ШКОЛЬНИКУ




Леонард Эйлер – автор одной из первых книг по дифференциальным уравнениям


ЧТО ТАКОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ


Эйлер начинает свою книгу по дифференциальным уравнениям так – "трудно объяснить, что такое дифференциальное исчисление и вообще анализ бесконечно малых тому, кто его совсем не знает" (действительно, трудно). Далее показывает принципиальную множественность решений дифференциальных уравнений: тогда он был один из первых, кто рисковал заплывать в такие вариативные дали. Перевод с латинского книги дает некоторое представление о том, как выглядел предмет на момент самого зарождения его, до того, как поколения методистов не отсекут все "лишнее", с тем, чтобы проще было его обозреть.

Итак, что такое дифференциальное уравнение? Рассмотрим выражение

y(t)=t,


оно задает линию – функцию y(t), изображенную на рисунке.


Довольно очевидно, что если масштабы по обоим осям задать равные, эта линия будет проходить под углом

α=45°,


вторую запись можно рассматривать как уравнение для того же объекта. Это уравнение одно, но оно разительно отличается от первого тем, что ему удовлетворяют также иные линии, проходящие с таким же углом наклона.


Осталось сопоставить это с тем, что производная функции равна тангенсу угла наклона y'=tg(α) (школьное знание), следовательно, дифференциальное уравнение

y'(t)=1,



эквивалентно геометрическому условию α=45°, поскольку tg(45°)=1.

Дифференциальное уравнение похоже на ребус, оно описывает решение косвенно и неполно. Именно поэтому ему удовлетворяют не одно, а множество решений. Для того, чтобы обособить одно решение, надо постараться. Скажем, описать еще одним уравнением точку, через которое линия проходит, задав y(0)=0 (начальное условие) или y(1)=1 (краевое условие).

Почему эти неудобные, в общем, похожие на загадки уравнения про "наклоны" прижились? Срабатывает принцип экономии. Описывать то или иное явление функцией, как это делал Кеплер в астрономии при описании особенностей планетного движения, неудобно, если рассматривать движение из разных начальных условий.

Каждому начальному условию будет отвечать своя траектория. Называя все траектории планет эллипсами – Кеплер уже выполнил шаг к обобщению. Ньютон и Лейбниц ввели в обиход дифференциальную форму, в которой (например) вращение Луны вокруг Земли и падение камня или снаряда (Ньютон довольно много занимался артиллерийскими расчетами) описывалось одним и тем же дифференциальным уравнением.

Знаменитая формула Ньютона

my''=F,


с точки зрения геометрии описывает такую вещь, как угол угла наклона траектории. Возможные решения зажимаются таким неконкретным условием столь слабо, что для нахождения траектории нужно задавать как начальную высоту y(0), так и начальную скорость y'(0).

Лейбниц многое сделал для того, чтобы решения из дифференциальных уравнений получались применением набора простых для запоминания правил (сложил математический формализм). Тем не менее, добрых триста лет с тех пор студенты всех стран и народов мучаются усвоением горстки связанных с этим сведений.

Ныне задача запоминания и напоминания возложена на плечи компьютеров, остается разве понимать суть дела.


Попробуйте найти решение (задавая и не задавая дополнительное условие):

y'(t)=1, y(0)=0



РЕШАЮЩАЯ РОЛЬ ЭКСПОНЕНТ


Как решить дифференциальное уравнение? Дифференциальное уравнение вида

y'(t)=y(t),



относится к простейшим. Как решить? Собственно, да никак. И в этом нетрудно убедиться. Давайте будем пытаться брать в качестве решения полиномы y = 1, y = t, y = t2, и т.п. И каждый раз будет оказываться, что производные этих функций, соответственно, y' = 0, y' = 1, y' = 2t, и т.п., не равны самой функции. Производная полинома любой степени равна полиному степени меньшей, на 1. Равенство с полиномами разваливается.

Столь досадное препятствие на пути стройной теории убрали следующим образом. Ввели в рассмотрение ряд бесконечного количества слагаемых вида

y(t) = 1 + t + t2/2 + t3/6 + ...


такой, что y'(t) = y(t) (убедитесь в этом), и обозначили его y(t) = et.

То, что производная экспоненты равна самой экспоненте, довольно хорошо известно. Другое дело, что качество это не столько вдруг открытое, сколько благоприобретенное: сама по себе эта функция носит рукотворный характер (коэффициенты ряда подобраны). Так надо, вот она и появилась. Для других дифференциальных уравнений придется подбирать другой ряд.

К тому, что числа заданы правилом более сложным, чем (допустим) отношение, пришлось привыкнуть и принимать это как должное. То же самое относится к функциям, их состав пополнился в эпоху изобретения решений дифференциальных уравнений.

Обязательна ли в обозначении решения экспонента? Только что мы договорились считать, что et – это не более, чем обозначение функции f(t), заданной рядом. Зачем t вынесено в показатель? Не более, пожалуй, чем затем, что правило eatebt = e(a+b)t приведет нас к правильному результату для этого ряда. Обозначение указывает на свойство функции.

Но столь ли обязательно и само основание e? Пусть λ = lg10e, тогда et=10λt. Существуют дифференциальные уравнения, решение которых проще выглядит при выборе иного основания как 10t или 2t (попробуйте сообразить, какие). Выразим экспоненту, например, в степенях двойки.

Степенные функции отличаются лишь масштабом при аргументе – это одна и та же функция, по сути. Варианты, которые мы исторически избежали, не появились благодаря (в том числе) Эйлеру, на плечи которого всей тяжестью и легла задача выбора. С тех пор соображения, которые легли в основу "решения" дифференциальных уравнений, забылись, а зубрежка дает eλt. Математика перестанет быть мертвым предметом тогда, когда вы увидите, что тропы, проложенные в ней первопроходцами, вполне могли бы быть другими.

И вы можете свою тропинку проложить. Другое дело, что люди за вами пойдут тогда, когда это станет им удобным. Знания складываются по кирпичикам в систему, важно, чтобы система оставалась обозримой.

БИОГРАФИЯ ЛЕОНАРДА ЭЙЛЕРА | ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ

Rambler's Top100