РАБОТА 6. ФРОБЕНИУСОВА КАНОНИЧЕСКАЯ ФОРМА

Цель работы: исследовать свойства и методы построения фробениусовых канонических форм и ознакомиться с их применением для анализа и моделирования линейных динамических систем.

1. Теоретические сведения

Фробениусовы канонические формы (ФКФ), наряду с параллельными, последовательными и цепными каноническими формами, широко используются в технических приложениях. Наибольшую известность получили строчная управляемая и столбцовая наблюдаемая формы Фробениуса.

Фердинанд Фробениус

Название канонические формы получили от вида матриц, введенных в научный обиход берлинским математиком Фердинандом Фробениусом. Коэффициенты этих форм совпадают, с точностью до знака, с коэффициентами числителя и знаменателя передаточной функции и являются инвариантами динамической системы. Это обстоятельство значительно облегчает переход от описания системы с помощью дифференциальных уравлений или передаточных функций к уравнениям в пространстве состояний и обратно. Таким образом, ФКФ играют особую роль в установлении взаимосвязи наиболее распространенных типов описания динамических моделей, что нашло, в частности, отражение в пакете математического моделирования MatLab и других математических пакетах.

В лабораторной работе требуется получить строчную и столбцовую формы Фробениуса для заданного варианта RCL-схемы, описываемой в пространстве состояний моделью

X'=AX+bu, y=cX,
(1)

где X - n-мерный вектор состояния системы; u, y - скалярные входной и выходной сигналы. Кратко охарактеризуем вид строчной и столбцовой канонических форм, ориентируясь на случай системы третьего порядка.

СТРОЧНАЯ КАНОНИЧЕСКАЯ ФОРМА

A =
0
1
0
0
0
1
-a0
-a1
-a2

b =
0
0
1

c =
b0
b1
b2

(2)

Другое название этой формы - каноническая форма фазовых переменных. Такое название связано с тем, что переменными состояния данной формы являются выходной сигнал и его производные. Эта форма удобна для синтеза модальных регуляторов.


% STATE SPACE MODEL,
A=[0 1 0; 0 0 1; -1 -1.5 -2], b=[0 0 1], 
c=[1 0 0], S=ss(A b c), 

t=time(20), u=one(t), y=lsim(S u(t)), 
plot(t [u y]),

Пример построения программы моделирования динамической системы, заданной матрицами уравнений пространства состояний, приведен выше. Система порождает колебательный переходный процесс

СТОЛБЦОВАЯ КАНОНИЧЕСКАЯ ФОРМА

Выполняя переход к дуальной системе, получаем столбцовую наблюдаемую каноническую форму Фробениуса. Она характеризуется матрицами

A =
0
0
-a0
1
0
-a1
0
1
-a2

b =
b0
b1
b2

c =
0
0
1

(3)

Другое название этой формы - идентификационная каноническая форма. Эта форма удобна для синтеза наблюдающих устройств и решения задач идентификации. Чтобы убедиться, что построенные канонические формы (2), (3) действительно отвечают исходной системе, для каждой из них следует найти передаточную функцию и сравнить ее с передаточной функцией схемы.


% STATE SPACE MODEL,
A=[0 0 -1; 1 0 -1.5; 0 1 -2], b=[1 0 0], 
c=[0 0 1], S=ss(A b c), 

t=time(20), u=one(t), y=lsim(S u(t)), 
plot(t [u y]),

Пример программы построения динамического процесса в системе приведен выше, по графику видно, что две рассматриваемые системы эквивалентны

ПОСТРОЕНИЕ КАНОНИЧЕСКИХ ФОРМ

Алгоритм построения этих форм для заданной схемы (элекрической или блочной, с передаточными функциями) содержит 4 этапа:

1. Получение описания исходной схемы в пространстве состояний.
2. Анализ минимальности и устойчивости полученной модели.
3. Вычисление передаточной функции объекта.
4. Нахождение матриц строчной и столбцовой канонических форм.

Этап 1. Переменными состояния х1, х2, х3 электрической схемы рекомендуется брать напряжения на конденсаторах и токи в индуктивностях. Выписать уравнения Кирхгофа для токов и напряжений и привести их к форме (1). Выписать матрицы A, b, c.

Этап 2. Для анализа минимальности полученной модели нужно найти ранги матриц управляемости и наблюдаемости системы (1). При n=3 эти матрицы имеют следующий столбцовый вид

R=[b Ab A2b], D=[cT (cA)T (cA2)T].


%toolbox control,
A=[0 1 0; 0 0 1; -1 -1.5 -2], b=[0 0 1], 
c=[1 0 0],

R=ctrb(A b), r=rank(R), r=?, mesh(R), 
D=obsv(A c), d=rank(D), d=?,

Вид элементов матрицы управляемости R системы приведен на рисунке, видно, что столбцы этой матрицы линейно-независимы между собой

Для анализа устойчивости следует найти характеристический полином матрицы системы |pE-A| = p3 + a2p2 + a1p + a0 и проверить для него выполнение неравенств вида a0, a1, a2>0; a1a2>a0.

Этап 3. Для вычисления передаточной функции можно воспользоваться формулой

Q(p) = c(pI-A)-1b = (b 2 p 2 + b1 p + b0) / ( p3 + a2 p2 + a1 p + a0)
(4)

При этом придется обращать матрицу pI-A третьего порядка. Другой путь - записать уравнения (1) в операторной форме (заменить X' на pX) и, исключив из них переменные состояния, выразить y(p) через u(p) в виде

y(p)=Q(p)u(p).

Этап 4. Знание передаточной функции Q(p) позволяет сразу выписать матрицы канонических форм (через ее коэффициенты). Для контроля следует сравнить 2n=6 инвариантов исходной системы и полученных ФКФ (полюсов, моментов, марковских параметров).

2. Указания по выполнению лабораторной работы

2.1. Задание по работе и содержание отчета

В лабораторной работе исследуется пассивная электрическая RCL-схема (см. варианты заданий). Отчет должен содержать:

1. Исходную электрическую схему, уравнения Кирхгофа, описание схемы в пространстве состояний, матрицы A, b, c.
2. Матрицы управляемости, наблюдаемости, характеристический полином, анализ минимальности и устойчивости.
3. Вывод передаточной функции системы и его проверку. Для проверки следует заменить в системе (1) вектор производной на X и выразить y через u: y=Ku. Найденное значение K должно совпадать с величиной Q(1)=(b2 + b1 + b0) / (1 + a2 + a1 + a0).
4. Матрицы строчной и столбцовой канонических форм Фробениуса.

Следует также нарисовать и рассчитать схему в статическом режиме (по постоянному току) и в режиме переключений. В статическом режиме она будет чисто резистивной, емкости эквивалентны разрывам, индуктивности - коротким замыканиям. Коэффициент передачи такой схемы должен быть равен Q(0)=bo/ao. В режиме переключений индуктивности эквивалентны разрывам, емкости - коротким замыканиям. Коэффициент передачи должен быть равен Q(∞)=b3.

2.2. Порядок выполнения работы

При выполнении работы к предыдущим добавляются еще два этапа.

Этап 5. Переход от системы (1) к каноническим формам (2), (3) путем замены переменных X=TX. При такой замене матрицы системы (1) преобразуются по формулам

A=T-1AT, b=T-1b, c=cT, R=T-1R, D=DT.
(5)

Отсюда для отыскания матрицы преобразования имеем

T=D-1D=RR-1,
(6)

где R и D - матрицы управляемости и наблюдаемости канонической формы. Следует найти матрицы T1 и T2 преобразования к каноническим формам (2), (3) на основе формул (5), (6).

Этап 6. Моделирование. Для сравнения полученных моделей (1)-(4) требуется построить графики реакций на входные сигналы σ(t), 1(t), eat. В качестве а рекомендуется брать нули и полюсы передаточной функции системы.

Для проверки используйте функцию S=ctrbf(A b c) тулбокса control, искомые матрицы канонической формы управляемости (столбцовая форма) выводятся на экран и построчно


%toolbox control,
A=[-1 0; 0 -2], b=[1 1], c=[1 1], 
S=ctrbf(A b c), A=S[0], b=S[1], c=S[2], mesh(A), A=?, b=?, c=?

При выполнении работы в базовом пакете MatLab в машину вводят коэффициенты исходных уравнений Кирхгофа, формируют матрицы A, b, c и выполняют те же этапы. При этом используются команды poly, ctrb, obsv, rank (этап 2), ss2tf (этап 3), tf2ss, compan (этап 4). Отметим, что в MatLab канонические матрицы формы Фробениуса хранятся в "перевернутом" виде.

2.3. Контрольные вопросы

1. Найти статический коэффициент усиления системы по уравнениям (1)-(4) и непосредственно по схеме.
2. Найти преобразование Т для получения канонической формы с единичной матрицей управляемости. К какому виду при этом преобразуются А,b?
3. Найти преобразование Т для получения канонической формы с единичной матрицей наблюдаемости. К какому виду при этом преобразуются А, с?
4. Получить строчные и столбцовые канонические формы Фробениуса для систем с матрицами А вида:

A =
-1
0
0
-2

b =
1
1

c =
1
1

а)

A =
1
2
3
4

b =
1
0

c =
0
1

б)

A =
1
2
0
4

b =
1
0

c =
0
1

б)

Найти соответствующие матрицы перехода.

5. Доказать, что система (2) всегда управляема, а система (3) всегда наблюдаема, независимо от значений параметров.
6. Получить строчные и столбцовые канонические формы Фробениуса для приведенных схем и найти соответствующие матрицы перехода.

7. Предложить три способа построения фробениусовой канонической формы с помощью пакета MatLab. Описать назначение и синтаксис команд compan, poly, rank, ctrb, obsv, ss2tf, tf2ss.

2.4. Варианты заданий

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

A1

B1

C1

A2

B2

C2

A3

B3

C3

A4

B4

C4

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

D1

E1

F1

D2

E2

F2

D3

E3

F3

D4

E4

F4

Например, А1 означает, что следует взять электрическую схему А и 1-й набор параметров.

Электрические схемы A и B

A

R1

R2

R3

C1

C2

C3

1
2
3
4

2
1
2
1

0.5
1
2
1

3
1
2
1

1
1
1
2

0.1
1
1
2

0.5
1
1
2

B

R1

R2

R3

R4

C1

C2

C3

1
2
3
4

1
0.5
2
1

2
1
2
1

2
1
2
1

1
1
2
1

1
0.5
1
2

0.1
1
1
2

0.5
0.4
1
2

Электрические схемы C и D

C

R1

R2

R3

C1

C2

C3

C4

1
2
3
4

2
1
2
1

0.5
1
2
1

3
1
2
1

1
1
1
2

0.1
1
1
2

0.5
1
1
2

1
1
1
2

D

R1

R2

R3

C1

C2

C3

1
2
3
4

2
1
2
1

0.5
1
2
1

3
1
2
1

1
1
1
2

0.1
1
1
2

0.5
1
1
2

Электрические схемы E и F


E

R1

C1

L1

L2

1
2
3
4

2
1
2
1

2
1
2
1

1
1
1
2

1.5
1
1
2

F

R1

R2

R3

C1

L1

L2

1
2
3
4

2
1
2
1

0.5
1
2
1

3
1
2
1

1
1
1
2

1
1
1
2

1
1
1
2


Rambler's Top100