МОДЕЛИ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

АНАЛИТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

Задача решения дифференциального уравнения с учетом начальных условий называется задачей Коши. В ряде случаев, в частности, если уравнение линейное (функция и ее производные входят в него без степени и взаимных произведений) задача допускает аналитическое решение - выражается через табличные функции (экспоненту, синус, косинус).

Линейное дифференциальное уравнение. Наиболее распространенным описанием динамических систем является обыкновенное линейное дифференциальное уравнение вида

y''(t)+3y'(t)+y(t) = u(t),

где u=u(t) - входной сигнал, y=y(t) - реакция на него. В качестве начального состояния рассматриваются значение сигнала y0=y(0) и его производных y'0=y'(0) и т.д. для более высоких порядков.

Характеристическое уравнение. Следующий математический формализм предложил Лейбниц. Вводится оператор дифференцирования p=d/dt, позволяющий выписать характеристическое уравнение

p2+3p+1=0

Корни полинома λ1, λ2 определяют собственные движения объекта и от вида правой части u(t) никак не зависят. Их можно искать при помощи виджета.

Решение уравнения. За исключением особых случаев, связанных с кратными корнями (резонансами), решение складывается из элементарных составляющих (собственных движений), описываемых экспонентами, и некоторой вынужденной составляющей

y(t)=с1eλ1t2eλ2t+y(t)вын.

Для комплексных показателей λ1=α+jω, λ2=α-jω еще Эйлер показал переход экспонент с комплексными показателями к гармоникам:

y(t)=eαt1sin(ωt)+с2cos(ωt))+y(t)вын.

Этот случай отвечает у маятников их нижнему положению, тогда как экспонентами описывают глубоко демпфированные движения (показатели отрицательны) или движения перевернутого маятника (один из показателей - положительный).

Вынужденная составляющая. Совпадает по форме с входной функцией, ее задают по ней с точностью до неопределенных коэффициентов. Например, при u(t)=1 - это константа y(t)вын=A, при u(t)=e2t - это y(t)=Ae2t, для гармонического входного сигнала (синусоиды) неизвестными в реакции считаются и амплитуда и фаза, но вместо фазы берут обычно косинус с неизвестным коэффициентом Asin(ωt)+Bcos(ωt). Для полиномиального входного сигнала в реакции берется полином той же степени с неизвестными коэффициентами, для линейной функции At+B.

Так как свободные движения, как правило, затухают, вынужденная составляющая удовлетворяет дифференциальному уравнению, поэтому ее еще называют частным решением. Подставляя эту функцию в дифференциальное уравнение, получаем из него уравнения для неизвестных коэффициентов.

Резонанс. Если входной сигнал совпадает со свободным движением, то говорят о резонансе. В таком случае вынужденное движение описывается той же самой зависимостью, что и выше, но домноженной на t.

Самовозбуждение. Если система имеет кратные корни, то в ней возникает внутренний резонанс, одна из компонент свободного движения домножается на t.

Начальные условия. Показатели при экспонентах позволяют описывать движения из различных начальных условий. Если они не заданы, коэффициенты можно произвольно назначать. Иначе, коэффициенты при экспонентах ищутся в начальный момент времени из начальных условий.

Логика развития математических пакетов состоит в том, что программирование уходит на второй план, задача должна формулироваться с использованием нотации, принятой в учебниках для записи уравнений


%toolbox control, 
U="y''+2y'+y=1", S=solve(U), puts(S), 
t=time(10), c1=1, c2=1, y=fun(eval(S)), 
plot(t y),

Оператор solve() находит решение в символьном виде, puts() выводит его, функция fun() вычисляет зависимость y=y(t) от времени t, которое задается предварительно вместе с постоянными c1, c2.

ВИДЖЕТЫ

Наиболее лаконично запись выглядит на панели адаптированного к решения уравнения виджета

Заметим, что виджет генерирует тот же самый сценарий анализа примера, что и выше. В него можно вносить изменения, корректируя время и константы. При более сложном, чем константа, управлении следует использовать виджет сайта wolframalpha.com.

Преимущество рассматриваемых далее численных методов перед аналитическими состоит в том, что численным методом можно найти решение и тогда, когда формула решения находится сложно или неизвестна.

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ

Численное решение в iMatLab линейного дифференциального уравнения, заданного параметрами левой D и правой N его частей

y(t)''+0.5y(t)'+y(t) = u(t),

или (что то же самое) параметрами числителя N и знаменателя D передаточной функции (см. далее), опирается на стандартную подпрограмму lsim().


N=1, D=[1 0.5 1], t=time(10), 
u=one(t), y=lsim(N D u(t)), plot(t [u y])

Здесь u - входной сигнал (часто единичный: u=one(t)), y - реакция на него, начальные условия y(0), y'(0) считаются нулевыми.

Время t задается функцией time(интервал) или time(интервал 100), где 100 – число расчетных точек, которое можно изменять при тож же самом интервале времени. Повышение объема вычислений ведет к уменьшению шага во времени и к повышению точности расчетов.

ТУЛБОКС CONTROL и НАЧАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ

Популярная библиотека (toolbox) сontrol матлаба подключается соответствующим комментарием, она расширяет перечень решаемых задач.


%toolbox control, 
% учет начальных условий,
N=[1], D=[1 0.5 1], t=time(10), u=one(t),  
x=[0.5 0], y1=lsims(N D x u t), 
x=[0.5 1], y2=lsims(N D x u t), plot(t [u y1 y2])

Подпрограмма lsims() учитывает в форме вектора состояния x начальные условия: стартовые положение, скорость, ускорение и т.п. в соответствии с размерностью задачи. Обозначение u(t) в библиотеке не используется, его заменяет перечень аргументов.

ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ

Передаточные функции. Уравнение вида

y''(t)+2y'(t)+y(t) = u(t),

переписывается в форме p2y+2py+y=u, где p – оператор дифференцирования. Это позволяет вынести искомый сигнал y за скобки (p2+2p+1)y=u и выразить его формально как y=Q(p)u, где Q(p)=1/(p2+2p+1).

Получаемая отсюда дробно-рациональная функция Q(p) называется передаточной функцией. Ее коэффициенты совпадают с коэффициентами дифференциального уравнения: N=1, D=[1 2 1].

Пусть Q(p)=2/(3p+5). Пишем y(p)=Q(p)u(p)=2u(p)/(3p+5). Для записи дифференциального уравнения переносим знаменатель (3p+5)y(p)=2u(p) и заменяем умножение на p взятием d/dt

3y'(t)+5y(t)=2u(t).

Преобразование Лапласа. Операторная форма записи (с использованием p) заменяет "оригиналы" u(t), y(t) "изображениями" u(p), y(p), связанными преобразованием Лапласа

u(p)=0e-ptu(t)dt, y(p)=0e-pty(t)dt,

для элементарных функций указанные интегралы сведены в таблицу оригиналов и их изображений.

Разложение на элементарные дроби. Выходной сигнал, вычисленный в операторной форме через передаточную функцию y(p)=Q(p)u(p), может быть разложен на элементарные составляющие

y(p)=Q(p)u(p)=c1/(p-λ1) + c2/(p-λ2) + ... + cn/(p-λn),

коэффициенты числителей звеньев находят из равенства левой и правой частей полученного уравнения с учетом того, что коэффициенты частных знаменателей равны корням знаменателя передаточной функции.

Заметим, что элементарные дроби отвечают изображениям по Лапласу тех самых экспонент, которые описывают собственное движение объекта. Поэтому и коэффициенты при соответствующих составляющих совпадают. Синусоиды (комплексные корни) порождают элементарные дроби второго порядка. Помимо того, завершают разложение компоненты, описывающие вынужденную составляющую.

НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ

Рассмотрим решение уравнения движения планет dx/dt=Fun(x), вытекающее из закона всемирного тяготения. Наглядно видны выделенные Кеплером особенности их орбит: эллипсоидальность и ускоренное движение планеты вблизи от фокуса, занимаемого Солнцем. Взаимное тяготение планет не учитывается.


% THE KEPLER PROBLEM,
%toolbox runge, %toolbox space, 

if tick=0, 
Z1=planette(5),  Z2={Z1},
moveXat(Z1 100), moveYat(Z1 100),
moveXat(Z2 100), moveYat(Z2 100),
dT=2, G=1, M=1000,
A=[ 0 0 1 0 ; 0 0 0 1 ; 0 0 0 0 ; 0 0 0 0 ], 
B=[ 0 0 0 0 ; 0 0 0 0 ; -G*M 0 0 0 ; 0 -G*M 0 0 ],
% Initial Conditions,
x1=[50 0 -3 4], x2=[-50 0 2 -5],
end, x1=Runge(x1 dT), x2=Runge(x2 dT),
     moveXat(Z1 220+x1[0]), 
     moveYat(Z1 150+x1[1]),
     moveXat(Z2 220+x2[0]), 
     moveYat(Z2 150+x2[1]),
     show(Z1 Z2),
ticker(10), % TIMER,

function: Fun(x),
var r F, r=sqrt(x[0]*x[0]+x[1]*x[1]), 
F={{A*x+B*x/r/r/r}}, 
return F, 
end,

Нелинейные дифференциальные уравнения небесной механики решаются методом Рунге-Кутта. Помимо вызова процедуры решения уравнения Runge с текущим состоянием x и шагом по времени dt в качестве ее параметров, приведена попрограмма вычисления правой части уравнения Fun(x). Время и прочие аргументы (если потребуются) передаются как глобальные параметры. Этот способ позволяет моделировать не один, а несколько объектов, различающихся своими состояниями.

ИСТОРИЯ СТАНОВЛЕНИЯ

Первыми моделями динамических систем были модели траекторные. Такой, например, является модель движения Земли вокруг Солнца.


% МОДЕЛЬ СОЛНЕЧНОЙ СИСТЕМЫ, 
if tick=0, 
 e=iniFG('earth.gif'), 
 s=iniFG('sun.gif'), 
 moveXat(s 190), moveYat(s 120), 
end,  
moveXat(e 185+110*sin(0.1*tick)), 
moveYat(e 110+80*cos(0.1*tick)), 
show(s e), ticker(50)

В модели Птолемея Земля является центром Вселенной, заключенным внутри восьми сфер, на которых размещаются все небесные тела. Для меньшего расхождения с опытом орбиты нанизывались друг на друга (эпициклы). Кеплер заменил сложную систему эпициклов эллиптическими орбитами. Эллипс был знаком древним мыслителям. Возможно, круговые орбиты более отвечали эстетическим воззрениям древних на совершенство небесного, к тому же, прошлое весьма мозаично.

Альтернатива описания функции рядами Фурье ныне используется повсеместно. Помимо того, соображения о совершенстве немало привлекали и Кеплера, который аппроксимировал гармонию планет системой вложенных друг в друга идеальных платоновых тел. Он получил при этом оценки радиусов орбит, которые не столь уж далеко разошлись с истинными. Математические упражнения Кеплера привлекли внимание Ньютона.

Ньютон и Лебниц, два реформатора, ввели новое понятие флюксий (устаревшее) или производных. Ньютон занимался баллистикой, поэтому сравнивал динамику Луны с динамикой снарядов. Их траектории, разумеется, отличаются. Однако с использованием новых понятий различие нивелируется. Дифференциальное уравнение имеет частными случаями весьма разные между собой решения. Общность математического описания небесных и земных тел послужило доказательной базой общности небесного и земного (Луна, это большой камень или снаряд).

Итак, как видно, в астрономии возникло несколько подходов к описанию динамики, одни имеют преимущества простоты (эпициклы), другие - общности (эллиптические траектории, дифференциальные уравнения). От выбора формы описания предмет, разумеется, не меняется, но от формы зависит лучшее его понимание. Когда то откровение, что Луна движется как обычный камень, открытое в уравнениях, было вполне внове.

Учение о динамике становится особенно востребованным с появлением новых поколений машин.

ПРОМЫШЛЕННАЯ РЕВОЛЮЦИЯ

Промышленная революция была сложным процессом, происходившим одновременно в различных отраслях промышленности. В горной промышленности одной из основных производственных проблем была откачка воды из шахт. В 1698 году англичанин Севери создал машину, использовавшую для этой цели силу пара; в 1712 Томас Ньюкомен усовершенствовал эту машину, снабдив ее цилиндром и поршнем. В машине Ньюкомена находившийся в цилиндре пар конденсировался впрыскиванием воды, в цилиндре создавалось разряжение, и поршень втягивался внутрь цилиндра под воздействием атмосферного давления. К 1770 годам в Англии работало уже около 200 машин Ньюкомена, однако они имели неравномерный ход, часто ломались и использовались только на шахтах.

В Англии в 1763 году к работе по усовершенствованию машины Ньюкомена приступил Джеймс Уатт.

В то время Уатт был лаборантом университета в Глазго и ему поручили отремонтировать сломавшуюся модель машины Ньюкомена. Разобравшись в недостатках модели, Уатт создал машину, принципиально отличавшуюся от нее; во-первых, поршень в машине Уатта двигало не атмосферное давление, а пар, впускавшийся из парового котла; во-вторых, после завершения хода поршня отработанный пар выводился в специальный конденсатор.

В 1769 году Уатт взял патент на свою машину, ему удалось привлечь к делу крупного фабриканта Мэтью Болтона, который ради этой идеи поставил на карту все свое состояние. В 1775 году на заводе Болтона в Бирмингеме было налажено производство паровых машин; однако только через десять лет это производство стало давать ощутимую прибыль. Целый ряд конструктивных нововведений позволил Д. Уатту создать универсальный двигатель, а также резко повысить его экономичность. В 1784 году Уатт запатентовал паровую машину двойного действия, в котором пар поочередно толкал поршень с двух сторон; в этой машине был применен центробежный регулятор, автоматически поддерживавший заданное число оборотов.

Паровая машина Дж. Уатта

Ученый на этом не остановился. Он изобрел шарнирный механизм – "параллелограмм Уатта" (называется так потому, что часть звеньев – рычагов – входящих в его состав, образует параллелограмм), который преобразовывал возвратно-поступательное движение поршня во вращательное движение главного вала. Радость промышленников была безмерной. «В Лондоне, Манчестере, Бирмингеме все были без ума от машин с вращательным движением», – писал Уатту его компаньон-предприниматель Мэтью Болтон.

В 1804 году инженер А. Вулф запатентовал машину, работающую при давлении 3-4 атмосферы, повысив к.п.д. более чем в 3 раза. Массовое производство паровых машин было невозможно без точных токарных станков; решающий шаг в этом направлении был сделан механиком Генри Модсли, который создал самоходный суппорт. С этого времени стало возможным изготовление деталей с допуском в доли миллиметра – это было начало современного машиностроения. Возникновение машин вызвало потребность в металле. Раньше чугун плавили на древесном угле, а лесов в Англии почти не осталось.

В 1785 году Генри Корт изобрел способ производства чугуна на каменном угле. Добыча угля стала одной из основных отраслей промышленности.

Уже вскоре после появления паровой машины начались попытки создания пароходов. В 1802 году американец ирландского происхождения Роберт Фултон построил в Париже небольшую лодку с паровым двигателем и продемонстрировал ее членам Французской Академии. Однако ни академики, ни Наполеон, которому Фултон предлагал свое изобретение, не заинтересовались идей парохода. Фултон вернулся в Америку и на деньги своего друга и покровителя Ливингстона построил пароход «Клермонт»; машина для этого парохода была изготовлена на заводе Уатта.

В 1807 году «Клермонт» под восторженные крики зрителей совершил первый рейс по Гудзону - но не нашлось ни одного смельчака, который захотел бы стать пассажиром нового судна.

Через четыре года Фултон и Ливингстон были уже владельцами пароходной компании, через девять лет в Америке было 300 пароходов, а в Англии – 150. В 1819 году американский пароход «Саванна» пересек Атлантический океан, а в 1830-х годах начинает действовать первая регулярная трансатлантическая пароходная линия. На этой линии курсировал самый большой по тем временам пароход «Грейт Уэстерн», имевший водоизмещение 2 тыс. тонн и паровую машину мощностью 400 лошадиных сил. Через двадцать лет пароходы стали гораздо больше: плававший в Индию пароход «Грейт Истерн» имел водоизмещение 27 тыс. тонн и две машины общей мощностью 7,5 тыс. л. с.

Одновременно со строительством пароходов делались попытки создания паровой повозки. На многих рудниках существовали рельсовые пути, по которым лошади тащили вагонетки с рудой. В 1803 году механик Ричард Тревитик построил первый паровоз, заменивший лошадей на одной из рельсовых дорог в Уэльсе – однако Тревитику не удалось получить поддержку предпринимателей. Пытаясь привлечь внимание к своему изобретению, Тревитик устроил аттракцион с использованием паровоза, но в конце концов, разорился и умер в нищете.

Судьба была более благосклонна к Джорджу Стефенсону, механику-самоучке, получившему заказ на постройку локомотива для одной из шахт близ Ньюкасла. В 1815 году Стефенсон построил свой первый паровоз, а затем руководил строительством железной дороги длиной более 50 км. Главной идеей Стефенсона было выравнивание пути с помощью создания насыпей и прорезки выемок, таким образом достигалась высокая скорость движения.

В 1830 году Стефенсон завершил строительство первой большой железной дороги между городами Манчестер и Ливерпуль; для этой дороги он сконструировал паровоз «Ракета», на котором впервые применил трубчатый паровой котел. «Ракета» везла вагон с пассажирами со скоростью 60 км/час; выгоды от дороги были таковы, что Стефенсону сразу же предложили руководить строительством дороги через всю Англию от Манчестера до Лондона. Позже Стефенсон строил железные дороги в Бельгии и в Испании. В 1832 году была пущена первая железная дорога во Франции, немного позже – в Германии и США; локомотивы для этих дорог изготовлялись на заводе Стефенсона в Англии.

К 1840-м годам Англия превратилась в «мастерскую мира», на ее долю приходилось более половины производства металла и хлопчатобумажных тканей, основная часть производства машин. Дешевые английские ткани заполнили весь мир и разорили ремесленников не только в Англии, но и во многих странах Европы и Азии. В Индии от голода погибли миллионы ткачей; вымерли многие большие ремесленные города, такие как Дакка и Ахмадабад. Доходы, на которые раньше существовали ремесленники Европы и Азии, теперь уходили в Англию. Многие государства пытались закрыться от английской товарной интервенции – в ответ Англия провозгласила «свободу торговли».

В 1870-х годах в развитии мировой экономики наступил знаменательный перелом, этот перелом был связан с колоссальным расширением мирового рынка. В предыдущий период масштабное строительство железных дорог привело к включению в мировую торговлю обширных континентальных областей; появление пароходов намного удешевило перевозки по морю. На рынки огромным потоком хлынула американская и русская пшеница – цены на пшеницу упали в полтора, в два раза. Эти события традиционно называют «мировым аграрным кризисом». Они привели к разорению многих помещиков в Европе – но вместе с тем обеспечили дешевым хлебом миллионы рабочих.

С этого времени наметилась промышленная специализация Европы: многие европейские государства теперь жили за счет обмена своих промышленных товаров на продовольствие. Рост населения больше не сдерживался размером пахотных земель; бедствия и кризисы, порождаемые перенаселением, ушли в прошлое. На смену прежним законам истории пришли законы нового индустриального общества. Последствия создания универсального теплового двигателя огромны. Так, в Англии с изобретения (двухцилиндровой) паровой машины, сделанного немного позднее, чем в России Дж. Уаттом, началась промышленная революция, охватившая затем Европу.

Россия попыталась противиться этой модернизации – началась война с Англией и Францией, и винтовки заставили Россию вступить на путь реформ. В 60-х годах культурная экспансия промышленной цивилизации сменилась военной экспансией – фундаментальное открытие всегда порождает волну завоеваний. Наступила эпоха колониальных войн; в конечном счете весь мир оказался поделенным между промышленными державами. Англия, воспользовавшись своим первенством, создала огромную колониальную империю с населением в 390 млн. человек.

СТАЛЬ КАРНЕГИ

В 33 года Эндрю Карнеги был заметной фигурой в американском бизнесе. Во время поездки в Британию молодой американский предприниматель познакомился с несколькими европейскими сталелитейными магнатами. Карнеги понимал, что за сталью большое будущее – материал был намного прочнее и легче железа. В 1875 году Эндрю Карнеги открыл первый в США сталелитейный завод – Edgar J. Thomson Works. Связи с управленцами Пенсильванской железной дороги, где в юности работал Карнеги, оказались как нельзя кстати будущему сталелитейному магнату: ж/д компания разместила на заводе довольно крупный заказ. В 1901 году Карнеги выставил свой холдинг на продажу. «Новость» была рассчитана на короля железных дорог Джона Моргана.

«Не было никаких адвокатов, никаких документов. Сделка века прошла так, как будто мальчишка посыльный пошел в бакалейную лавку со списком продуктов, – описывает сделку историк Остин Хоут. – Карнеги передал Моргану листок с цифрой $480 миллионов. И Морган ответил запиской с одним словом: «Ол райт». Когда подписывали купчую, Морган сказал: «Поздравляю, мистер Карнеги, вы теперь самый богатый человек в мире». Жесткое противостояние с профсоюзами обернулось, в свое время, гибелью рабочих – одна из темных страниц истории Америки. Возможно поэтому из заплаченных Морганом $480 млн за Carnegie Steel $450 млн ($127 млрд в перерасчете на нынешние деньги) Карнеги попросту раздал на благотворительность.

ИНДИЙСКИЙ КАРНЕГИ



Rambler's Top100