Аналитический метод, опирающийся на передаточную функцию флипа. Частотный подход играет особую роль в теории динамических систем. Амплитудно-частотная (АЧХ) и фазо-частотная (ФЧХ) характеристики широко используются для задач анализа и синтеза. Однако обе они отвечают бесконечному интервалу времени приложения воздействия, тогда как все реальные системы работают конечное время.

Возникает естественное желание вывести аналоги частотных характеристик для конечного интервала времени и пояснить их связь с классическими. Далее показывается, что сингулярные числа оператора свертки (теплицевой матрицы системы) образуют дискретное множество, точки которого расположены на классической АЧХ (или ее обобщениях). Чем протяженнее интервал L, тем плотнее будут линии дискретного спектра. В отличие от теории сигналов, где это правило тоже известно, отсчеты на оси частот не являются регулярными. В отношении спектральных характеристик далее решаются три задачи.

Первая из них состоит в получении характеристического уравнения (или совокупности уравнений) для ганкелевых чисел - сингулярных чисел бесконечномерной ганкелевой матрицы. Соответствующий конечномерный аналог в теории матриц - это полином, здесь это будет трансцендентная функция, имеющая бесконечное (счетное) количество нулей.

Вторая задача связана с поиском аналитических соотношений между ганкелевыми числами и ганкелевыми функциями. В теории матриц немало примеров, в которых компоненты собственных векторов выражаются через собственные числа. Например, собственные векторы матрицы Фробениуса образуют матрицу Вандермонда, построенную с помощью собственных чисел. Тем более интересно отыскать такие соотношения для бесконечномерных матриц.

Третья задача состоит в поиске ганкелевых функций и установлению их связи с классическим частотным базисом. Частоты ганкелевой функции, назовем их парциальным спектром, связаны с топологическими особенностями АЧХ, порождающими парные точки на срезах резонансных пиков в соответствии с порядком системы. Если точек на срезах не хватает, строится продолжение АЧХ срезами соответствующего модуля вдоль дополнительных осей комплексной плоскости. Изучение областей локализации парциальных частот, подобных кругам Гершгорина для спектра матриц, существенно облегчает их поиск. Заметим, что на топологию АЧХ опирается также анализ устойчивости систем по Найквисту.

Иллюстрация. Заданием k - полочки для АЧХ, проецированием можно находить те частоты на диаграмме Боде, которые отвечают гармоникам сингулярной функции. Для звена второго порядка видно, что гармоник две (парные). Если срез возвращает количество точек, несоответствующее порядку системы, это признак наличия в ганкелевых функциях апериодических составляющих. Для удобства их поиска можно влево от оси частот откладывать показатель апериодических гармоник (не под углом 90 градусов, как на комплексной плоскости), тогда наглядно видны топологические особенности обобщенной АЧХ, порождающие парциальные частоты. Поиск ганкелевых функций сводится, таким образом, к поискам дискретных уровней, коэффициентов линейной комбинации и фаз гармоник, отвечающих экстремальным свойствам собственных векторов (функций) ганкелевой матрицы.


%toolbox control, 
N=1, D=[1 0 3], 
w=frequence(3), a={-w},   

% ВОЗНИКНОВЕНИЕ 
% ПАРНЫХ ЧАСТОТ НА СРЕЗЕ СОСТАВНОГО АЧХ,
b=bode(N D w),  b=sat(b 1), 
c=abode(N D a), a=flip(a), c=flip(c), 
a=a.concat(w),  c=c.concat(b), plot(a c),

Передаточная функция флипа. Для аналитического исследования задачи, помимо передаточной функции системы Q(p), нам потребуется передаточная функция, отвечающая флип-операции инверсии сигнала относительно середины интервала. Эта операция линейная, но нестационарная. Ей отвечает антидиагональная некаузальная матрица флипа F.

Нестационарные системы принято описывать параметрическими передаточными функциями, зависящими от коэффициента. Так, например, в методе Гольдфарба параметрическая передаточная функция линеаризуемого нелинейного элемента зависит от амплитуды входного сигнала. В данном случае передаточная функция зависит вида входного сигнала и, в частности, от его фазы.

Гармонический сигнал u(t)=sin(ωt+f), инвертированный на отрезке времени длиной L, не меняется по амплитуде, но сдвигается по фазе. Следовательно, амплитудная характеристика передаточной функции флип-матрицы равна 1, а фазовая описывается этой добавкой, в итоге имеем

QF(p)=eφ(ω,f), φ(ω,f)=π-ωL-2f.

В случае апериодических сигналов, описываемых гиперболической функцией, анализ фазовой характеристики приводит к сходному результату, но при гармонике появляется знак, который не может быть учтен сдвигом на π.

Краевые условия. Cобственные функции бесконечномерной ганкелевой матрицы удовлетворяют краевым условиям, которые можно получить из уравнений связи входного и выходного сигналов в ганкелевом эксперименте, описываемом

HS=kS,

где S - собственная функция H=TF, k - коэффициент усиления, т.е. собственное число.

Входной сигнал u=FS при этом зеркально симметричен выходному сигналу y=kS динамической системы и отличается лишь масштабным множителем k. Отсюда можно установить соотношения для начальных и конечных значений сингулярной функции и всех ее производных (в данном исключительном случае штрихом обозначено дифференцирование):

S(0)=0, kS'(0)=q(0)S(L), kS''(0)=q'(0)S(L)-q(0)S'(L), ..

Для периодических функций краевые условия переходят в условия для их частот и фаз, например, для инерционных систем второго порядка с q(0)=0, имеем S(0)=0, S'(0)=0, из первого условия сразу следует, что коэффициенты при гармониках соответствуют перекрестно взятым синусам фаз: S(t)=sin(f2)sin(ω1t+f1)-sin(f1)sin(ω2t+f2). Из второго условия получаем трансцендентное уравнение

ω1ctg(f1)-ω2ctg(f2)=0.

Помимо того, что масштабированием начала собственных функций S'(0)=q(0) (начальный наклон пропорционален начальному значению импульсной весовой функции, для инерционных систем масштабируется вторая производная и т.д.) можно получить интереснейший результат, состоящий в том, что хвосты собственных функций заметают спектр

S(L)=k.

Таким образом, собственные функции бесконечномерной ганкелевой матрицы H или сингулярные функции бесконечномерной матрицы T (сингулярные функции динамической системы), обладают поразительным качеством, наблюдаемым в построениях у матриц Вандермонда.

Характеристическое уравнение. Рассмотрим уравнения, ведущие к получению характеристического уравнения бесконечномерных матриц и аналитических выражений для их собственных и сингулярных (для теплицевой матрицы системы) функций соответствующих их дискретному спектру.

Это отвечает обобщению частотной теории финитных динамических систем, т.е. систем, рассматриваемых на конечном отрезке времени длиной L.

1. Уравнение амплитудного баланса имеет вид

A(ω)=|k|,

где A(ω) - амплитудно фазовая характеристика (модуль Q(p), p=jω). Оно употребляется, если область локализации корней гармоник, составляющих собственную функцию, находится на мнимой оси.

Передаточная функция Q(p) отвечает теплицевой матрице T, поэтому для перехода в частотную область в общем случае рассматривается уравнение

TT'S=k2S,

где сопряженная теплицева матрица T' - антикаузальная матрица Сильвестра, построеная на функции, инвертированной во времени по отношению к импульсной весовой функции q(t). Корни числителя и знаменателя передаточной функции ее зеркально симметричны отноcительно мнимой оси, если сравнивать с корнями исходной функции. Иными словами, ей отвечает передаточная функция Q(-p).

Это вводит в рассмотрение некоторую обобщенную амплитудно-фазовую характеристику R(p)=Q(p)Q(-p), определенную на всей комплексной плоскости, т.е.

Q(p)Q(-p)=k2,

срез модуля R(p) вдоль мнимой оси дает квадрат привычной АЧХ, а вдоль вещественной оси: аналогичную характеристику для экспоненциальных и гиперболических составляющих.

В общем же случае таких осей может быть и больше. Так или иначе, но уравнение амплитудного баланса позволяет вычислить зависимости собственных частот ω(k) от значений коэффициента усиления.

2. Уравнение фазового баланса для H=TF констатирует, что суммарный фазовый сдвиг, вносимый системой и флипом, должен соответствовать знаку коэффициента передачи

P(ω)+φ(ω,f)=arg(k),

где P(ω) - фазовая характеристика системы, φ(ω,f) - фазовая характеристика флипа, фаза arg(k)=0, если k>=0 и arg(k)=π при отрицательном k.

Подставляя частоты в уравнение фазового баланса, получаем зависимость фаз гармоник f=f(k) от коээфициента передачи.

3. Краевые условия порождают то уравнение связи частот ω(k) и фаз f(k) гармоник собственной функции, которое будет характеристическим

χ(ω(k),f(k))=0.

В этом последнем уравнении (или системе уравнений, если не удается свести все к одному уравнению) учтены, тем самым, все три составляющие - уравнения амплитуд, фаз и краевые условия.

Локализация частот и число гармоник. В теории автоматического управления существует тема локализации собственных значений матрицы, упрощающая их поиск и анализ систем. То же самое относится к собственным частотам, определяющим коэффициенты характеристического полинома бесконечномерной матрицы и гармоники сингулярной функции.

Для локализации значений показателей гармоник p, на которых получается решение, заметим, что если R(p)=Q(p)Q(-p)=k2, то это отвечает уравнениям

Im(R(p))=0, Re(R(p))=k2>=0.

Амплитудно-фазовая характеристика динамической системы определяется этой функцией A(ω)=√R(jω), так что если частоты гармоник находятся на мнимой оси, искомые сингулярные числа T (модули собственных значений H) в точности лежат на АЧХ. В общем, их квадраты расположены вдоль сечений R(p) областями локализации, удовлетворяющим выписанным полу-равенствам.

С учетом Q(p)=a(p)/b(p), конечное характеристическое уравнение для парциальных частот гармоник, составляющих сингулярную функцию, имеет вид

k2a(p)a(-p)-b(p)b(-p)=0,

в него входят четные степени p, поэтому расположение корней на комплексной плоскости характеризуется центральной симметрией. Линии, проходящие через них, удовлетворяют выписанным выше условиям локализации.

Общее число корней равно 2n, после их попарного объединения получаем n гармоник. Так как k неизвестно, гармоники непосредственно из уравнения амплитудного баланса найти невозможно, но это путь к зависимостям частот от амплитуд, приводящий, в конечном итоге, к трансцендентному характеристическому уравнению, решение которого замыкает задачу.

Важным является то обстоятельство, что спектр бесконечномечной матрицы дискретен, а число гармоник, составляющих ее сингулярные функции, конечно и равно порядку системы n.

Топология АЧХ. Реальные системы, как правило, действуют на ограниченном времени, и, следовательно, дискретное АЧХ несет значительно более информативные сведения о поведении системы.

Резонансные пики непрерывной АЧХ не определяют резонансных свойств объекта на ограниченном интервале времени. Чем меньше интервал времени, тем реже точки дискретной АЧХ интерполируют ее экстремальные склоны, тем меньше сказывается влияние резонансов. В частности, у консервативных систем появляется конечный достижимый ими максимум, отражаемый главным ганкелевым числом. Сдвоенные склоны резонансных участков порождают при дескритизации парные гармоники. 'Однобокие' склоны амплитудно-частотной характеристики систем отвечают одиночным составляющим. Гиперболические гармоники характерны для неустойчивых систем, число таких функций ограничено и они могут отсутствовать, если временной интервал мал.

Численные методы вычисления дискретной амплитудно частотной характеристики динамической системы связаны с решением проблемы собственных значений для приближений ганкелевой матрицы матрицами высоких порядков, что негативно сказывается на точности результатов. Для более эффективных решений необходимо получать характеристическое уравнение, связывающее собственные значения бесконечномерной матрицы Ганкеля (алгебраические сингулярные числа теплицевой матрицы T). Оно интересно также как обобщение характеристического уравнения обычных матриц.

Кроме того, отдельный самостоятельный интерес представляют характеристические уравнения для типовых звеньев теории динамических систем, таких как интегратор, апериодическое звено, колебательное звено и т.д.


%toolbox control, 
N=1, D=[1 0 1], 
% ВИД АЧХ С ОГРАНИЧЕНИЕМ НА УРОВНЕ ГЛАВНОГО ГАНКЕЛЕВА ЧИСЛА,
w=frequence(1.5), a=bode(N D w), k=7.426,  a=sat(a k), plot(w a),



Rambler's Top100