Консервативное звено.

Характеристическое уравнение. Характеристическое уравнение консервативного звена c передаточной функцией Q(p)=1/(p2+1) имеет вид

ω1tg(ω1L/2)+ω2ctg(ω2L/2)=0.

где ω1=(1-1/|k|)½, ω2=(1+1/|k|)½. График характеристической функции для отрезка времени L=10*π/√2=22.3 приведены на рисунке справа, т.е. 1<|k|<10:

По мере приближению к началу координат точки спектра сгущаются и становятся неразличимыми, значения первых трех корней характеристического уравнения для этого диапазона равны 7.43 (главное сингулярное число, лежит на непрерывной АЧХ, рисунок слева), далее 2.32 и 1.55.

Альтернативные формы. Тригонометрические зависимости можно записывать в альтернативных формах, они отличаются разной численной устойчивостью, например, tg(ω1L/2)tg(ω2L/2)+ω21=0 или ω1sin(ω1L/2)sin(ω2L/2)+ω2cos(ω2L/2)cos(ω1L/2)=0.


%toolbox control, 

F=chf(10 22.3 1000), 
k=F[0], f=F[1], f=sat(F[1] 5), plot(k f),  

% ПОИСК ГАНКЕЛЕВЫХ ЧИСЕЛ,

r=roots(k f 0.1), r=?,

function: chf(k L points),
% return characteristic function,
var k L m, L=L/2, m=abs(k)-1, 
points=points+1, t=time(m points), t={1+t}, if k<0, t={-t}, end,
% f=fun(sqrt(1-1/t)*tan(sqrt(1-1/t)*L)+sqrt(1+1/t)/tan(sqrt(1+1/t)*L)),
% f=fun(tan(sqrt(1-1/t)*L)*tan(sqrt(1+1/t)*L)+sqrt(1+1/t)/sqrt(1-1/t)),
 f=fun(sqrt(1-1/t)*sin(sqrt(1-1/t)*L)*sin(sqrt(1+1/t)*L)+sqrt(1+1/t)*cos(sqrt(1-1/t)*L)*cos(sqrt(1+1/t)*L)),
F={[t f]},
return F,
end,

В диапазоне отрицательных значений наибольшее по абсолютной величине число -6.8 уступает главному ганкелевому числу, следующее равно -2.5.


%toolbox control, 

F=chf(-10 22.3 1000), 
k=F[0], f=F[1], f=sat(F[1] 2), plot(k f),  

% ПОИСК ГАНКЕЛЕВЫХ ЧИСЕЛ,

r=roots(k f 0.1), r=?,

function: chf(k L points),
% return characteristic function,
var k L m, L=L/2, m=abs(k)-1, 
points=points+1, t=time(m points), t={1+t}, if k<0, t={-t}, end,
% f=fun(sqrt(1-1/t)*tan(sqrt(1-1/t)*L)+sqrt(1+1/t)/tan(sqrt(1+1/t)*L)),
 f=fun(sqrt(1-1/t)*sin(sqrt(1-1/t)*L)*sin(sqrt(1+1/t)*L)+sqrt(1+1/t)*cos(sqrt(1+1/t)*L)*cos(sqrt(1-1/t)*L)),
F={[t f]},
return F,
end,

Замечание по топологии дискретной АЧХ. У системы второго порядка спектральным точкам отвечают ганкелевы функции, состоящие из двух гармоник, для больших коэффициентов усиления синусоидальных.

S(t)=sin(f2)sin(ω1t+f1)-sin(f1)sin(ω2t+f2).

Отсутствие левого склона АЧХ при коэффициентах k, меньших единицы, можно компенсировать присоединение слева среза обобщенной АЧХ вдоль вещественной оси. Такая интерпретация будет по прежнему описывать парные составляющие, одна из которых - экспоненциальная. Это достаточно общий метод.

Вывод основных закономерностей. С точки зрения простоты и наглядности анализа консервативные системы представляют собой наилучший пример, поскольку им отвечают обычные гармоники собственных функций, а значит, дискретный спектр динамической системы для ограниченного интервала времени у них в основном лежит на АЧХ.

Начнем с локализации частот, составим R(p)=Q(p)Q(-p)=1/(p2+1)2, пусть p=α+jω, тогда

R(α+jω)=1/(α22+1+2jαω)2=k2.

Мнимая часть этой функции равна нулю, если α или ω равны нулю, то есть в расчет берется либо мнимая (гармоники - парные синусоиды), либо вещественная оси. Других гармоник быть не может.

Уравнение амплитудного баланса для старших гармоник (|k|>1) имеет вид

R(jω)=1/(1-ω2)2=k2.

Отсюда получаем зависимости ω1=(1-1/|k|)½, ω2=(1+1/|k|)½, которые следует подставить в уравнение фазового баланса

P(ω)+π-ωL-2f=arg(k),

где P(ω)=arg(1-ω) - фазовая характеристика звена, описывающая инверсию фазы по двум сторонам особой точки ω=1 (равна 0 и π соответственно). В частности P(ω1)=0, P(ω2)=π. Отсюда получаем фазы двух гармоник:

f1=(π-ω1L)/2, f2=-ω2L/2 (если k>1), f1=-ω1L/2, f2=(π-ω2L)/2 (если k<-1).

Полученные частоты и фазы следует подставить в уравнение для краевых условий

ω1ctg(f1)-ω2ctg(f2)=0,

что приводит к характеристическому уравнению, указанному выше.



Rambler's Top100