МАТРИЦЫ

Матрицы - это прямоугольные таблицы чисел с элементами, пронумерованными по строкам и столбцам:

A =
a11
a12
...
a1m
a21
a22
...
a2m
:
:
...
:
an1
an2
...
anm

В компьютерной алгебре матрицы записывают построчно: A = [ 1 2 ; 3 4 ]. Матрицы, у которых число строк совпадает с числом столбцов, называются квадратными.

Матрица, у которой столбцы заменены строками, называется транспонированной по отношению к исходной и обозначается AT или A', т. е.

A' =
a11 a21 ... an1
a12 a22 ... an2
... ... ... ...
a1m a2m ... anm

Для компьютерной нотации проще использовать штрих A'.

Примечание. В данной книге для транспонирования матрицы A введена унарная операция tr(A), результат замещает содержимое прежней матрицы. Для вывода элементов матрицы построчно используется знак вопроса A=?. Функция mesh(A) предназначена для отображения матрицы на экране.


A=[1 2 3; 4 5 6], tr(A), mesh(A)

Складывать и вычитать матрицы между собой нужно поэлементно.

При умножении матриц C=AB каждая строка A умножается скалярно на каждый столбец B, результаты сводятся в итоговую таблицу C, например:

С =

a11

a12

a21

a22

b11

b12

b21

b22

=

a11b11 + a12b21

a11b12 + a12b22

a21b11 + a22b21

a21b12 + a22b22

Произведение матриц некоммутативно, т.е. AB не равно, в общем, BA. Правило раскрытия скобок едино для операций обращения и транспонирования (AB)-1=B-1A-1, (AB)'=B'A'.

Векторное произведение векторов. Есть нечто общее между вычислительными сторонами произведения полиномов и векторным произведением. В обоих случаях компоненты одного вектора заполняют собой матрицу. В данном случае - матрицу третьего порядка. В векторной алгебре векторное произведение двух векторов коммутативно с точностью до знака (при перестановке сомножителей знак произведения меняется на противоположный).


w=[1 2 3], v=[5 2 3], 

wv=vecmul(w v), wv=?, vw=vecmul(v w), vw=?,

function: vecmul(w v),
var w0 w1 w2, w0=w[0],w1=w[1], w2=w[2], 
W=[0 -w2 w1; w2 0 -w0; -w1 w0 0], p={W*v},
return p, 
end,

Ранг rank(A) матрицы - количество ее линейно независимых строк или столбцов. У прямоугольных матриц полного ранга обязательно должны быть линейно независимы либо все ее вектор-строки, либо все ее вектор столбцы.

Напомним, что векторы (строки или столбцы A) называются линейно независимыми, если каждый из них не может быть вычислен как сумма всех остальных с некоторыми весовыми коэффициентами (множителями).

Квадратная матрица инвертируема тогда и только тогда, когда ее ранг полон: rank(A) = n (равен размерности).

Ортогональные матрицы. Квадратные матрицы, столбцы и строки которых ортонормированы так, что A'A=I, т.е. A-1=A'.



Rambler's Top100