Апериодическое звено.

Характеристическое уравнение. Для поиска ганкелевых чисел апериодического звена с передаточной функцией Q(p)=1/(p+c) проще обратиться к тангенциальной форме характеристического уравнения

tg(ωL)+ω/c=0,

где ω=(1/k2-c2)½. При численном решении нелинейных уравнений точность определения корней зависит как от используемого метода, так и от крутизны фронтов, поэтому с вычислительной точки зрения это и прочие такие уравнения, например, формы cos(ωL)ω/c+sin(ωL)=0 или cos(ωL)+sin(ωL)c/ω=0, неэквивалентны.

Аппроксимационные формулы. Помимо точных формул для определения главного ганкелева числа возможно выведение содержательных простых аппроксимационных зависимостей, например, подымающийся косинус: cos(ωL)+kс=0.

Главная ганкелева функция. Корням характеристического уравнения отвечают синусоидальные ганкелевы функции Si(t)=sin(ωit), где ωi=(1/ki2-c2)½. Анализ в условиях, отвечающих прежним экспериментам, возвращает главное ганкелево число k=0.177, т.е. приблизительно 1.8 при коэффициенте усиления звена 10, полученное ранее итерационным путем. Можно сравнить и графики главной ганкелевой функции этих двух подходов:


%toolbox control, 

F=cht(0.2 1 5 1000),  
k=F[0], k=block(F[0] 100 930), 
f=F[1], f=block(F[1] 100 930), f=sat(f 10), g=[k f], plot(g),  

% ЧИСЛЕННЫЙ ПОИСК ГАНКЕЛЕВЫХ ЧИСЕЛ,

r=roots(k f 0.1), r=?,

function: cht(k L c points),
% return characteristic function,
var t L m,  m=abs(k), points=points+1, t=time(m points), 
% f=fun(PI-atan(sqrt(1/t/t-c*c)/c)-sqrt(1/t/t-c*c)*L), 
% f=fun(sqrt(1/t/t-c*c)/c+tan(sqrt(1/t/t-c*c)*L)),
% f=fun(cos(sqrt(1/t/t-c*c)*L)*sqrt(1/t/t-c*c)/c+sin(sqrt(1/t/t-c*c)*L)), 
% f=fun(cos(sqrt(1/t/t-c*c)*L)+c*sin(sqrt(1/t/t-c*c)*L)/sqrt(1/t/t-c*c)),
  f=fun(cos(sqrt(1/t/t-c*c)*L)*sqrt(1/t/t-c*c)+c*sin(sqrt(1/t/t-c*c)*L)),  
% f=fun(cos(sqrt(1/t/t-c*c)*L)+t*c), 
F=[t f], return F,
end,

Расчет главного ганкелева числа. Альтернативная форма характеристического уравнения при положительных значениях k имеет вид

arctg(ω/c)+Lω=π, arth(α/c)+Lα=0.

В численном анализе уравнения обычно учитывается только основное значение арктангенса, поэтому и число возвращается одно (главное). Неустойчивая систем на отрезке L>c, помимо синусоидальных имеет гиперболическую ганкелеву функцию, причем, только одну и она же - главная ганкелева функция S(t)=sh(αt), где α=(c2-1/k2)½. Ее параметр устанавливается из второго уравнения.


%toolbox control, 

L=1, c=5, F=cha(0.3 L c 1000), 
k=F[0], f=F[1], f=sat(F[1] 5), g=[k f], plot(g),  

% ЧИСЛЕННЫЙ ПОИСК ГЛАВНОГО ГАНКЕЛЕВА ЧИСЛА,

r=roots(k f 0.01), r=?,

% ЧАСТОТА И ГЛАВНАЯ ГАНКЕЛЕВА ФУНКЦИЯ,

w=sqrt(1/r/r-c*c), w=?, t=time(L), f=fun(sin(w*t)), % f=??, 

function: cha(k L c points),
% return characteristic function,
var t L m,  m=abs(k), points=points+1, t=time(m points), 
f=fun(PI-atan(sqrt(1/t/t-c*c)/c)-sqrt(1/t/t-c*c)*L), 
F=[t f], return F,
end,

Вывод основных закономерностей. Звенья первого порядка сложнее для анализа наличием гиперболических гармоник в ганкелевой функции. Сначала локализуем парциальный спектр ганкелевых функций, составим квадрат обобщенной АФХ в виде R(p)=Q(p)Q(-p)=1/(с2-p2)2, пусть p=α+jω, тогда

R(α+jω)=1/(c222-2jαω)2=k2.

Мнимая часть этой функции равна нулю, если αω=0, т.е. парциальный спектр сосредоточен на вещественной и мнимой осях комплексной плоскости. В первом случае ганкелева сингулярная функция представляет собой гиперболическую зависимость S(t)=sh(αt+f), во втором - синусоиду S(t)=sin(ωt+f).

Вещественная часть R(d) больше или равна нулю, т.е. c2>=α2. Отсюда делаем вывод, что допустимая область вещественной оси ограничена отрезком длиной 2с. Для интегратора этот отрезок стягивается в точку, интегратор имеет только синусоидальные гармоники.

Уравнения амплитудного баланса для синусоидальных и гиперболических гармоник (второе из них справедливо для ганкелевых чисел, превышающих статический коэффициент усиления звена) имеют вид

R(jω)=1/(c22)2=k2, R(α)=1/(c22)2=k2.

Отсюда получаем зависимости ω=(1/k2-c2)½, α=(c2-1/k2)½, которые следует подставлять в уравнение фазового баланса. Фазовая характеристика имеет вид P(ω)=-arctg(ω/c). Аналогичная ей гиперболическая фазовая характеристика P(α)=-arth(α/c) не описывает смену знака гармоники при с<0 (знак в данном случае не может быть учтен при помощи числа π).

Из фазо-частотного уравнения (нулевых начальных условий) следует, что f=0. Поэтому фазовые характеристики флип-оператора имеют вид φ(ω)=π-ωL и φ(α)=-αL, последняя формула не учитывает смену знака гармоники при с<0, знак выписывается отдельно. Отсюда получаем пару уравнений фазового баланса для периодического и апериодического режимов

-arctg(ω/c)+π-ωL=arg(k), -arth(α/c)-αL=0,

которые, после подстановки частот, порождают характеристические уравнения. С гиперболической функцией линия пересекается при c<0 в одной точке. Следовательно, гиперболическая гармоника может быть только у неустойчивого звена и только одна, при условии еще, что L>c. Прочие гармоники синусоидальные.



Rambler's Top100