ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

Линейные операторы. Преобразования изображений также, как и преобразования сигналов, которыми они являются, можно описать интегральными операторами, которые, в свою очередь, можно аппроксимировать меделями с умножением на матрицу, в своей основе. Эта матрица является итогом дискретизации ядра интегрального оператора, а говоря проще, итогом сведения интеграла к сумме, которая характерна для матричной алгебры при описании операции умножения.

Оператор дифференцирования. Представляет интерес рассмотрение нескольких операторов. Первый из них тот, который описывает операцию дифференцирования. В самом деле, поскольку это линейная операция, должна быть матрица, соответствующая этой операции.

Строится такая матрица на основе единичной матрицы смещением диагонали по обе стороны, с инверсией знака одной из них. Дифференциальный оператор преобразует синусоидальный сигнал в косинусоидальный.


n=20, D=Diff(n), mesh(D), % 'D'=send(D),

% LINEAR OPERATOR ACTION,
t=time(10 n-1), D={D/t[1]}, u=fun(sin(t)),  y={D*u},  ball(y),

function: Diff(n),
var a A, A=eye(n-1), 
a=zero(n-1), A={[A a]}, tr(A), 
a=zero(n),   A={[a A]}, a={-1*A}, tr(a), 
A={a+A}, A={A/2}, 
return A,
end,

Оператор преобразования Гильберта. Можно рассматривать как усеченный вариант оператора дифференцирования для гармонических сигналов, матрица вычисляется в функции инверсной разности аргументов.


n=20, H=Hilbert(n), mesh(H), % 'H'=send(H),

% LINEAR OPERATOR ACTION,
t=time(10 n-1), u=fun(sin(t)), y={H*u}, ball(y),

function: Hilbert(n),
var p A, A=eye(n), p=1/PI,
for var i=0:size(A), 
for var j=0:size(A), if i<>j, A[i][j]=p/(i-j), end, end, end,
return A,
end,

Преобразование Гильберта представляет собой идеальный широкополосный фазовращатель, который осуществляет поворот начальных фаз всех частотных составляющих сигнала на угол, равный 90 градусам. Преобразование Гильберта используют для квадратурной модуляции сигналов, для определения частоты, огибающей и мгновенной фазы сигналов.

Преобразование константы этим оператором дает ноль, а двойное преобразование функции с исключенным средним инвертирует ее знак на противоположный, что доказывается разложением функции на гармонические составляющие. Преобразование сохраняет квадратичную норму и ортогональность сигналов.



Rambler's Top100