Резольвента. Следующее неоднородное уравнение обобщает спектральные задачи, связанные с матрицами.

(A - λ I) x = b,

вектор b определен в пределах некоторого линейного подпространства, b=Bm. Решением неоднородного уравнения является векторная резольвента

x = (A - λ I)-1b.

Точки разрыва ее отвечают, в том числе, собственным векторам матрицы A. Если b равно собственному или корневому жорданову вектору A для кратного собственного значения λ, уравнение определяет корневые жордановы векторы.

В общем же случае резольвента - это годограф собственных векторов матрицы, отличающейся от A аддитивной составляющей Q=A-BK.

В теории автоматического управления K интерпретируются как матрица обратных связей модального регулятора (или наблюдающего устройства, эти задачи двойственны), назначением которой регулируется спектр матрицы замкнутой системы. Однако нас более занимает неоднородное уравнение само по себе.

Частный случай его связан с проблемой собственных значений, для которой написано много отвлеченных от конкретных приложений алгоритмов и программ.

Вычислительные аспекты задачи. В отличие от задачи анализа, к которой отнесем вычисление спектра и собственных векторов А, общая проблема - назовем ее задачей синтеза - в вычислительном отношении развита недостаточно полно.

Выбор одного решения на множестве возможных нередко, как это бывает, изобилует рецептами, упрощающими технологию вычислений в ущерб содержательной стороне этой непростой, в общем, задачи.

В качестве примера можно сослаться на теорему Калмана, о возможности произвольного назначения спектра при нежестких ограничениях на исходные данные (управляемость). Эта теорема породила много неоправданных совершенно спекуляций. Формулы, использованные для чисто теоретического доказательства существовании решения, никакого отношения к действительной практике вычислительной математики не имеют.

В угоду простоте организации расчетов выписываются фробениусовы блоки, сам путь вычислений которых связан с плохообусловленными преобразованиями, аннулируются связи только лишь потому, что так проще алгоритмизировать проблему.

Насколько хорошо решена проблема анализа, настолько же плохо и безынтересно решена проблема синтеза.

Значение левых собственных векторов Q. Несложно показать, что при неизменном b матрица K равна сумме левых собственных векторов Q, отвечающих ее отличным от спектра матрицы A собственным значениям.

Напомним, что левыми собственными векторами называют вектор-строки матрицы X-1, обратной по отношению к матрице собственных векторов Q.

В самом деле, полная система неоднородных уравнений имеет вид

AX-XD=[b b ... b], или A-Q=[b b ... b]X-1.

Так как Q=A-bK, имеем bK=[b b ... b]X-1, вынося b за скобки и избавляясь от него, получаем

K=[1 1 ... 1]X-1,

т.е. вектор-строка K равна сумме левых векторов Q.

В вырожденных случаях, при совпадении части собственных значений матриц A и Q, единицы заменяются нулями, что гарантирует разрешимость задачи. Как видно, в сумму входят только левые собственные векторы, отвечающие отличным от спектра матрицы A собственным значениям. При изменении только одного собственного значения, матрица K равна соответствуюшему левому собственному вектору Q.

Вообще говоря, существует и такой вполне осмысленный аспект задачи, как управление собственными векторами Q при неизменном ее спектре, совпадающем с A. Этот случай должен разбираться отдельно.

Если первую задачу (анализ спектра A) называть задачей анализа, то вторая задача (расчет Q при заданном спекте) уместно называть задачей синтеза. Как правило, анализ предваряет синтез и дает необходимые для выбора d опорные точки.

Задача об изменении одного собственного значения. В общем случае x=(A-λI)-1Bm, где неопределенный пока множитель m - нормированный вектор варьируемых коэффициентов. Вектор b=Bm можно изменять, оптимизируя тем самым норму K.

Рассмотрим, как и ранее, BK=[Bm 0... 0]X-1, избавляясь от B, приходим к выводу, что матрица K равна произведению множителя m на левый собственный вектор матрицы Q (первую строку X-1).

Учтем, что часть X, отвечающая неизменяемым по отношению к спектру A собственным значениям Q, составляют собственные векторы матрицы A. Помимо того X-1X=I. Следовательно левые собственные векторы матриц A и Q, отвечающие варьируемому собственному значению, ортогональны прочим собственным векторам A, т.е. они коллинеарны между собой. Если известен левый нормированный собственный вектор A, т.е. вектор-строка T-11, то X-11=kT-11.

Заметим, что X-11X1=1, причем X1=(A-λI)-1b, имеем X-11(A-λI)-1b=1. Учитывая ортогональность X-11 собственным векторам A, последнее выражение упрощается до X-11b/(a-λ)=1, a - собственное значение A. Заменим X-11 на kT-11, тогда

k=(a-λ)/T-11b.

Матрица K равна левому собственному вектору Q, т.е. K=kT-11, k - это норма корректирующих матрицу A коэффициентов. Минимальное по норме решение соответствует случаю максимальному значению делителя T-11b, т.е. максимуму скалярного произведения T-11Bm, где m - вектор-строка произвольно назначаемых коэффициентов. Оптимум достигается на значении m=(T-11B)'.

Меры модального доминирования. Системные критерии управляемости и наблюдаемости Калмана гарантируют теоретическую разрешимость задач синтеза модальных регуляторов или наблюдающих устройств. Если дополнить системные критерии близкими к ним по смыслу мерами управляемости и наблюдаемости (нулевая мера означает невыполнение критерия Калмана), то картина получается значительно более полной.

Полученное выше решение имеет тот смысл, что норма k матрицы 'обратных связей' K, прямо пропорциональна изменению спектра и обратно пропорциональна множителю T-11b. Чем больше последний, тем меньшими усилиями изменяется спектр.

Этот коэффициент постулируется (здесь) как мера доминирования собственного значения.

Иными словами, мера модального доминирования - это величина, обратную минимальной норме матрице K, которой достигается единичное смещение спектра. Эта величина не зависит от направления изменения собственного значения на комплексной плоскости. В том случае, мера модального доминирования стремится к нулю, изменить спектр - матрицы A системы с обратной связью K или адекватного наблюдающего устройства, в терминах соответствующих прикладных задач, - становится невозможно.

Принцип дуальности Калмана позволяет рассчитывать как меры управляемости (пары A,B), так и меры наблюдаемости (пары A',C'). Обе эти пары в задачах нередко используются вместе.

Примеры алгоритмов с использованием мер при назначении спектра будут приведены несколько позднее. Отметим, что оптимизировать норму матрицы обратной связи можно в различных метриках, и получать весьма различные между собой решения.



Rambler's Top100