Бесконечномерные матрицы. Функция двух аргументов - естественное обобщение матрицы:

A =

Затрагиваемая нами тема касается, с одной стороны, теории динамических систем, рассматриваемых на конечном и бесконечном интервалах времени, обобщая частотные характеристики, с другой стороны, это совершенно независимая область матриц-картинок, которые, оказывается, ко всему прочему, могут еще иметь и спектр, и помимо того, каждая такая картинка эквивалентна какому-то дифференциальному уравнению, что само по себе, несколько необычный взгляд на изображение и его инварианты.

Непрерывному и дискретному представлению систем во временной области можно сопоставить непрерывное и дискретное их в частотной. Последнее менее распространено и представлено здесь дискретными спектральными характеристиками элементарных звеньев. В данном случае эксплуатируется свойство АЧХ иметь парные частоты (при одинаковом коэффициенте их усиления), если не на мнимой оси, так на других осях. Если есть парные частоты, то возникает сумма гармоник, с количеством составляющих, равным порядку системы. Ганкелевы функции - оптимальные, как и синусоиды (на бесконечном интервале) - дискретный спектр для них означает самый высокий коэффициент усиления полигармонического (состоящего из суммы гармоник) сигнала по энергии (квадратичной норме).

Законы финитного времени и ганкелевы сингулярные функции элементарных звеньев справедливы и находят применение при анализе широкого класса задач. Например, простая механическая аналогия - когда хоккеист бросает шайбу на льду, сообщая ей максимальную скорость (т.е. кинетическую энергию), то оптимальное приложение усилия соответствует инверсной, по отношению к ганкелевой, во времени функции. Максимальное усилие прикладывается вначале, иначе энергия рекупирируется затратно - не приводит к росту финальной скорости. То же самое касается броска дискоболом диска, раскачивания языка колокола, старта автомобиля или ракеты. Существует сходство с задачей Булгакова, где управление следует инверсной импульсной весовой характеристике для оптимизации конечного положения системы. Появляются аналог H нормы передаточной функции - пик дискретной частотной характеристики, и соответствующие оптимизационные постановки проблем синтеза.

Представление о разнообразии областей определения индексов бесконечномерных матриц дают матрицы интегральных преобразований свертки и Лапласа, а также специфические кентавры в мире матриц, часть индексов которых обычна: матрицы линейных операторов управляемости и наблюдаемости теории динамических систем.

Складывать и вычитать такие функции между собой нужно поэлементно. При умножении C=AB каждая "строка" бесконечномерной матрицы A умножается скалярно (берется не сумма, а интеграл) на каждый "столбец" B. Аналогом единичной матрицы служит дельта-импульс, взятый в функции разности двух аргументов. Умножение на него не меняет матрицу. У бесконечномерных матриц это не единичный элемент их алгебры, в том смысле, что он не может быть получен в результате произведения "обычных" матричных сомножителей - в силу свойств интегрального исчисления. Функция, у которой аргументы поменяны местами - аналог транспонированной матрицы A'. Аналогом матрицы с единицами не на главной (побочной) диагонали служит флип. Флип (его применение, как операции) - это транспонирование матрицы относительно ее центральной оси. В алгебре бесконечномерных матриц он играет роль мнимой единицы - поворот фазы комплексного числа на 180 градусов сопоставимо с ролью носимой этой матрицей операции. Если единичная матрица теплицева, то флип - это ее ганкелево представление. Подробнее об этом ниже.

Теплицева и ганкелева матрицы. Важную роль в теории динамических систем играет интеграл свертки, связывающий реакцию динамической системы с входным сигналом

y(t)=0tq(t,τ)u(τ)dτ,

где q(t,τ)=q(t-τ) - значения импульсной весовой функции (реакции системы на дельта-импульс), взятые в силу разности двух аргументов.


%toolbox control,   

t=time(5 15), b=[0.5 1], a=[1 2 1],
% ИМПУЛЬСНАЯ ВЕСОВАЯ ФУНКЦИЯ,
y=impulse(b a t), g=[t y], ball(g),
% ТЕПЛИЦЕВА МАТРИЦА ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ,
T=Toeplitz(b a t), mesh(T),

В матричных обозначениях данную зависимость можно описать короче как

y=Tu,

где T - бесконечномерная матрица Сильвестра, построенная не на коэффициентах полинома, а на значениях импульсной весовой функции q(t).

Поскольку q(t,τ) является ядром интегрального оператора Вольтерра, то верхний предел интегрирования определяет матричную диагональ. В силу этого обстоятельства выходной сигнал y(t) зависит от предыстории входного сигнала u(t) и не зависит от его будущих значений (причинность, каузальность).

Если инвертировать функцию входа u(t) во времени t (флипировать), что формальность, то вход и выход будут связаны симметричной ганкелевой матрицей H. Теплицева T и ганкелева H матрицы Сильвестра приведены на рисунке.

Теплицева матрица симметрична относительно второй диагонали. Значения ее элементов зависят только от разности индексов i-j. Такие матрицы исследовал немецкий математик Otto Toeplitz, 1881-1941.

Ганкелевы матрицы отличаются от теплицевых ровно тем, что они симметричны относительно главной диагонали, и названы они тоже в честь немецкого математика. Их ввел в обиход Hankel Hermann, 1839–1873.

Преобразование Лапласа. Импульсную весовую функцию q(t) принято задавать ее изображением по Лапласу, называемым передаточной функцией Q(p)=Lq(t). Передаточная функция динамической системы связывает изображения сигналов:

y(p)=0e-pty(t)dt, u(p)=0e-ptu(t)dt,

для элементарных функций указанные интегралы сведены в таблицу оригиналов и их изображений.

Интегральное преобразование Лапласа дает представление о бесконечномерных матрицах с ядром L(p,t)=e-pt, индексы которых, первый и второй, определены соответственно над полями комплексных и вещественных чисел. Исторически это интегральное преобразование называлось преобразованием Хэвисайда, который ввел его для упрощения расчета электрических цепей с реактивными элементами.

Преобразование Лапласа L приводит к замене интеграла свертки y=Tu произведением изображений сигналов на передаточную функцию: пусть Ly(t)=LTL-1Lu(t), тогда изображения функций связаны как y(p)=Q(p)u(p), Q(p)=LTL-1.

Сингулярное разложение теплицевой матрицы. К интерпретации двойного преобразования Лапласа как преобразования подобия, сводящего матрицу системы к диагональной форме, следует подходить с осторожностью. Сходное диагональное разложение порождает сингулярное разложение матрицы. Симметричной матрицей (сводимой к диагональной) является матрица ганкелева H, а не теплицева T. Поэтому к одному из двух преобразований Лапласа нужно добавить флип, которым матрица системы T=HF приводится к симметричной форме Q(p)=LTFFL-1=LHFL-1.

К диагонали, следовательно, матрицу T приводит преобразование, весьма похожее на преобразование подобия, но не являющееся таковым. Сингулярное разложение обычных матриц заканчивается получением упорядочиваемых по величинам неотрицательных вещественных сингулярных чисел, а передаточная функция имеет своими значениями комплексные величины, модуль которых упорядочивают также и по частоте гармонических функций. Такая упорядоченная зависимость хорошо известна как амплитудно-частотная характеристика (АЧХ). АЧХ ближе всего стоит к хорошо известным в теории матриц сингулярным числам.

Нормы передаточных функций. В теории систем и сигналов важное место занимают банаховы и гильбертовы пространства. Разница между ними та же, что между матрицами и векторами, для обоих нужно уметь вычислять норму (абстрагированную величину элемента), но у векторов есть еще свойство быть ортогональными друг другу. Проверить ортогональность двух дробно-рациональных функций можно на основе скалярного произведения

< Q1(p),Q2(p) >=π-10Q1(-jω)Q2(jω)dω,

которое индуцирует квадратичную норму (длина вектора, в геометрии)

||Q(p)||2-10Q(-jω)Q(jω)dω,

и метрику (норму разности)

υ(Q1(p),Q2(p))=||Q1(p)-Q2(p)||2.

Cтрого правильные дроби, не имеющие полюсов на мнимой оси, позволяют посчитать и то, и другое и третье. Иными словами, они образуют гильбертово пространство H2. По теореме Парсеваля норма H2 передаточной функции совпадает с квадратичной нормой импульсной весовой функции. Если забыть про ортогональное произведение, то можно вводить иную норму - максимум модуля. Максимум модуля функции, аналитической в замкнутой правой полуплоскости, может достигаться только на её границе - на мнимой оси и даже на [0,∞), поэтому в качестве нормы используется не только площадь, но и максимум АЧХ

||Q(p)||=sup |Q(jω)|.

В честь математика Харди, исследовавшего такие банахово H и гильбертово H2 пространства комплексного переменного, их называют его именем.

Не следует думать, что неквадратичная норма - это какая-то экзотика, необходимая для иллюстраций примеров конструирования различных норм абстрактной математики. Смыслы многих показателей для частотной и временной областей диаметрально противоположны. Скажем Q(0) отвечает конечному значению импульсной весовой функции, и т.п. Вообще говоря, это согласованная с нормами сигналов квадратичная норма теплицева оператора системы, тогда как у симметричного ганкелева оператора - это еще и амплитудный коэффициент. Согласованную квадратичную норму оператора передачи системы вводят через отношение векторных квадратичных норм выходного и входного сигналов. Максимум АЧХ, т.е. норма H, отвечает супремуму.

Что касается H2, то у матриц это место занято несогласованнной фробениусовой нормой - корень квадратный из суммы квадратов элементов. Зачем же нужна несогласованная норма?

Оптимизация нормы из H отвечает оптимизации максимального коэффициента передачи, подсчитываемого по нормам сигналов. Их амплитуда и форма особого значения не имеют - наиболее близкий и понятный технический аналог - это трансформатор. При передаче электрической энергии важна именно энергия. Что будет с пиковыми нагрузками - неважно. Совсем другое дело - оптимизация коэффициента усиления собственно амплитуды сигнала. Технически оптимизации нормы из H2 отвечает получению именно максимального амплитудного броска. Цель как в баскетболе или при бросании копья. Существуют и смешанные задачи, когда важна передача энергии, но пиковые нагрузки тоже недопустимы. Понижая пик АЧХ, важно не переборщить с ее площадью.

Теплицева и ганкелева матрицы, связанные флипом, дают представление о тонкостях трактовки одних и тех же сигналов как сингулярных и собственных векторов (функций) соответствующих родственных между собой линейных операторов. В частотной области флип различим в трактовке Q(-p) как передаточной функции сопряженной системы, при том, что инверсия знака не совпадает с результатом сопряжения функции Q*(p), это не одно и то же.

Единичная матрица и флип. Бесконечномерная единичная матрица соответствует безынерциальной системе и в терминах интегрального исчисления отвечает порождающей ее импульсной весовой функции, совпадающей с дельта-функцией Дирака, т.е. E=δ(t-r). Дельта функция обобщает собой единичный орт. Из свойств интегрального исчисления следует, что E не может быть получена в итоге умножения каких-либо исходного и обратного матричных элементов, т.е. единичная матрица не является единичным элементом или, попросту, у этих элементов нет обратных.

Этой теплицевой единичной матрице отвечает простейшая ганкелева матрица F, описывающая флип - зеркальную инверсию сигнала относительно середины интервала. У обычных матриц флипу отвечает матрица с единицами на неглавной (побочной) диагонали F=adiag(1...1). Матрица F задает ортогональное преобразование, переводящее теплицеву матрицу в нижнюю и верхнюю треугольные ганкелевы:

H1=TF, H2=FT.

Флип, это частичное, не доведенное до конца транспонирование, поскольку транспонированная теплицева матрица получается как T'=FTF. Верхняя треугольная теплицева матрицева описывает антикаузальную систему, реагирующую на значение входного сигнала в будущем. Таким образом, теплицевых матриц тоже две, они транспонированы друг к другу, также, впрочем, как и отмеченные ганкелевы.

Флип, как операция транспонирования матриц относительно срединной-вертикальной и срединной-горизонтальной осей симметрии осталась в матричной алгебре без обозначения. Вместе с тем, у нее есть свои инварианты - 'эрмитовы' матрицы, остающиеся при таком преобразовании без изменений. Наш особый интерес к теме флипа поясняется вкрадце еще и тем, что у ортогональных матриц, как известно, обращение сводится к транспонированию. Невыполнимые операции с трудными матрицами могут выполняться хотя бы частично, на этом строится фундамент вычислительной математики. Флип расширяет множество рассматриваемых нами форм за пределы сильвестровых. Операция симметрирования (A+A')/2 имеет аналогами выделение симметричных относительно иных осей симметрии матриц вида (A+AF)/2 и (A+FA)/2. Некоторые спектральные задачи с симметрированными матрицами решаются легче.

Матрицы конечного ранга. Краткий обзор бесконечномерных матриц будет неполным, без упоминания матриц конечного ранга. Вводятся они в теорию через факторизацию бесконечномерных матриц на матрицы, у которых один из индексов принимает конечные значения. В таком случае бесконечномерная матрица, будучи составлена из таких сомножителей, принимает конечный ранг.

Важным примером является нижний правый блок H22 разделенной ганкелевой матрицы H=[H11 H12; H21 H22], который связывает (инвертированный) входной сигнал и реакцию системы на разнесенных во времени интервалах. Реакция в таком случае будет описываться свободным движением системы, проистекающим из начального условия, в которое заранее приложенное управление систему вывело. Иными словами, усеченная ганкелева матрицы допускает факторизацию на сомножители

H22=YUF, Y=ceAt, U=eAtb,

где Y - матрица линейного оператора наблюдаемости, связывающая выходной сигнал с начальным условием x размерности n, т.е. второй конечный индекс ее принимает n значений, U - матрица линейного оператора управляемости, связывающая входной сигнал с достигаемым состоянием x, т.е. первый индекс ее принимает n значений, F - матрица флипа, A,b,c - матрица и векторы входа-выхода уравнений системы в пространстве состояний.

Кросс-грамиан. Задача на определение ранга факторизованной матрицы сводится к исследованию ранга конечномерной n2 матрицы Грама, полученной перестановкой 'прямоугольных' сомножителей (ортогональную матрицу флипа можно не учитывать) G=UY. Напоминаем, что знак интеграла в матричной нотации отсутствует, но само по себе умножение - это интеграл. Эту матрицу находят, впрочем, не интегрированием, а решением уравнения Ляпунова

GA+AG+bc=0.

Cингулярные числа симметричной ганкелевой матрицы H22 совпадают по модулю с собственными числами кросс-грамиана, т.е. с алгебраическими сингулярными числами. Они используются в фазовом разложении Гловера и в задачах редукции передаточной функции Q(p) динамической системы. Соответствующие собственные или сингулярные, что одно и то же для симметричных матриц, функции ганкелевой матрицы совпадают с точностью до флипа с сингулярными функциями теплицевой матрицы T21. Обе эти матрицы связаны друг с другом условием срединно-вертикальной симметрии.

Жордановы цепочки. Собственные базисы бесконечномерных матриц, также, как и конечных, могут состоять, в общем, из собственных векторов (функций) и жордановых цепочек векторов или функций, выбор названия в данном случае - дело вкуса. Динамические системы, которые описываются бесконечномерными теплицевыми матрицы, не повторяют входной сигнал. В теории интегральных уравнений рассматриваемому случаю отвечают интегральные операторы Вольтерра, собственные векторы у них отсутствуют. В математике бесконечного у всего есть, однако, свои ньюансы. Примем во внимание, что для импульсной весовой функции амплитуда выходного сигнала несопоставима с амплитудой входного сигнала, поэтому ее можно считать условно нулевой.

Поскольку коэффициент передачи - собственное число теплицевой матрицы - бесконечно мал, векторы, вернее, функции жордановой цепочки получаются однообразным применением формулы итерирования:

Sj+1=TSj,

начинать можно с дельта-функции с ее заведомо широким спектом. Особенность такой жордановой цепочки состоит в том, что вопрос о завершающем ее собственном векторе отодвигается в бесконечность и теряет, в конечном итоге, всякую актуальность. Отметим также, что в силу неопределенности, это всего лишь только одна из возможных трактовок жорданового базиса. В ней импульсная весовая и переходная функция являют собой начальные элементы жордановой цепочки векторов, которая может быть бесконечно продолжена, без завершения.

Собственные базисы и сингулярные векторы. На бесконечном интервале времени условно пропускаемым через систему неискажаемым по форме сигналом является синусоида. Она смещается по фазе на конечную величину, тоже исчезающе малую в сравнении с длительностью всего интервала. Из двух матриц, теплицевой и ганкелевой, собственный базис из ортогональных гармонических функций может быть построен для симметричной второй. Вместе с тем, АЧХ системы отвечает энергетической трактовке коэффициентов передачи сигнала и соответствует сингулярному разложению бесконечномерной матрицы Теплица. Поэтому указанные ганкелевы собственные функции являются вместе с тем сингулярными векторами (функциями) матрицы T. Между тем, ничто не обязывает нас описывать динамическую систему именно теплицевой матрицей.

На конечном интервале времени, в отличие от бесконечного, АЧХ системы должна стать дискретной точно также, как это происходит со спектром конечных сигналов в технике их разложении в ряд Фурье. В частности, в случае разнесения интервалов управления и наблюдения спектр описывающей передачу сигналов матрицы становится не только линейчатым, но и конечным. При уходе от бесконечности интервала, построения, к тому же, становятся значительно менее условными (зависящими от трактовок и точки зрения на предмет). Если бы существовала процедура нахождения ганкелевых чисел на более общий случай, чем тот, где они находятся как собственные числа кросс-грамиана, можно было бы наблюдать переход от конечного спектра к спекту с бесконечным количеством составляющих, приближающихся к АЧХ в случае удлинения совмещенного интервала управления и наблюдения. Смысл нашего исследования состоит в том, чтобы научиться их находить, в прикладной области - хотя бы для элементарных звеньев. Интегратора, апериодического звена, колебательного звена и прочих.



Rambler's Top100