Интегратор.

Характеристическое уравнение. Характеристическое уравнение интегратора имеет вид

cos(L/|k|)=0,

сингулярные числа вычисляются аналитически σi=|ki|=L/(π/2+iπ), i=0,1.. Максимальный коэффициент усиления по квадратической норме сигнала интегратора 2L/π достигается на главной ганкелевой функции звена S(t)=sin(ω0t), представляющей собой четверть синусоиды, целиком умещающейся на заданном отрезке времени L. Дискретный спектр лежит на АХЧ и отвечает частотам ωi=(1/σi)=(1/2+i)π/L, обратно пропорциональным диапазону. Чем меньше L, тем реже отметки σi размещены на непрерывной АЧХ.


L=1, t=time(L 40), w=line(t), 
w={0.5+w}, w={PI*w}, w={w/L}, s={1/w}, s=??, 

s[0]=?, s[1]=?, 

% РАСЧЕТ ГЛАВНОЙ ГАНКЕЛЕВОЙ ФУНКЦИИ,
t=time(1), y=fun(sin(w[0]*t)), % y=?,

Дискретный спектр интегратора и его главная ганкелева функция приведены на рисунках. Обратим внимание, что сингулярная функция отличается от переходной функции этого звена довеском (закрашено другим цветом), сообщающим ей оптимальные свойства: отношение квадратичных норм сигналов на входе и на выходе звена у сингулярной функции наибольшее и равно 2L/π - первому столбику дискретной АЧХ. Следующие столбцы отвечают младшим резонансным тонам. На малом отрезке времени характеристика становится пологой и интегратор становится отчасти похожим на усилитель.

Ганкелевы сингулярные функции апериодического звена - синусоиды, на отрезке умещается более четверти периода (ср. предыдущая страница).

Проверка. Проверим расчет ганкелевых функций численным методом, посчитав спектр и сингулярные векторы симметрической ганкелевой матрицы. Теоретически следующая после главной сингулярная функция должна укладываться на отрезок расчетного времени 2/3 своего периода.


%toolbox control, N=1, D=[1 0], 
% ВЫЧИСЛЕНИЕ ГАНКЕЛЕВОЙ МАТРИЦЫ И ЕЕ СПЕКТРА,
t=time(1 20), H=Hankel(N D t), [V s]=eig(H),
% ПЕРВЫЕ ГАНКЕЛЕВЫ ЧИСЛА,
diag(s), s[0]=?, s[1]=?, 
% ВЫДЕЛЕНИЕ ГАНКЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ,
V={-1*V}, g1={V[0]}, g2={V[1]}, 
t=line(g1), plot(t [g1 g2])

В данном случае, независимым численным методом получаем предсказанный теорией результат.



Rambler's Top100