Фазовращатели. В теории динамических систем фазовращатели занимают то место, которое в теории матриц принадлежит ортогональным матрицам. Отсюда понятно их значение.

Фазовращатели относятся к числу базисных элементов, на которые принято разлагать передаточные функции. Наиболее распространенным таким звеном является интегратор 1/p. Общеизвестное разложение передаточной функции в сумму элементарных дробей (жорданова или параллельная каноническая форма) опирается на слагаемые вида 1/(p+α), которыми будут подсистемы с интеграторами, замкнутыми обратными связям.

Добавлением константы апериодическое звено можно привести, в свою очередь, к виду (-p+α)/(p+α). Это и есть элементарный фазовращатель. Называется он так, поскольку амплитудно-фазовая характеристика этого звена представляет собой круг на комплексной плоскости. Такое звено не меняет амплитуды проходящих через него гармонических сигналов, изменяются только фазы.

Разложение Гловера. В фазовом разложении Гловера (ФРГ) передаточной функции в качестве коэффициентов разложения используются сингулярные числа ганкелева оператора системы (абсолютные значения его собственных чисел)

Q(p)=d+σ1F1(p)+σ2F2(p) + ... + σmFm(p),

где Fi(р) - устойчивые фазовращатели. Платой за относительно простой вид слагаемых является существенное повышение их порядка, причем последний член разложения связан с изображением по Лапласу ганкелевых сингулярных функций системы.

Если среди чисел σi нет кратных, то порядок последнего фазовращателя равен 2n-1, и он имеет передаточную функцию

Fm(p) = a(-p)c(p)/a(p)c(-p),

где a(p) - характеристический полином передаточной функции Q(p)=b(p)/a(p) исходной системы, с(-p) - характеристический полином редуцированной передаточной функции, получаемой отбрасыванием последнего слагаемого в разложении Гловера.

Расширение Нехари. Расширение передаточной функции системы до фазовращателя более высокого порядка F(p) дается формулой

F(p)=σ1f1(p)/f1(-p) либо F(p)=σnfn(p)/fn(-p),

где f1(p) - изображение по Лапласу первой ганкелевой функции динамической системы, σ1 - первое сингулярное число. Вторая формула совпадает с последним слагаемым фазового разложения Гловера передаточной функции Q(p)=b(p)/a(p).

Корни числителя функции fn(p)=с(p)/a(p) лежат в правой полуплоскости, соответственно, c(-p) - гурвицев, при нежестких ограничениях на вид передаточной функции.

Алгоритм редукции. Обозначим g(p) - числитель передаточной функции пониженного порядка, из формулы b(p)/a(p)=g(p)/c(-p)+sa(-p)c(p)/a(p)c(-p), следует полиномиальное уравнение b(p)c(-p)=a(p)g(p)+sa(-p)c(p), дающее матричное выражение для векторов коэффициентов S(a(p))g=(S(b(p))Z-sS(a(-p)))c, где матрицы S(.) - Сильвестра (используемая при произведении полиномов), Z - сигнатурная, чередующая знаки столбцов матричного сомножителя. Вектор коэффициентов числителя находим как

g=S(a(p))+(S(b(p))Z-sS(a(-p)))c,

где S(.)+=(S(.)'S(.))-1S(.)' - прямоугольная псевдообратная матрица. Ниже приводится ссылка на модифицированный алгоритм, который опирается на алгебраические сингулярные числа - собственные числа кросс-грамиана, они могут отличаться знаком от σ=|s|. Процедура помещена в сетевой тулбокс control.


%toolbox control, b=[8 -4 -4], a=[2 6 1], 

% НАХОЖДЕНИЕ ГАНКЕЛЕВОЙ ФУНКЦИИ,
h=heig(b a), c=h[0][0], s=h[1],  
% МАСШТАБИРОВАНИЕ ЗНАМЕНАТЕЛЯ, 
s2=s[0], c={c/c[0]}, s2=?, c=?,  
% ПОИСК ЧИСЛИТЕЛЯ,
g=glover(b a s2 c), 
s1=g[0], g={g/g[0]}, s1=?, g=?,

Пример декомпозиции системы в сумму фазовращателей. Возьмем передаточную функцию Q(p) = (8p2 - 4p - 4)/(2p2 + 6p + 1) системы с ганкелевыми сингулярными числами σ1=1, σ2=3, реализованной на базе двух фазовращателей с передаточными функциями Q1=p-1/p+1, Q2=p-2/p+2, соединенных в кольцо. Требуется найти разложение системы в виде суммы фазовращателей 1-го и 3-го порядков

Q(p) = σ1(p-α)/(p+α) + σ2(p-α)a(-p)/(p+α)a(p),    

где a(p) - характеристический полином исходной системы. Приводим формулу к общему знаменателю и приравниваем ее к исходной передаточной функции. Получаем параметры α=-1/2, σ1=1, σ2=3, откуда

Q(p) = (2p+1)/(2p-1) + 3(2p+1)(2p2-6p+1)/(2p-1)(2p2+6p+1).

Это первый вариант разложения Гловера (неустойчивый). Найдем второй вариант разложения. Поменяем местами коэффициенты в формуле, полагая на этот раз, что σ1=3, σ2=1. Выполняя те же выкладки, получаем решение с положительным коэффициентом α=1. Ему соответстветствует устойчивый вариант разложения Гловера

Q(p) = 3(p-1)/(p+1) + (p-1)(2p2-6p+1)/(p+1)(2p2+6p+1).

Отбрасывание второго слагаемого дает редуцированную модель первого порядка с ганкелевым сингулярным числом, равным трем.

Редукция передаточных функций. Редукция передаточных функций по их сингулярным числам отвечает сложившейся в вычислительной математике практике метода наименьших квадратов, в котором редукция системы линейных алгебраических уравнений осуществляется аннулированием малых сингулярных чисел матрицы системы. При этом становится возможной оптимизация неединственного решения.

Оптимизация в пространствах Харди. В пространствах Харди вводится расстояние между передаточными функциями. Передаточные функции Qi(p), содержащие i членов, являются аппроксимациями исходной передаточной функции Q(p). Соответствующая редукция сохраняет ганкелевы сингулярные числа, но, как и редукция по сбалансированному представлению, не является оптимальной. Погрешность аппроксимации в точности равна сумме отброшенных сингулярных чисел σi+1+...+σm. Это почти вдвое лучше, чем при редукции по сбалансированному представлению, но хуже, чем при оптимальной редукции, где достижимая минимальная погрешность равна максимальному числу σi+1.

Интерполяционная теорема Пика-Неванлинна. О свойствах передаточной функции и ее амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) мы судим по степени близости ее полюсов к мнимой оси. Если полюс выходит на мнимую ось, то наблюдается разрыв. По Пику можно брать и не полюса, посчитать его матрицу P=(1-Q(pi)*Q(pj)/1-pi*pj) и проверить ее положительную определенность.

Пик занимался оценками роста функции, определенной на круге единичного радиуса и отражающей круг в себя. Он доказывал, что специфическое (неевклидово) расстояние между двумя точками отображения r(Q(p1),Q(p2)) не превосходит расстояния между точками аргумента r(p1,p2), для дробно-рациональных функций имеет место быть равенство. Для оценок расстояния привлекалась относительная разность точек, деленная на модуль вида |1-x1*x2|.

Результат открыт и опубликован независимо через два года Неванлинной (1916 г.). Финский математик, (Nevanlinna) Рольф Герман, вместе с братом (Фритьоф) создал теорию мероморфных функций, получившую признание. Мероморфные функции обобщают рациональные дроби, точно также, как целые функции - это обобщение полиномов. Типичный пример - экспонента, синус и косинус комплексного переменного. Алгебраисты достаточно много внимания уделяли тогда темпу роста функций. Для целых функций введен формальный показатель - порядок, по сравнению их с экспонентой.

В трудах А. Пуанкаре, Ж. Адамара и Э. Бореля была установлена связь между показателем роста (порядком) целой функции и распределением её нулей. Исследование поведения аналитических функций на плоскости аргумента восходит к теореме Пикара (πcard), которая усиливает сходную теорему Лиувилля утверждением о том, что любая не равная тождественно постоянной целая функция принимает все комплексные значения, кроме, возможно, одного. Примером является экспоненциальная функция, которая принимает в качестве значений все комплексные числа, кроме нуля.

Интерполяционное направление представлено также теоремой Котельникова, которая исследует целесообразный шаг дискретизации функции в связи с ограничением ее частотного диапазона с тем, чтобы гарантировать отсутствие существенных отклонений функции от интерполируемых точек на всем диапазоне.

Ленинград - Неванлинна. Имя города Неванлинна значит - Невский город, т.е. Нево- или Невин-град, если отбросить идеологическую аргументацию и постараться непосредственно соотнести звучание имени "Ленинград" с образом города, то окажется, что это имя более соответствует характеру города на Неве, чем имя "Петербург". Оно отражает светлую, но твердую и холодную звуковую ткань, которая наиболее соответствует северному региону и темпераменту города. Подтверждение этому можно найти в топонимическом анализе древнейших имен данного региона.

Называя какое-либо место, древние опирались на то впечатление, которое возникало от этой местности, непосредственно отражая в имени вибрационную природу и звуковое поле (иначе говоря - эгрегор) данной территории. Из ономастики известно, что древнейшими названиями являются имена рек и других гидронимов. В нашем случае это угро-финские названия: Ладога и Нева - и имя города Неванлинна (что значит - Невский город, т.е. Нево- или Невин-град), в которых явно слышна аллитерация со звучанием Ленинград (здесь начальное более идеальное Л заменило упрямое Н, которое в русском языке ассоциируется с понятием отрицания).

Таким образом, имя Ленинград возвратило местности ее исконное звуковое отражение, восстановив естественную связь ритмов города с ритмами окружающей среды. Оно было экологичным с точки зрения резонанса, действующего на подсознательном, более глубоком уровне, нежели временные традиции и идеалогические клише (типа - город "великого Ленина" или город "святого" Петра). Этого нельзя сказать о диссонирующем звучании Петербург, претенциозном - Санкт-Петербург и особенно жаргонном - Питер. И поэтому еще Пушкин избегал этих названий, используя имена Петрополь и Петроград ("Медный всадник"). Последнее даже стало на короткое время официальным (1914-1924), но нельзя сказать, что оно хорошо отражало биоритмы города: тепло-радостные и емкие формы звучания "Петроград" не соответствуют холодному и равнинно-водному региону. В этом переименовании главным критерием также была идеология, а не гармония отражения.

Ниен, или по-фински Неванлинна, был основан по приказу короля Куста II Адольфа 17 июня 1632 г. совсем незадолго до его смерти, однако ему не были предоставлены права города вместе с привилегиями, которые были бы жизненной предпосылкой для его развития в последующее десятилетие. Расположением Ниена было место слияния рек Невы и Охты, где через 70 лет Петр Первый основал новую столицу. Все имеет свое начало, и хотя Ниен был в какой-то степени предшественником Петербурга, но он может быть сравним лишь с трепещущим пламенем свечи. Петербург нуждался совсем в другой опоре, которую смог предоставить только великий человек и сильный правитель могучей страны. Таким стал Петр Великий.



Rambler's Top100