РАБОТА 3. СЛЕДЯЩАЯ СИСТЕМА

Цель лабораторной работы: освоить различные способы описания линейных динамических систем и методы их исследования в пакетах компьютерного моделирования.

1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

В инженерной практике используются различные способы задания динамических систем – с помощью структурных схем, передаточных функций, дифференциальных уравнений, а также с помощью частотных и временных характеристик. Проиллюстрируем их на примере следящей системы, структурная схема которой представлена на рисунке.

В системе пилотирования сервопривод стабилизации самолета по углу тангажа должен работать таким образом, чтобы угол тангажа самолета (выходной сигнал) по возможности точно равнялся значению входного сигнала - задача слежения.

Способ задания моделей объектов с помощью схемы, подобной той, что приведена на рисунке, называется структурным. В ее состав, как видно, входят модель динамики рулевой машинки с передаточной функцией K1/(Tp+1), модель вращательного движения корпуса самолета с передаточной функцией K2/p и устройство сравнения заданного сигнала, обозначаемого далее как u(p), и выходного сигнала следящей системы, обозначаемого далее y(p).

Описание в пространстве состояний. Наряду с заданием объекта структурной схемой используют описание его с помощью системы дифференциальных уравнений первого порядка. Оно известно как матричное описание или описание в пространстве состояний вида

dx/dt=Ax+bu, y=cx+du,

где x - вектор состояния, u=u(t) - входной сигнал, y=y(t) - реакция, A – квадратная матрица коэффициентов, b – вектор-столбец, c - вектор-строка, причем

A =

– 1/T

– K1/T

K2

0

b=

K1/T

0

c=

0

1

Для получения описания следующей системы в пространстве состояний выберем в качестве переменных состояния x1 и x2 выходные сигналы динамических звеньев на структурной схеме. Составим для каждого из них исходные уравнения

x1 = K1(u - x2)/(Tp+1), x2 = K2x1/p,

преобразуем (Tp+1)x1 = K1(x2 – u), px2 = K2x1 и выпишем по ним дифференциальные уравнения первого порядка

x'1 = – x1/T + K1(u - x2)/T, x'2 = K2 x1.

Запишем уравнение для выходного сигнала y = x2. Анализируя это описание, можно оценить устойчивость, управляемость, наблюдаемость и другие характеристики системы.


% STATE SPACE MODEL,
A=[-2 -1; 1 0], b=[1 0], c=[0 1],  
  
t=time(10), u=one(t), 
S=ss(A b c), y=lsim(S u(t)), plot(t [u y])

У следящих систем статический коэффициент усиления равен 1. График стремится к уровню входного воздействия, при единичном входе в качестве реакции имеем

Построение передаточной функции. По передаточным функциям функциям отдельных блоков можно построить общую передаточную функцию следящей системы Q(p). Для этого в соответствии со структурной схемой выписывается система уравнений

y(p) = K1K2e(p)/p(Tp+1),  

где e(p)=u(p)–y(p) - сигнал устройства сравнения. Подставляя и разделяя переменные, выразим выходной сигнал через входной, получаем

y(p) = Q(p)u(p) = K1K2u(p)/(p(Tp+1)+K1K2),

где Q(p) – передаточная функция системы. В нашем случае она имеет вид

Q(p) = K1K2/(Tp2+p+K1K2).

По сравнению со структурным описанием, передаточная функция является более компактной математической моделью. Она позволяет анализировать такие характеристики, как устойчивость, время переходного процесса, коэффициент перерегулирования и пр.

Дифференциальное уравнение системы. От передаточной функции легко осуществить переход к описанию системы с помощью дифференциального уравнения. В рассматриваемом случае для этого достаточно в уравнении

(Tp2+p+K1/K2)y(p) = K1/K2u(p)

раскрыть скобки и заменить оператор p дифференцированием

Ty''+y'+K1K2y = K1K2u,

где u=u(t), y=y(t) - функции времени.

Решение y(t) является суммой решения однородного уравнения (при нулевой правой части, в силу чего эта составляющая называется свободным движением) и некоторого частного решения дифференциального уравнения, описывающего вынужденную реакцию yвын(t) на входное воздействие. Начинаем с первого, составляем характеристическое уравнение

Tp2+p+K1K2 = 0

и находим его корни λ1 и λ2. Если они вещественные и различные, то решение однородного уравнения ищется в виде суммы экспоненциальных составляющих

y(t)=c1eλ1t+c2eλ2t+yвын(t).

Если корни λ1, λ2 – одинаковые (кратные), то свободная составляющая несколько усложняется (c1+c2t)eλ1t. Паре комплексных корней λ1,2 = α ± jω соответствует решение

y(t) = eαt(c1sin ωt + c2cos ωt)+yвын(t).

Вынужденная составляющая решения определяется видом входного сигнала. При u=1, его следует искать в виде константы yвын=с. Подставим частное решение в дифференциальное уравнение. Учитывая, что производные от константы равны нулю, находим с=1.

Остальные постоянные определяются учетом начальных значений y(t) и y'(t). При этом для формулы вида

y(t) = с1eλ1t+c2eλ2t

постоянные c1 и c2 находятся из системы уравнений c1+c2+с = y(0) и λ1c1+ λ2c2 = y'(0). В случае комплексных корней c1=(y'(0)-α(y(0)-с))/ω, c2=y(0)-с.

Семейство решений, отвечающих различным значениям стартовой скорости, можно получить, варьируя связанные с ее значениями постоянные. Для системы с кратными корнями за скорость отвечает второй коэффициент, с учетом аддитивной вынужденной составляющей имеем


%toolbox control,  
y=solve("y''+2y'+y=1"), puts(y), 
t=time(10), c1=-1, 
c2=0, y1=fun(eval(y)), 
c2=1, y2=fun(eval(y)), 
c2=2, y3=fun(eval(y)), plot(t [y1 y2 y3])

Во всех случаях система оказывается устойчивой, если корни лежат в левой полуплоскости (при этом свободная составляющая решения с течением времени стремится к нулю).

Взаимосвязь описаний. Все рассматриваемые виды описаний тесно взаимосвязаны, поэтому зная одно из них, можно получить остальные. Например, связь между матрицами А, b, c описания в пространстве состояний и передаточной функцией системы Q(p) задается уравнением

Q(p) = c(pI – A)-1b,

где I – единичная матрица.

Любое из рассмотренных описаний системы позволяет рассчитывать ее реакцию на типовые входные сигналы. Чаще всего систему характеризуют рекцией на дельта-функцию u = δ(t) и на единичную функцию (функцию единичного скачка) u = 1(t). Эти реакции известны как импульсная весовая характеристика системы q(t) и переходная характеристика p(t). Передаточная функция Q(p) является изображением по Лапласу импульсной весовой функции q(t), а изображение переходной характеристики отличается делителем Q(p)/p, отвечающим операции интегрирования.

Частотная характеристика. Другой подход к описанию системы связан с использованием частотных характеристик, в частности, с рассмотрением диаграммы Боде, отражающей амплитудную (magnitude) составляющую Q(jω)= c(jωI-A)-1b, т.е. коэффициент усиления гармонических сигналов на заданной частоте m=|Q(jω)|.


%toolbox control, 
A=[-1 -2; 1 0], b=[2 0], c=[0 1],  

% ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ,  
Q=ss2tf(A b c), N=Q[0], D=Q[1], N=?, D=?, 

% ПОСТРОЕНИЕ ЧАСТОТНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ,
w=frequence(5), m=bode(N D w), plot(w m)

Частотный анализ имеет преимущества перед построением частных реакций, поскольку на частотной характеристике виден резонансный пик, отвечающий максимально достижимому коэффициенту усиления системы

Эту характеристику нередко логарифмируют по обоим осям, амплитудный коэффициент 20lg(|Q(jω)|) отсчитывается в децибелах. Отрезки частотной оси 0..1, 1..100, 100..1000 и т.п., на логарифмической оси имеют равные протяженности и называются декадами. Логарифмирование имело некогда принципиальное значение, поскольку частотная характеристика упрощенно передавается прямыми линиями с наклонами, пропорциональными 20 децибел на декаду. Изменения наклона происходили в точках ω=1/T, где T - постоянная времени. Это удобно для построений с помощью карандаша и линейки.



Rambler's Top100