Грамиан. Это матрица, элементами которой являются попарные скалярные произведения системы векторов, проверяемых на линейную независимость. Такую матрицу называют еще матрицей Грама для системы векторов. Грамиан является положительно-определенной симметричной матрицей с действительными и неотрицательными собственными значениями и соответствующими им попарно ортогональными собственными векторами.

Грамиан управляемости. Это расширенная трактовка матрицы Грама применительно к системе функций, являющихся состояниями линейной динамической системы. Для определенности рассматривается реакция системы на дельта-импульс. Грамиан управляемости можно найти из следующего уравнения Ляпунова:

GA'+AG+bb'=0.

Описание системы в пространстве состояний называется ортогональным по входу, если она обладает диагональным грамианом управляемости.


%toolbox control, 
A=[-1 0; 1 -2], b=[0 1], G=gramc(A b), mesh(G)

Грамиан наблюдаемости. Согласно принципу дуальности Калмана в рассмотрение вводится дуальная система, переменные состояния которой образуют свою матрицу Грама в сходных рассмотренным выше условиях. Грамиан наблюдаемости можно найти из следующего уравнения Ляпунова:

GA+A'G+c'c=0.

Описание системы в пространстве состояний называется ортогональным по выходу, если она обладает диагональным грамианом наблюдаемости.

Грамианы управляемости и наблюдаемости положительно определены в том случае, когда пара матриц (А,b) является управляемой, а пара матриц (А,c) - наблюдаемой.

Кросс-грамиан. Определяется соотношением связи с грамианами упровляемости и наблюдаемости - квадрат этой матрицы равен произведению грамиана управляемости на грамиан наблюдаемости. Его можно найти также из следующего уравнения

GA+AG+bc=0.

Ганкелевы сингулярные числа и функции. Если исходная система устойчива, управляема и наблюдаема, все собственные значения квадрата кросс-грамиана вещественны и отличны от нуля.

Корни квадратные из этих значений называют ганкелевыми сингулярными числами системы.

Ганкелевы сигулярные числа описывают коэффициенты усиления сигналов в так называемом ганкелевом эксперименте, в котором интервал управления системой предшествует интервалу наблюдения.

Ганкелевыми сингулярными функциями называют сигналы, которые зеркально-симметричны входным сигналам и отличаются на масштабные множители, равные собственным числам кросс-грамиана. Математически эти функции можно найти как реакции системы на начальные состояния, равные собственным векторам кросс-грамиана (расчетом соответствующих импульсных весовых функций).


%toolbox control, b=[1 2], a=[1 1 1], 

% ВЫЧИСЛЕНИЕ ГАНКЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ, 

% ЧЕРЕЗ КРОCС-ГРАМИАН,
H=Heig(b a), V={H[0][1]}, H[1]=?, 
% ПРОВЕРКА ВЫЧИСЛЕНИЕМ ИНЫМ СПОСОБОМ,
h=heig(b a), v={h[0][0]}, h[1]=?,

t=time(10), v={-v},
y1=impulse(V a t), 
y2=impulse(v a t), plot([t y1 y2]),

Cбалансированное представление. В сбалансированном представлении системы (A,b,c) грамианы управляемости и наблюдаемости являются диагональными и равными между собой матрицами. То же самое касается и кросс-грамиана. Очевидно, что для сбалансированной системы одновременно выполняются условия ортогональности по входу и выходу.

Задача диагонализации грамианов управляемости и наблюдаемости сводится к известной проблеме приведения двух квадратичных форм к главным осям (к задаче о пучке матриц), поскольку при линейном преобразовании координат грамианы управляемости и наблюдаемости изменяются конгруэнтно. Кросс-грамиан подвергается преобразованию подобия. Задача диагонализации последнего выполняется проще и несет дополнительную информацию о знаках собственных значений ганкелева оператора системы.

В силу симметрии ганкелева оператора, нет различия между его собственными и сингулярными функциями. Собственные значения кросс-грамиана называют еще алгебраическими сингулярными числами. Отрицательные значения отвечают инверсии входного сигнала при прохождении его через систему.

Редуцирование. Для внутренне сбалансированной системы сингулярные числа Ганкеля отсортированы в порядке их убывания.

Первое сингулярное число называется ганкелевой нормой передаточной функции. Каждое сингулярное значение характеризует степень вклада ортогональной переменной состояния системы в импульсную характеристику. Для построения редуцированных моделей важно знать, что чем больше значение сохраняемого сингулярного числа, тем больший вклад в динамику системы вносит соответствующая компонента вектора состояния.

Идея ортогональной редукции основана на том, чтобы исключить из общего описания подсистему, вклад которой в импульсную характеристику незначителен. Иными словами для описания объекта остается так называемая внутренне доминирующая подсистема. То есть это та подсистема, импульсная характеристика которой близка к импульсной характеристики полной модели.



Rambler's Top100