РАБОТА 5. ЖОРДАНОВА КАНОНИЧЕСКАЯ ФОРМА

Цель работы: исследовать свойства и методы построения жордановой канонической формы и ознакомиться с ее применением для анализа и моделирования линейных динамических систем (ЛДС).

1. Теоретичесие сведения

1.1. Определение жордановой канонической формы

При моделировании ЛДС широко используются канонические формы (КФ). Одной из наиболее известных канонических форм является параллельная (жорданова) КФ, получившая свое название по виду матрицы, исследованной Жорданом.

Мари Жордан

ЖОРДАН (Jordan) Мари Энмон Камиль (1838-1922), французский математик, иностранный член-корреспондент Петербургской АН (1895). Каноническая форма Жордана играет важную роль в задачах анализа и синтеза ЛДС. В этой канонической форме уравнения системы выглядят особенно простыми. Становится возможным их количественный и качественный анализ, например, выделение в системе модальных составляющих, доминирующих подсистем, простой анализ управляемости и наблюдаемости и т.п. Построение этой формы связано с решением алгебраической проблемы собственных значений, для которой существуют эффективные численные алгоритмы и созданы удобные программные средства.

Перейдем к описанию жордановой КФ. Пусть исходная динамическая система задана описанием в пространстве состояний

X'=AX+Bu;  y=cX,
(1)

где X – n-мерный вектор состояния системы; u, y – скалярные входной и выходной сигналы; А, b, c – матрица системы и векторы входа-выхода соответствующих размерностей. В операторной форме описание системы имеет вид y(p)=Q(p)u(p), где передаточная функция

Q(p) = c(pE - A)- 1b = (βn - 1pn - 1+ ... + β1p+β0) / (pnn - 1pn - 1+ ... +α1p+α0)
(2)

Далее для простоты будем считать, что все собственные числа матрицы А вещественны и различны. Вид матриц А, b, c зависит от выбора базиса в пространстве состояний. У канонической формы координатный базис совпадает с жордановым, в связи с чем матрица (как и фробениусова) имеет n параметров:

A =
λ1
0
...
0
0
λ2
...
0
:
:
...
:
0
0
...
λn

Остальные n инвариантов приписывают вектору входа или выхода, рассмотрим технику, как это делается.

ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

При эквивалентных преобразованиях (не меняющих соотношения вход-выход) переход к новому базису осуществляется заменой переменных X=TX, где Т – невырожденная квадратная матрица. Матрицы А, b, c в новом базисе принимают вид

A = T- 1AT, b = T-1b, c = cT.
(3)

Для построения жордановой канонической формы в качестве Т выбираем матрицу собственных векторов A, тогда матрица системы упростится до диагональной

A = T- 1AT = diag(λ1...λn).
(4)

Описание исходной системы в указанном базисе (называемом жордановым) имеет вид

X' = A X+b u; y = c X.
(5)

Его особенностью является то, что уравнения состояния распадаются на n независимых уравнений состояния: x'i(t) = λ1 xi(t) + bi u(t) и уравнение выхода y(t)=c1x1(t) + ... + cnxn(t). Полученная система называется жордановой канонической формой (ЖКФ). Ей отвечает структурная схема, содержащая n параллельных каналов. По этой причине используют также название параллельная каноническая форма, см. рис.1.

Рис. 1 Параллельные мосты (аналог жордановой формы)

Передаточная функция i-го канала имеет вид Qi(p)=ri/(p+λi), где ri = bici. Коэффициенты усиления в каждом канале можно перераспределять между входом и выходом любым желаемым образом.

В ЖКФ управляемых систем принимают bi=1, ci=ri, i=1..n. В ЖКФ наблюдаемых систем принимают bi=ri, ci=l, i=1..n. Тем самым жорданова каноническая форма характеризуется 2n числовыми параметрами.

В случае комплексных и кратных собственных значений структура ЖКФ усложняется, в ней могут появляться динамические звенья второго и более высоких порядков.

1.2. Описание систем дифференциальными уравнениями

Существуют два основных способа построения ЖКФ – матричный (через описание в пространстве состояний) и операторный (через передаточную функцию).

При первом способе отыскивают матрицу Т замены переменных, обеспечивающую диагональный вид матрицы A. Оказывается, что для этого в качестве новых координатных осей в пространстве состояний надо взять собственные векторы H1,...,Hn матрицы А, а в качестве матрицы Т – матрицу, составленную из этих векторов. Это следует непосредственно из определения жорданового разложения матрицы.

Пример 1. Найдем жорданову каноническую форму системы (1) с матрицей

A =
1
1
0
-1

и векторами входа-выхода b = [2 2]T, c = [3 0].

Характеристическое уравнение матрицы А имеет вид (1-λ)(-1-λ) = 0, собственные значения λ1 = 1, λ2 = - 1. Выписываем уравнения для определения собственных векторов

(A-λiI)Hi=0, i=1..2,
A-λiI =
1 - λi
1
0
-1 - λi

Решая их, находим: H1 = [k1 0]T, H2 = [k2 -2k2]T, где k1, k2 - произвольные постоянные. Отсюда имеем

T =
k1
k2
0
-2k2
T-1 =
1/k1
1/2k1
0
-1/2k2

Выполняя замену переменных с матрицей Т, получаем

A =
1
0
0
-1

b =
3/k1
-1/k2

c =
3k1
3k2

Для того чтобы компоненты вектора b равнялись единице, нужно положить коэффициенты k1 =3, k2 = -1, тогда с =[9 -3]. Компьютерное моделирование возвращает тот же самый результкт с точностью до перестановки жордановых клеток


A=[1 1; 0 -1], b=[2 2], c=[3 0],
S=ss(A b c), t=time(0.2), u=one(t), y=lsim(S u(t)), 

plot(t [u y]),

[T D]=eig(A), A={T\A}, A={A*T}, b={T\b}, c={c*T},
c={b.*c}, b=one(b), A=?, b=?, c=?

РАЗЛОЖЕНИЕ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ НА ДРОБИ

Второй способ построения ЖКФ опирается на преобразование передаточной функции системы. В нем учитывается, что параллельному соединению блоков соответствует разложение передаточной функции на сумму элементарных передаточных функций

Q(p) = r1Q1(p) + ... + rnQn(p).

Следовательно, для получения ЖКФ нужно разложить исходную передаточную функцию на сумму элементарных дробей

n - 1pn - 1+ ... + β1p+β0) / (pnn - 1pn - 1+ ... +α1p+α0) = ri / (p - λ1) + ... + rn / (p - λn)
(6)

где числа ri называются вычетами передаточной функции, а числа λ i - ее полюсами.

В совокупности полюсы и вычеты представляют собой минимальный набор алгебраических инвариантов, полностью характеризующих данную систему. Такие наборы инвариантов называют базисными. С вычетами связан важный арифметический (целочисленный) инвариант - так называемый индекс Коши системы. Он равен разности числа положительных и отрицательных вычетов и для системы n - го порядка может принимать n+1 разных значений от - n до n.

Для определения вычетов ri передаточную функцию записывают в виде (6), потом приводят дроби к общему знаменателю и приравнивают коэффициенты при одинаковых степенях р. Таким образом, операторный алгоритм построения ЖКФ использует технику разложения рациональной дроби (передаточной функции) на простейшие слагаемые.

Пример 2. Найдем жорданову каноническую форму системы, заданной передаточной функцией Q(p)=6p/(p2-1). Выполняя разложение на простейшие, получаем

Q(p) = 3/(p-1) + 3/(p+1).

Матрицы описания в пространстве состояний, соответствующие такому разложению, имеют вид

A =
1
0
0
-1

b =
1
1

c =
3
3

Отметим еще один, третий способ построения ЖКФ, который опирается на отыскание импульсной весовой функции системы. При отсутствии кратных корней характеристического полинома аналитическое выражение для весовой функции линейной динамической системы имеет вид

q(t) = rieλ1t + r2eλ2t + ...+ rneλnt,
(7)

где ri, λi - вычеты и полюсы системы.

Поэтому, найдя каким-либо образом весовую функцию исходной системы (например, путем решения соответствующего дифференциального уравнения), мы сразу получаем параметры жордановой канонической формы.

Так, последнему примеру соответствует дифференциальное уравнение

y''(t) - y(t) = 6u'(t)

Для определения весовой функции нужно решить однородное уравнение

y''(t) - y(t) = 0

с начальными условиями y0=6; y'0=0. Его решение имеет вид

y(t) = q(t) = 3e-t + 3et,

откуда находим параметры жордановой канонической формы r1 = r2 = 3; λ1 = 1; λ2 = -1. Индекс Коши в данном случае равен 2.

При построении ЖКФ в пакете MatLab удобно пользоваться командой eig для нахождения собственных векторов и жордановой формы матрицы А и командой residue для разложения передаточной функции на сумму элементарных дробей.

1.3. Применение жордановой канонической формы

Остановимся на применении ЖКФ для анализа устойчивости, управляемости и наблюдаемости моделей и для выделения модальных составляющих свободного движения при компьютерном моделировании.

1. Анализ устойчивости. Исследование устойчивости - одна из центральных задач в механике, авиации, теории автоматического управления и других приложениях. Существует много алгебраических и частотных методов анализа устойчивости, основанных на критериях Гурвица, Найквиста, Михайлова. Достоинство этих методов в том, что они позволяют выполнить анализ устойчивости, не находя корней характеристического полинома (собственных чисел матрицы А) . Однако в ряде случаев требуется не просто установить факт устойчивости или неустойчивости но и произвести более глубокий анализ, в частности, выделить в исследуемой системе устойчивую и неустойчивую подсистемы.

Жорданова каноническая форма позволяет достаточно просто решить эту задачу. Как уже было отмечено, нахождение жордановой канонической формы скалярной системы эквивалентно разложению передаточной функции на сумму элементарных дробей (см. формулу (6)). Одним из этих дробей (с отрицательными λ1) будут соответствовать устойчивые компоненты решения, другим (с положительными λ1) - неустойчивые. Сгруппировав слагаемые по указанному признаку, получим разбиение исходной системы S на устойчивую и неустойчивую подсистемы S1 и S2.

При компьютерной реализации эти подсистемы целесообразно моделировать раздельно с целью повышения точности и достоверности результата.

2. Анализ управляемости и наблюдаемости. Обычно при анализе управляемости и наблюдаемости выписывают матрицы управляемости и наблюдаемости. В случае жордановой канонической формы они имеют вид

R=[b, Ab,...] =

b1

b1λ1

...

b1λ1n

...

...

...

...

bn

bnλn

...

bnλnn

D=[cT, ATcT,...] =

c1

c1λ1

...

c1λ1n

...

...

...

...

cn

cnλn

...

cnλnn

Обращение в нуль одного из элементов bi, ci приводит к появлению нулевой строки в матрицах R или D и, соответственно, к неуправляемости или ненаблюдаемости системы. Это обстоятельство становится особенно очевидным при рассмотрении рис.1, поскольку при bi,=0 входной сигнал системы не поступает на звено Qi(p) (неуправляемость), а при ci =0 выходной сигнал звена Qi(p) не поступает на выход системы (ненаблюдаемость). Таким образом, получается простое правило для анализа управляемости и наблюдаемости систем, представленных в ЖКФ:

Если среди элементов bi , сi нет нулевых, то система управляема и наблюдаема. Наличие хотя бы одного нулевого элемента среди bi свидетельствует о неуправляемости, наличие хотя бы одного нулевого элемента среди сi – о ненаблюдаемости. В обоих случаях реализация является неминимальной и ее порядок может быть уменьшен.

Для перехода к минимальной реализации достаточно исключить из рассмотрения те переменные состояния канонической формы, которым соответствуют нулевые элементы bi или ci.

Заметим, что в пакете MatLab имеются специальные команды ctrbf и obsvf для выделения неуправляемой и ненаблюдаемой подсистем.

3. Выделение модальных составляющих. Рассмотрим свободное движение ЛДС из произвольных начальных условий Х0. При этом каждая компонента вектора состояния xi(t) будет представлять собой линейную комбинацию экспоненциальных функций вида (7) (комплексным λi будут соответствовать тригонометрические слагаемые типа eatsin Bt и eatcos Bt).

Указанные функции называют модальными компонентами свободного движения или просто модами. Таким образом, в общем случае свободное движение ЛДС представляет собой суперпозицию n модальных компонент.

Поставим вопрос о выборе такого вектора начальных условий, при котором в свободном движении участвует только одна модальная компонента, т.е. все переменные состояния и выходной сигнал имеют вид xi(t) = cieλit Это означает, что система n-го порядка будет вести себя как простейшее звено первого порядка.

Для системы, представленной в ЖКФ, такой унимодальный режим организуется особенно просто – достаточно на всех звеньях рис.1, кроме одного, установить нулевые начальные условия. Например, при установке начальных условий X0 = [1,0,...,0]T получаем x1 = eλ1t, x2 = 0,...,xn = 0, y = c1eλ1t. Учитывая формулу X=TX, получаем, что соответствующий вектор начальных условий исходной системы имеет вид X0=H1. Таким образом, для выделения модальной составляющей ЛДС надо в качестве вектора начальных условий взять собственный вектор матрицы А этой системы.

Отметим, что унимодальный режим удобно использовать для контроля при компьютерном моделировании ЛДС, сравнивая выход системы с теоретической экспонентой, либо наблюдая график ее движения в любой из плоскостей (xi, xj) – все фазовые траектории должны быть прямыми линиями. На рис. 2 приведен пример фазовых траекторий.

Рис.2

2. Указания по выполнению лабораторной работы

2.1. Задание по работе и содержание отчета

В лабораторной работе рассматривается модель следящей системы (рис. 3). Следящая система состоит из двух звеньев, замкнутых обратной связью по выходу. Модель соответствует динамике процессов в канале управления тангажом летательного аппарата (см. варианты задания).

При исследовании может добавляться корректирующая цепь (показана пунктиром), в которой стоит усилитель с коэффициентом усиления К.

рис.3 Корректирующая цепь

Требуется составить описание динамической системы в пространстве состояний, выполнить переход к жордановой канонической форме, привести ее структуру, рассчитать начальные условия для выделения модальных составляющих, провести анализ управляемости и наблюдаемости. При написании отчета следует выполнить следующие пункты.

1. Найти передаточную функцию следящей системы и построить график ее импульсной весовой функции при К=0.

2. Составить описание системы в пространстве состояний вида (1), выбрав в качестве переменных состояния x1 и x2 выходные сигналы звеньев. Рассчитать передаточную функцию по формуле Q(p)=c(pE - A)-1b и сравнить ее с найденной ранее.

3. Выполнить двумя способами (матричным и операторным) переход к жордановой канонической форме. Привести структурную схему ЖКФ с найденными значениями параметров.

4. Рассчитать начальные условия следящей системы для выделения первой и второй модальных составляющих. Построить фазовые портреты (рис. 2) для свободного движения системы при различных начальных условиях.

5. Провести анализ управляемости и наблюдаемости исходной системы и ЖКФ при наличии корректирующей цепи. Определить критические значения параметра К, при которых следящая система становится неуправляемой или ненаблюдаемой, и найти передаточную функцию системы для этих случаев.

2.2. Порядок выполнения работы.

1. Ввести в пакет MatLab исходные данные в виде матриц объекта при К=0 (см. варианты заданий).
2. Найти матрицы собственных векторов и собственных чисел.
3. Установить начальные условия для выделения первой и второй модальных составляющих, получить графики фазовых траекторий и сравнить результаты моделирования с теоретическими.
4. Построить двумя способами жорданову каноническую форму системы. Сравнить импульсную весовую функцию исходной системы и ЖКФ. Построить фазовые траектории для свободного движения системы при различных начальных условиях.
5. Исследовать управляемость и наблюдаемость исходной системы и ЖКФ при наличии корректирующей цепи. Наблюдать фазовые траектории системы для критических значений К при ступенчатых и синусоидальных входных воздействиях.

2.3. Контрольные вопросы.

1. Построить жорданову каноническую форму для динамических систем с матрицей А вида

A =
0
1
-25
1

a)
A =
0
1
25
1

б)

A =
0
1
0
25

с)
A =
-1
1
0
1

д)

A =
1
2
0
1

е)
A =
1
1
1
1

з)

Принять матрицы c = bT = [1 1].

2. Найти начальные условия для выделения первой модальной составляющей динамических систем с матрицами из предыдущего вопроса.

3. Как связаны коэффициенты жордановой канонической формы с полюсами и вычетами передаточной функции? Как будет выглядеть структура канонической формы, у которой нормируются коэффициенты не входа, а выхода?

4. Найти жорданову каноническую форму для систем с передаточной функцией

a) 1 / (p2 + 3p + 2); b) p / (p2 + 3p + 2); c) (p + 1) / (p2 + 3p + 2); d) (p − 1) / (p2 + 3p + 2).

5. Отличаются ли модальные компоненты и импульсные весовые функции моделей (1) и (5). Если да, то чем именно? Найти модальные компоненты и импульсные весовые функции для систем из предыдущего вопроса.

6. Описать и проиллюстрировать на примере три аналитических способа построения жордановой канонической формы.

7. Описать процедуры выделения устойчивой и неустойчивой, управляемой и неуправляемой, наблюдаемой и ненаблюдаемой подсистем.

2.4. Варианты заданий

1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112
K1 0.01 0.020.01 0.02 0.01 0.02 0.01 0.02 0.01 0.02 0.01 0.01
T 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
K2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 10.50.3

13 14 15 16 17 18 19 10 21 222324
K1 0.02 0.010.02 0.01 0.02 0.01 0.02 0.01 0.02 0.01 0.01 0.01
T 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
K2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 0.50.30.4



Rambler's Top100