Итерационные методы поиска собственных функций. Следующие численные эксперименты должны убедить нас в существовании у линейных динамических систем реальных собственных векторов (функций). В данном случае речь не о кусочно блочной ганкелевой матрице H22, а о всей нижнетреугольной матрице симметричной ганкелевой матрицы H, описывающей систему на совмещенном интервале времени управления и наблюдения. Факторизация H невозможна, то есть, искомые собственные значения не образуют конечный набор ганкелевых чисел, отвечающих кросс-грамиану. Есть пока только наводящее предположение, что эти ганкелевы числа будут размещаться на АЧХ ссылкой на аналогичного сорта дискретизации спектра сигналов. Однако эти предположения далеки от конкретики и нуждаются в уточнении и проверке.

В поисках собственных векторов H обратимся к известным в численном анализе матриц итерационным процедурам нахождения главного собственного вектора. Если матрицу периодически умножать сначала на произвольный вектор, а потом на итог произведения, то главный собственный вектор, отвечающий максимальному собственному числу, будет входить в результат все с большим и большим весом и, в итоге, он и будет превалировать. Отличительным признаком успешного завершения итераций, в соответствии с определением собственного вектора, является совпадение по форме входного и выходного векторов. Рассмотрим апериодическое звено. Для нахождения его реакции используем обычную процедуру интегрирования, однако с тем, чтобы моделировалась именно ганкелева матрица H=TF, входной сигнал предварительно флипируется.


N=10, D=[1 5], 
% ИТЕРАЦИОННЫЙ ГАНКЕЛЕВ ЭКСПЕРИМЕНТ,
t=time(1 20), k=4, G=one(k), y=one(t),  
for i=0:size(G), 
u=flip(y), n=max(u), u={u/n}, 
y=lsim(N D u(t)), m=(1+i)/k, G[i]={m*y},  
end,
% НОРМИРОВАНИЕ ВЫХОДНОГО СИГНАЛА ДЛЯ СРАВНЕНИЯ,
n=max(y), y={y/n}, n=?, plot(t [u y]),

Для большей наглядности сигналы на выходе апериодического звена выводятся последовательно увеличивающимися в амплитуде графиками:

Как видно, итерации действительно приводят к установившемуся сигналу некоторой формы, которая не меняется при прохождении его от входа к выходу. Для констатации этого в опыте выводятся также нормированные графики входного и выходного процессов, они представляют собой инвертированные во времени функции (совпадающими друг с другом при флипировании одной из них).

Следовательно, апериодическое звено располагает вполне определенным старшим собственным вектором (функцией), амплитуда выходного сигнала уменьшается звеном примерно в пять раз, то есть, нам становится известно и главное ганкелево число, приблизительно 1.8. Теоретически оно может находиться на АЧХ, так как максимальный коэффициент усиления системы на нулевой частоте равен 2, т.е. изначально он больше, а АЧХ идет вниз. Итерационный ганкелев эксперимент не снабжает нас никакой аналитикой, а лишь уверенностью в том, что собственные векторы существуют, и они не настолько недоопределенны, как сигналы на бесконечном интервале времени.

Ганкелевы числа для частично совмещенных интервалов. Наблюдать постепенный переход от ганкелевых чисел клетки H22 к ганкелевым числам всей клетки H (последовательным расширением нижнего правого блока) можно в матричном эксперименте.


%toolbox control, 
tick=?, if tick=0, 
t=time(1 20), N=10, D=[1 5], 
% ВЫЧИСЛЕНИЕ ГАНКЕЛЕВОЙ МАТРИЦЫ,
H=Hankel(N D t), n=colm(H), m=(n+1)/2, else,
H22=blocks(H m n m n), [V s]=eig(H22), m=m-1,
% ВЫДЕЛЕНИЕ МАКСИМАЛЬНОГО ГАНКЕЛЕВА ЧИСЛА,
diag(s), s={abs(s)}, s=??, s=max(s), s=?, 
if tick=1, % ПРОВЕРКА ЧИСЕЛ КРОСС-ГРАМИАНА,
h=Heig(N D), s=h[1], s=?, end,
% ВЫДЕЛЕНИЕ ГЛАВНОЙ ГАНКЕЛЕВОЙ ФУНКЦИИ,
% y={V[indexrow]}, end,
if m>-1, ticker(1000), end,

Построение начинается единственным отличным от нуля собственным числом выделенного матричного блока 0.85, которое дает удовлетворительное приближение к собственному значению 1 кросс-грамиана (с учетом достаточно грубого приближения бесконечномерной ганкелевой матрицы H матрицей 20-го порядка) и заканчивается графиком ганкелевых чисел. Конечное число ганкелевых чисел перераспределяется в спектр матрицы H - дискретный аналог АЧХ, которому отвечают соответствующие собственные или сингулярные векторы (функции).

Задача Штурма-Лиувилля. Собственные функции ведут свою историю от исследований уравнений колебания маятника, позднее - струны. Тогда и появилась эта терминология. В качестве простейшей математической модели маятника можно взять два интегратора, замкнутые отрицательной обратной связью. По виду - это схема итерационного эксперимента, только что рассмотренного выше. Поскольку система повторяет свою собственную функцию - то вход закольцован на выход. Требуется сделать одну оговорку. Для начала итераций на интеграторах нужно задать начальное условие, то есть, фактически речь идет о бесконечном интервале времени. Начальные условия периодически воспроизводятся, так что сугубо формально их можно отнести на бесконечно отдаленное прошлое. И считать рассматриваемую реакцию именно реакцией только на входное воздействие. Для нестационарных систем второго порядка задача изучена Ж. Лиувиллем и Ж.Ш.Ф. Штурмом еще в середине XIX века. Собственные функции, находимые из краевых условий, отвечают в этой редакции дифференциальному оператору или адекватному интегральному с ядром, называемым функцией Грина. Многочлены Лежандра и прочие ортогональные функции удобно классифицировать как собственные функции соответствующих операторов. Следует учитывать, что термины и признаки собственности появились из этих задач. Не следует ждать здесь соответствия более поздним воззрениям. Они дали толчок к обособлению тематики, проявившейся особенно ярко у матриц. У матриц нет такого фактора, как начальное условие. Но есть повторяемость.

Эрлангенская программа. Единая точка зрения на различные геометрии (например, евклидову, аффинную, проективную), сформулированная впервые Ф. Клейном на лекции, прочитанной в 1872 в университете г. Эрланген (Германия) и напечатанной в том же году под названием «Сравнительное обозрение новейших геометрических исследований». Выбирая по-разному группу преобразований, получим разные геометрии. Так, принимая за основу группу движений, мы придём к обычной (евклидовой) геометрии. Заменяя движения аффинными преобразованиями или проективными преобразованиями, придем к аффинной, соответственно, проективной геометрии. Основываясь на идеях А. Кэли, Клейн показал, что принятие за основу группы проективных преобразований, переводящих в себя некоторый круг (или произвольное коническое сечение), приводит к неевклидовой геометрии Лобачевского. Клейн ввёл в рассмотрение довольно широкий круг других геометрий, определяемых подобным же образом. Таким образом, выбор островков стабильности в течении преобразований, определил когда-то лицо новой геометрии, изучающей инварианты.

Цепи Маркова. Интеграторы - универсальная основа для моделирования собственных функций в несколько искусственной схеме. Довольно очевидно, что двойной интегратор сам по себе ими не характеризуется. Это характеристика замкнутой системы, воспроизводящей начальные условия, которые и есть, в таком случае, дискретные собственные векторы. Данное направление мысли проявляет себя при переходе от непрерывных систем к дискретным, а итерационный процесс, завершающийся главным собственным вектором, используется в цепях Маркова, т.е. в более позднем учении, отвечающим расцвету теории матриц.

Задача Булгакова. В свое время физик Дирак предложил дельта-функцию и импульсную весовую функцию, без которых трудно представить операционное исчисление. Б.В. Булгаков заметил, что, коль скоро, интеграл свертки представляет собой скалярное произведение инвертированной во времени импульсной весовой функции со входом, то максимизирующим его значением входа будет инвертированная во времени импульсная весовая функция. Так возникла задача Булгакова о максимальном отклонении. Но перевернутая во времени функция - это реакция ганкелева оператора. Иными словами, роль импульсной весовой функции на ограниченном интервале времени играет главная ганкелева функция.

Характеристика звена на конечном интервале времени. Расширяя и уточняя состав рассматриваемых операторов, ассоциированных с динамической системой (теплицев, ганкелев и т.д.) можно указать те из них, для которых задавать какие-то специально выставленные начальные или краевые условия не требуется. Тем не менее, краевые условия довольно легко выясняются и используются для поиска собственных функций. На конечном интервале времени двойной интегратор, как нетрудно убедиться, обретает не только собственные функции, но есть также главная собственная функция, отвечающая максимальному собственному числу. Помимо прочего, это характеристика звена, такая же, как импульсная весовая функция. Ее нужно уметь находить, и далее предлагаются методы - как это делать.



Rambler's Top100