Эквивалентные преобразования динамических систем. Рассмотрим линейное невырожденное преобразование координат x=Tz системы

x'=Ax+bu, y=cx,

которое приводит ее к виду

ż=T-1ATx+T-1bu, y=cTx,

с новыми матрицами T-1AT, T-1b, cT. На вход-выходных соотношениях преобразование не сказывается, поэтому и называется эквивалентным. Выбором T можно упрощать вид преобразуемых матриц, сводя число параметров в них к числу параметров передаточной функции Q(p)=b(p)/a(p). В таком случае уравнения системы называют каноническими.

Каноническая жорданова форма. Эта форма опирается на жорданово разложение матрицы A=TDT-1, где D=diag(λ1, λ2, ... , λn) - диагональная матрица собственных значений, T - столбцовая матрица собственных векторов A, которые нормируются так, чтобы вектор T-1b состоял из единичек. Эта каноническая форма отвечает разложению передаточной функции на элементарные дроби

Q(p)=c1/(p-λ1) + c2/(p-λ1) + ... + cn/(p-λn),

где вычеты (коэффициенты знаменателей) образуют cT=(c1 c2 ... cn). В альтернативном варианте нормируются элементы матрицы выхода. Структурно каноническая жорданова форма соотведствует параллельному включению соответствующих апериодических звеньев.

Каноническая фробениусова форма. Включает в себя большее число разновидностей и опирается на фробениусово разложение матрицы А=TFT-1, где

F =

0

...

0

-a0

1

...

0

-a1

:

:

...

:

0

...

1

-an-1

матрицей циклической последовательности T=[x, Ax, A2x, ..., Anx], где относительная произвольность назначения вектора x используется для приведения к единичному орту преобразованного вектора входа: каноническая столбцовая форма управляемости x=b, T=Wc, T-1b=(1 0 ... 0)'. Коэффициенты фробениусовой матрицы с точностью до знака равны коэффициентам знаменателя передаточной функции, при условии, что старший коэффициент приведен к 1. Преобразованный вектор входа связан с вектором N коэффициентов числителя b(p), заданных в естественном порядке, от старшего к младшему, усеченной матрицей Сильвестра N=ST'c', где

S =

1

...

0

0

an-1

...

0

0

:

:

...

:

a1

...

an-1

1

Вектор состояния связан линейным преобразованием со взвешенной разностью векторов Y и U, содержащих текущие значения сигналов входа и выхода и их последовательных производных x=T-1(Y-LU), L=S([0 cT]) - вторая усеченная матрица Сильвестра, построенная на коэффициентах выхода.


%toolbox control, 
n=4, A=rands(n), b=rand(n),  c=rand(n), 
% A=[0 1; -2 -1], % b=[0 1], % c=[1 0], 

T=ctrb(A b), F={T\A}, F={F*T},   
n=size(F), D={F[n]}, D={-D}, D={[D 1]}, D=flip(D), 
S=convolution(D),  S=blocks(S 0 n 0 n), 
N={T'*c}, N={S*N}, N=?, D=?,

sys=ss(A b c), t=time(5), u=one(t), 
y1=lsim(sys u(t)), 
y2=lsim(N D u(t)), plot([t y1 y2]),

Переход от передаточной функции к уравнениям пространства состояний. Заметим, что если включить матрицу Сильвестра S в эквивалентное преобразование координат TS', то коэффициенты преобразованного вектор выхода сразу будут равны коэффициентам числителя передаточной функции. На вектор входа такое преобразование не влияет, а матрица Фробениуса поворачивается на 90 градусов, занимая коэффициентами знаменателя передаточной функции верхнюю строку. Перенумерацией отсчетов вектора состояния в инверсном порядке (флипом) столбцовая каноническая форма переводится в строчное свое представление с матрицей Фробениуса вида

F =

0

1

...

0

:

:

...

:

0

0

...

1

-a0

-a1

...

-an-1

где вектор входа - нижний орт, а вектор выхода содержит коэффициенты числителя передаточной функции (в инверсном порядке) b0 b1 ... bn-1.

Это обосновывает элегантное решение обратной задачи - переход от передаточной функции к уравнениям пространства состояний выписыванием строчной канонической формы. Никаких выкладок при этом делать не нужно. Достаточно знать, что такое решение существует и не перепутать порядок выписывания коэффициентов.


%toolbox control, 
n=4, A=rands(n), b=rand(n),  c=rand(n), 
call T=ctrb(A b), call F=ss2tf(A b c), 

D={F[1]}, n=size(A),  
S=convolution(D), S=blocks(S 0 n 0 n), 
tr(S), T={T*S}, T=flip(T), F={T\A}, F={F*T}, 
N={T'*c}, N=flip(N), % inversed,  

sys=ss(A b c), t=time(5), u=one(t), 
y1=lsim(sys u(t)), 
y2=lsim(N D u(t)), plot([t y1 y2]),

Каноническая форма наблюдаемости. Строится на основе инверсной матрицы наблюдаемости T=Wo-1, Wo=[c; cA; cA2; ... cA(n-1)]. Отличается от канонической формы управляемости приведенным выше строчным видом матрицы Фробениуса. К единичному орту приводится вектор выхода, а не входа, причем N=ST-1b. Выражение для нахождения вектора состояния самое простое x=Y-LU, L=S([0 cT]), векторы Y и U содержат текущие значения сигналов входа и выхода и их производные.

Дополнительное эквивалентное преобразование с инверстной матрицей S, приводит вектор входа к значению вектора параметров числителя передаточной функции N, а для того, чтобы столбцовая матрица Фробениуса имела тот же вид, что и у канонической формы управляемости, необходимо выполнить перенумерацию переменных вектора состояния в инвесном порядке с соответствующим последствием для размещения единицы в орте вектора выхода на последнем месте. Вектор входа при этом будет содержать параметры числителя инверсно: b0 b1 ... bn-1.

Редуцирование. Отметим, что эквивалентное преобразование координат можно выполнять и с редуцированными (прямоугольными) матрицами управляемости и наблюдаемости. Операция инверсии матрицы T при этом заменяется на псевдоинверсию, а формулы преобразования приводят к тройке A, b, c матриц системы пониженного порядка. Это обстоятельство редко замечают, хотя алгоритмически это легко осуществляемая редукция, имеющая очевидный смысл при плохой обусловленности матриц управляемости и наблюдаемости, состоящий в устранении мало управляемых и плохо наблюдаемых подсистем.

Многосвязные системы. Редуцирование фробениусовых клеток многосвязных систем до размеров субблоков, отвечающих помещенным в матрицу T циклическим последовательностям, происходит естественным образом, поскольку матрица управляемости (наблюдаемости) перестает быть квадратной и возникает вопрос неизбежного выбора наиболее предпочтимых столбцов (строк) для формирования T. Внедиагональные блоки F отличаются отсутствием характерной для матрицы Фробениуса единичной субматрицы. Структура (размеры клеток) разрешается неоднозначно, и довольно много внимания было уделено толкованию, а какой именно вариант предпочесть. Разумеется, хорошо обусловленный вариант будет вполне приемлемым, если нет дополнительных соображений. Сильвестровы матрицы тоже делятся на субблоки и содержат параметры соответствующих передаточных функций, отвечающих матричному описанию многосвязной системы, внедиагональные блоки дополняются нулями или усекаются, в зависимости от выбранной конфигурации. Существенно нового эти структуры не приносят.



Rambler's Top100