МОДАЛЬНЫЙ СИНТЕЗ

Процедура анализа собственных значений, называемая eig(A), обыденна в практике матричных вычислений. Синтез не заслужил еще такой силы обобщения, как собственная функция. Данная работа обращает внимание на то, что обе эти проблемы связаны. Предварительный анализ многое определяет в последующем синтезе.

УРАВНЕНИЯ АНАЛИЗА И СИНТЕЗА СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ

Однородное уравнение полной алгебраической проблемы собственных значений имеет вид

(A-dE)v=0,


где d - собственное значение матрицы А, удовлетворяющее характеристическому полиному det(A-dE)=0, v - собственный вектор матрицы A.

Неоднородное уравнение значительно более редко встречается в математической литературе

(A-dE)v=b,

вектор b определен в пределах некоторого линейного подпространства, b=Bm.

В том случае, когда b=0 и d выбран как корень характеристического уравнения A, задача сводится к отысканию собственных векторов матрицы A. Если b равно собственному или корневому жорданову вектору A, отвечающему кратному собственному значению d, решением задачи являются корневые жордановы векторы.

При произвольно назначаемом спектре решением задачи являются собственные векторы матрицы

Q=A-BK,

отличающейся от A аддитивной составляющей.

Первая задача известна как задача анализа, вторую уместно называть задачей синтеза. Прикладное ее значение выходит за рамки данного исследования, однако стоит отметить, что в теории управлении она встречается при синтезе модальных регуляторов.

Решением неоднородного уравнения является векторная резольвента v=(A-dE)-1b. Точки разрыва ее отвечают собственным векторам матрицы A. В общем же она является годографом для собственных векторов синтезируемой матрицы Q=A-BK.

Несложно показать, что в одномерном случае B=b, матрица K равна сумме левых собственных векторов Q, отвечающих ее отличным от спектра матрицы A собственным значениям. Напомним, что левыми собственными векторами являются вектор-строки матрицы V-1, обратной по отношению к матрице столбцов собственных векторов V.

РЕШЕНИЕ ПОЛНОЙ ПРОБЛЕМЫ

Для одномерных задач, когда B=b для всех значений d, столбцы искомой матрицы собственных векторов V заведомо линейно независимы между собой в силу известных свойств резольвенты А, частным значениям которой они равны. Покажем, чему при этом равна K.

Система неоднородных уравнений в матричной форме имеет вид

AV-VD=[b b ... b], или A-Q=[b b ... b]V-1.

Так как Q=A-bK, имеем bK=[b b ... b]V-1, вынося b за скобки и избавляясь от него, получаем K=[1 1 ... 1]V-1, т.е. вектор-строка K равна сумме левых векторов Q.

В вырожденных случаях, при совпадении части собственных значений матриц A и Q, единицы заменяются нулями, что гарантирует разрешимость задачи. Как видно, в сумму входят тогда только левые собственные векторы, отвечающие отличным от спектра матрицы A собственным значениям.

И в самом общем случае, матрица K равна взвешенной сумме левых собственных векторов Q, отвечающих ее отличным от спектра матрицы A собственным значениям.

ВАРИАЦИЯ ОДНОГО СОБСТВЕННОГО ЗНАЧЕНИЯ

При изменении только одного собственного значения, матрица K равна соответствуюшему левому собственному вектору Q.

Однако в многомерном случае его можно еще и выбирать, оптимизируя K, поскольку v=(A-dE)-1b, b=Bm, m - нормированный вектор варьируемых коэффициентов.

В данном случае BK=[Bm 0... 0]V-1, избавляясь от B, приходим к выводу, что K равна произведению множителя m на левый собственный вектор матрицы Q (первую строку V-1). Учтем, что V-1V=E, а часть V, отвечающая неизменяемым собственным значениям Q, составляют собственные векторы матрицы A.

Следовательно левые собственные векторы матриц A и Q, отвечающие варьируемому собственному значению, ортогональны прочим собственным векторам A, т.е. они коллинеарны между собой. В случае точечной вариации спектра V-11=kT-11, где T-11 - левый нормированный собственный вектор A (вектор строка).

Так как V-1V=E, то V-11V1=1, первый собственный вектор V1=(A-dE)-1b, имеем V-11(A-dE)-1b=1. Учитывая ортогональность V-11 собственным векторам A, последнее выражение упрощается до V-11b/(a-d)=1, a - собственное значение A. Заменим V-11 на kT-11, отсюда получаем, что

k=(a-b)/T-11b.

Матрица K равна левому собственному вектору Q, т.е. K=kT-11, k - это норма корректирующих матрицу A коэффициентов. Минимальное по норме решение соответствует случаю максимальному значению делителя T-11b, т.е. максимуму скалярного произведения T-11B и m, где m - вектор-строка произвольно назначаемых коэффициентов. Оптимум достигается на значении m=(T-11B)T.

МЕРЫ ДОМИНИРОВАНИЯ

Полученное решение имеет тот смысл, что норма k прямо пропорциональна изменению спектра и обратно пропорциональна множителю T-11b. Чем больше последний, тем меньшими усилиями изменяется спектр. Этот коэффициент можно постулировать как меру доминирования собственного значения - величину, обратную минимальной норме матрице K, которой достигается смещение. Если этот коэффициент стремится к нулю, изменить спектр весьма сложно.

Автору системных критериев управляемости и наблюдаемости Калману принадлежит и теорема о возможности произвольного назначения спектра линейной динамической системы, породившую неоправданные спекуляции в области построения модальных регуляторов. Если дополнить системные критерии близкими к ним по смыслу мерами управляемости и наблюдаемости (нулевая мера означает невыполнение критерия Калмана), то картина получается значительно более полной.

В то же время указанные меры отвечают одинарным или небольшим изменениям собственных значений, поэтому определенное значение приобретают итерационные алгоритмы постепенного изменения собственных значений с ориентацией на меры. Принцип дуальности Калмана позволяет рассчитывать как меры управляемости, так и меры наблюдаемости. Данная прикладная сфера теории анализа и синтеза собственных значений недостаточно развита и неоправданно мало известна в научной литературе.



Rambler's Top100