносительно к его расположению на прямой, плоскости или в пространстве. Такова, например, длина вектора как направленного отрезка в привычном нам трехмерном евклидовом простр

Rn

|| a || 1 = ∑ i=1:n | ai |

|| a || 2 = ( ∑ i=1:n | ai | 2 )½

|| a || = max i=1:n | ai |

---

Нормы векторов и матриц

Вещественное или комплексное

1) || x || ≥ 0, причем || x || = 0 только если x=0;

2)

 admin

Число обусловленности

Числом обусловленности невырожденно матрицы А называется величина

cond A = || A || · || A-1 ||

Из определения следует, если матричная норма подчинена векторной, то

cond A = (maxx≠0(|| Ax || / || x ||)) / (minx≠0(|| Ax || / || x ||))

Если матрица A вырождена, то полагают cond A = ∞.

Если в качестве матричной нормы || A || используется || A ||р , то число обусловленности обозначим condрA. Чаще других ипользуется матхеттенское, спектральное, чебышево и фробениусово числа обусловленности: cond1A, cond2A, condA, condFA соответственно.

Для спектрального числа обусловленности справедливо

cond2A = ((maxjλj(ATA)) / (minjλj(ATA)))½

откуда для симметричной матрицы получаем

cond2A = ((maxjj(A)|) / (minjj(A)|))½

 admin

|| a || 1 = ∫ τ=0:∞ |a(τ)| dτ



Rambler's Top100