РАБОТА 1. ИЗУЧЕНИЕ ИНТЕГРАТОРА

Цель работы: ознакомиться с характеристиками и методикой компьютерного моделирования блоков с дробно-рациональными передаточными функциями на примере простейшего звена (интегратора), см. также help.

1. ПРАКТИЧЕСКИЕ И ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

РЕШАЮЩАЯ РОЛЬ ЭКСПОНЕНТ

Модель системы задается в равной мере ее характерной траекторией или видом дифференциального уравнения. В небесной механике орбиты Кеплера появились до (нелинейных) дифференциальных уравнений Ньютона. Хотя первое чисто формально является решением второго, на самом деле нет никакого предпочтения.

У линейных систем "орбитами" служат экспоненты. Производная экспоненты равна экспоненте. Поэтому в дифференциальном уравнении линейных динамических систем функция и ее производные фигурируют в виде алгебраической суммы слагаемых (нет квадратичной и прочих зависимостей). Циклическим незатухающим движениям отвечают экспоненты с чисто мнимыми показателями, это системы без трения. Такие идеализированные варианты далее рассматривать не будем.

У систем с трением превалирует затухание. В первом приближении так описываются практически все транспортные системы: самолеты, автомобили, суда.

Особым и самым распространенным режимом у них является движение при постоянном воздействии двигателя, условно u(t)=1. В ответ на выходе систем развивается линейно изменяющейся процесс, описывающий пройденный путь. Если воздействия нет, то наблюдается экспонента той или иной степени протяженности: разряд или распад. Бесконечная протяженность (постоянный сигнал) отвечает тривиальному режиму: транспортное средство стоит.

ИНТЕГРАТОРЫ

Интеграторы. С интеграторами каждый из нас тесно знаком, поэтому их реакции несложно проверять не только формульно, но на основании здравого смысла исходя из жизненного опыта. Перечислим некоторые интеграторы.

Прежде всего это накопители. Емкость с водой накапливает воду. При подаче на вход постоянного сигнала (включении крана) уровень воды постепенно повышается. Это и есть характерная реакция интегратора. При выключении сигнала (заворачивании крана) выход интегратора остается неизменным. Ванна, наполненная водой, сохраняет ее, она не может опустеть сиюминутно. То же самое касается экологических моделей, например, снегопада и толщины снежного покрова. Дискретная модель интегратора знакома нам по трамваю или по кошельку: монеты или пассажиры символизируют накапливаемую сумму.

Переполнение ванны нарушает функции динамического звена. Про такие звенья говорят, что они нелинейные, нелинейность имеет характер насыщения. Более "правильным" интегратором является электрический мотор. При подаче на вход постоянного сигнала (напряжения) выходной сигнал в виде угла поворота вала может бесконечно возрастать. Нелинейности звена если и ощутимы, то на старте, пока набирается угловая скорость двигателя. Подобные интеграторы имеют важное военное применение: в системах наведения они надежны, хотя довольно громоздки.

Для нужд гражданского производства в свое время большую роль сыграли ламповые, а потом транзисторные (операционные) усилители. Роль наполняемой емкости в них выполняет конденсатор, соединяющий выход лампового или транзисторного усилителя с его инверсным входом. Электрические накопители имеют порог насыщения, точно также, как и водные. Положительная обратная связь, возникающая при взаимодействии микрофона с динамиками, хорошо известна своими негативными последствиями. Вследствие самовозбуждения аккустическая система издает свист.

Положительная обратная связь редко когда применяется, однако надо помнить что входные сигналы с равным успехом можно подавать как на прямые, так и на инвертирующие входы. Сигнал интегрирующего звена заменяет в промышленности задатчики линий для обрабатывающих станком, уже поэтому им придавалось большое значение. Помимо того, на интеграторах собирают более сложные элементы, имеющие более сложные реакции. Интегратор, это простейшее динамическое звено, с помощью которого моделируются линейные динамические системы.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ИНТЕГРАТОРОВ

На структурных схемах интегратор изображается прямоугольником с символом операции интегрирования 1/p или сочетанием прямоугольника и треугольника (обычный треугольник символизирует нединамический элемент: сумматор или усилитель).

Интегратор имеет некоторое начальное состояние у0 (на схемах его проставляют над прямоугольником) и его реакция на входной сигнал u(t) описывается как:

y(t)=у0+0t u(τ)dτ.

Это и есть уравнение для механической модели в виде ванны с водой. Начальным значением описывается ее исходное наполнение. Геометрический смысл операции интегрирования состоит в том, что интегралом описывается площадь фигуры, ограничиваемой графиком входного сигнала. Для постоянного сигнала с изменением времени t текущее значение площади линейно нарастает At. С этой зависимостью мы еще встретимся, изучая решения дифференциальных уравнений.

Дифференциальное уравнение интегратора с неинвертирующим входом получается из предыдущего уравнения взятием производной

y'(t)=u(t).

Современные операционные усилители, служащие основой для изготовления интеграторов, имеют положительный и отрицательный входы. Поэтому знак при управлении зависит от выбора точки приложения воздействия. У кастрюли за минус на входе отвечает краник слива накопленной жидкости.

Реакции динамических звеньев первого порядка. За исключением особых случаев, связанных с кратными корнями (резонансами), реакция линейного динамического звена складывается из элементарных составляющих, описываемых экспонентами, называемых собственными движениями, и некоторой вынужденной составляющей, в данном случае экспонента одна

y(t)=с1eλ1t+yвын(t).

Показатель λ1 ищется как корень характеристического уравнения: последнее получают, приравнивая нулю знаменатель a(p)=0 передаточной функции системы Q(p)=b(p)/a(p). Так как передаточная функция на нулях знаменателя претерпевает разрыв, показатели экспонент называют еще полюсами передаточной функции.

Вынужденное движение yвын(t) удовлетворяет дифференциальному уравнению, это его "частное решение". Оно совпадает по форме с входной функцией, но заданно с точностью до неопределенных коэффициентов. Например, при u(t)=e2t вынужденная реакция ищется как yвын(t)=Ae2t. Для гармонического входного сигнала (синусоиды) неизвестными в реакции считаются и амплитуда и фаза. В случае резонанса, когда вынуждающее воздействие u(t) совпадает со свободным движением eλ1t, реакция домножается на время t. Подставляя частное решение в дифференциальное уравнение, правая часть которого известна, получаем уравнение для поиска коэффициентов.

Коэффициент с1 ищется из начального условия y(0)=с1+yвын(0)=y0. Раскроем алгоритм поиска решения на примерах простейших динамических звеньев: интегратора и апериодического звена.

Передаточная функция. Используя символ дифференцирования p=d/dt, уравнение интегратора переписывается в операторной форме py=u, что позволяет формально выразить выходной сигнал через произведение y=Q(p)u, где Q(p)=K/p, параметр K описывает коэффициент усиления звена. Обычно K=1, но промышленно проще изготовить интегратор с инверсным входом K=-1 (или K=-a). Чем выше абсолютное значение K, тем больше по амплитуде реакция. Дробно-рациональная функция Q(p) называется передаточной функцией. Ее коэффициенты используют для параметрического описания системы, в данном случае числитель имеет параметр N=K, а полином знаменателя p+0 описывается двумя параметрами D=[1 0].

Моделирование интегратора. Рассмотрим реакцию промышленного интегратора с инвертирующим входом на единичный сигнал при начальном состоянии y(0)=c1=5 на отрезке времени 20 секунд. Наблюдается линейное изменение выходного сигнала.


%toolbox control, 
N=-1, D=[1 0], t=time(20), 
u=one(t), c1=5, y=lsims(N D c1 u t), plot(t [u y]),

Характеристическое уравнение. Выписывается по дифференциальному уравнению (приравнивается нулю знаменатель передаточной функции): p=0. Корень полинома λ1=0 используются в показателе экспоненты, т.е. для интегратора y(t)=с1+yвын(t).

Вынужденная составляющая. При u(t)=1 вынуждающее воздействие совпадает со свободным движением eλ1t, λ1=0, реакция должна быть домножена на время yвын(t)=At (резонанс). Заметим, что у интеграторов резонанс имеет место только для постоянного входного воздействия. A находим, подставляя частное решение в дифференциальное уравнение. В данном случае y'=A, из y'=u(t) при u(t)=1 имеем A=1.

Для интегратора с инвертирующим входом y'=-u(t), следовательно, получим противоположное по знаку значение коэффициента A.

Начальные условия. Задача решения дифференциального уравнения с учетом начальных условий называется задачей Коши. Коэффициенты при экспонентах позволяют описывать движение из различных начальных условий. Для рассматриваемого нами промышленного интегратора имеем

y(t)=с1-t, иначе y(t)=y0-t.

Эта функция (построим ее) совпадает с результатом численного расчета выше.


t=time(20), c1=5, y=fun(c1-t), plot([t y])

Сравните аналитическое решение с полученным ранее графиком в итоге машинного расчета реакции по модели и входному воздействия. Итог получается одинаковый, но машинный расчет не требует выяснения корней характеристического многочлена и прочих деталей, характерных для ручного расчета. Тем не менее, аналитическое решение дано нам с точностью до формулы, а численное порождает только график. Его сложнее исследовать на предмет выявления тенденций изменения реакции при изменении начальных условий и модели объекта.

АПЕРИОДИЧЕСКИЕ ЗВЕНЬЯ

Апериодическое звено получило такое название потому, что среди его собственных движений нет колебательного (периодического). Это звено получаем замыканием интегратора отрицательной обратной связью через инверстный вход с коэффициентом усиления a. Не следует путать две характерные обратные связи таких систем. Первая обратная связь с конденсатором через инвертирующий вход (помечают кружком) превращает операционный усилитель в звено накопления: интегратор. Это функциональная связь. Механический аналог электрической емкости - ванна с водой. Замыкая вторую безынерционную резистивную обратную связь, получаем апериодическое звено. У следящих систем входное воздействие приложено к (ненарисованному выше) неинвертирующему входу, тогда

y=a(u-y)/p, отсюда py+ay=au или y=Q(p)u, Q(p)=a/(p+a).

Стандартная форма записи передаточной функции звена имеет вид Q(p)=K/(Tp+1), где коэфициент усиления K=1, постоянная времени T=1/a. Постоянная времени T несет смысловую нагрузку, она равна трети протяженности переходного процесса, вызываемого подачей сигнала u(t)=1 на вход. При нулевых начальных условиях синтаксис задания u(t) упрощен и применяется иная подпрограмма.


a=1, N=a, D=[1 a], t=time(20), 
u=one(t), y=lsim(N D u(t)), plot(t [u y]),

Корень характеристического уравнения совпадает с полюсом передаточной функции (корнем знаменателя передаточной функции) λ1=-1/T. Переходный процесс, как видно, имеет ярко выраженный экспоненциальный характер

y(t)=с1eλ1t+yвын(t),

свободное движение постепенно затухает, вынужденная же реакция на постоянное входное воздействие у следящих систем совпадает с этим воздействием (отсюда их название, система отслеживает входной сигнал: yвын(t)=u(t)=1, по принципу отрицательной обратной связи устроено зенитное оружие).

АСТАТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ

Степень астатизма. Отметим, что каков бы ни был коэффициент усиления интегратора a, получаемое на его основе апериодическое звено всегда имеет единичный коэффициент усиления. Это свойство вообще всех следящих систем, имеющих (до замыкания отрицательной обратной связью) на входе интегратор. Такие системы называют еще астатическими, поскольку теоретически они не имеют статической ошибки. При постоянном воздействии установившаяся на выходе после переходного процесса величина в точности равна величине на входе, K=1.

Причина астатизма прозрачна: выход интегратора меняется до бесконечности, если разница входного и выходного сигналов на его входе не ноль. Теоретически это звено с неограниченным ресурсом подавлять отклонения. Количеством замыкаемых интеграторов можно усиливать степень астатизма, когда безошибочно отрабатываются как скорость, так и ускорение объекта, отслеживаемого следящей системой. Перед нами идеальный регулятор. Однако столь феноменально функционирующие устройства физически нереализуемы, поскольку каждый интегратор усиливает еще и неустойчивость замкнутой системы. Если не демпфировать расходящиеся процессы, степень астатизма нельзя поднять выше единицы.

ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ

Параметрическая идентификация. Посмотрев на процесс, вызванный ступенькой, можно приближенно сказать, чему равны оба параметра апериодического звена. Для моделирования это важное обстоятельство, поскольку позволяет предложить модель неизвестной системы прямо по ее реакции. Нахождение неизвестных параметров передаточной функции называется параметрической идентификацией системы.

На примере апериодического звена мы знакомимся с простейшей и самой распространенной на практике следящей системой.

Зенитка это понятный, но возвышенный экспонат. С водным агрегатом, состоящей из бачка с водой (интегратором), плавающей пробки и заслонки, постепенно перекрывающей подачу воды (отрицательная обратная связь), мы заметно более часто встречаемся в быту. Это механический аналог рассматриваемой электрической схемы. Параметрическая идентификация такой системы не вызывает проблем. За минуту происходит наполнение бачка. Постоянная времени водобачкового инструмента равна, тем самым, T=20 секундам. Это значение характерно, при всей дальности сравнения, для времени пространственных маневров самолетов и автомобилей. Рассматриваемая модель отражает также процесс радиактивного распада, особенности которого широко используются в науке при датировании археологических находок.

Для описания разных сторон одного и того же объекта могут использоваться весьма отличные между собой модели, поскольку вращательные движения управляемых тел нередко происходят на порядок быстрее поступупательных. Двигатель, в этой связи, может быть описан и интегратором и апериодическим звеном. Если выходным сигналом является угол поворота, то как модель превалирует интегратор. Неидеальность такой модели связана у двигателя с постепенным набором скорости вращения в начале стартового процесса. Разгон, длящийся коротко, хорошо описывается, если выходным сигналом брать не угол, а угловую скорость вращения вала. Конечное время набора скорости T, это характерная черта апериодического звена.

ПРОЦЕССЫ ПРИ НУЛЕВОМ ВХОДЕ (РАЗРЯДА)

Исследование процессов разряда или распада. Далее исследуем электрические апериодические звенья, у которых есть начальные условия, но нет сигнала управления на входе. Динамика таких электрических систем обусловлена разрядом конденсаторов. Формула решения упрощается до

y(t)=с1eλ1t,

что и отображено на рисунке

Близкими аналогами служат процессы протекания ванны или радиактивного распада веществ. В решениях остаются затухающие экспоненты, аннулирующие постепенно начальные значения, а вынужденное движение, естественно, нулевое. Такие процессы бывают самыми разными по протяженности, в живой природе все обходится секундами и менее, что же касается радиактивности, то ее хватает на века.



Rambler's Top100