МАТРИЦА БЕЛЕВИЧА


Смотрите также: МАТРИЦА, АДАМАРА, ЯКОБСТАЛЯ, КОНСТРУКЦИИ ПЭЛИ, ЗЕЙДЕЛЯ

Пропуски между порядками 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... сильвестровой последовательности матриц существенно возрастают. В начале прошлого века Ж. Адамар построил аналогичные матрицы 12-го (а значит, и 24) и 20-го порядков и высказал гипотезу, что решения с элементами ±1 существуют для всех степеней, кратных 4. С тех пор такие матрицы называют адамаровыми.

Следующий шаг сделал В. Белевич – русский математик, работавший в Америке, выходец из среды петербургских эмигрантов, покинувших Россию в годы революции. Он расширил множество рассматриваемых матриц до форм с нулевой диагональю и элементами ±1 вне ее.

Определение. Матрицей Белевича C называется nxn матрица с нулевой диагональю и остальными элементами ±1, обладающая свойством

С'С=(n–1)I.


Матрицы Белевича (конференц-матрицы или C-матрицы) связаны с теоремой теории чисел Эйлера: необходимое условие их существования заключается в том, чтобы n–1 было разложимо на сумму двух квадратов. Они заполняют четные пустующие порядки 6, 10, 14, 18, ... сильвестровой последовательности матриц, исключениями являются 22, 34, 58...

АЛГОРИТМ НАХОЖДЕНИЯ МАТРИЦ БЕЛЕВИЧА


Симметричная и кососимметричная C-матрицы (матрицы Белевича) строятся дополнением матриц Якобсталя (конструкции Пэли)

C=
0
 e' 
e
T
,
C=
0
 e' 
 –e 
T
,



согласно двум основным случаям: n–1=1 (mod 4) или n–1=3 (mod 4), здесь e – вектор из единиц.

Симметричная симметрично разделимая матрица может быть упрощена до

C=
A
B
 B' 
D
,
C=
 a
 b
 b
 –a
,



где a2+b2=n–1 преобразованием подобия S–1CS с регулярной матрицей, модулируемой P, Q

S=
 P(A+aI) 
 PB+b
 QB'+b
 Q(D–aI) 


Симметричная матрица Пэли C сводится к C матрицей S с симметричной циклической N

C=
A
B
 B' 
 –A 
,
S=
I
 –N 
N
I
,



Матрица, отвечающая a = 0, b = 5 такова

Матрица, отвечающая a = 4, b = 3 такова

Они не эквивалентны и первая из них отвечает связке матриц Якобсталя и Рагхаварао 13-го порядка (матрице с максимальным детерминантом), вторая матрица эквивалентна матрице Пэли.

СТАТЬЯ ГЕТХАЛЬСА ЗЕЙДЕЛЯ



ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ


В теории ортогональных или квазиортогональных, как в данном случае, матриц существует практика удаления каймы матрицы. Выделим в рациональной матрице Q удаляемый субблок A четвертого порядка

Q=
A
B
G
D
W=
 w1 
 w2 
 w3 
 w4 
 –w2 
 w1 
 –w4 
 w3 
 –w3 
 w4 
 w1 
 –w2 
 –w4 
 –w3 
 w2 
 w1 



с пересчетом Q=D–G(A–W)–1B параметров матрицы D, имеющим цель сохранить правую часть Q'Q=wI, w=n–1 при итерационном понижения порядка n на 4 вплоть до n=2. Поправка Вильямсона W (det(A–W)≠0) с тем же весом W'W=wI, где w=n–1=w12+w22+w32+w42, взята из теории Лагранжа о разложении числа на сумму четырех квадратов.

Элементарное следствие алгоритма понижения порядка состоит в том, w=n–1 – представимо парой квадратов рациональных, в общем, а значит, и парой квадратов целых чисел, т.к. объект разложения – целое число.

Наличие пропусков в последовательности исследуемых им матриц отмечал Витольд Белевич, указав на отсутствие версий порядков 22, 34 и т.п.., позднее с этой теоремой, матрицей и критериями работали Вильямсон, Раяваро, Зейдель и Ван Линт и др.

1. J. Williamson, “Hadamard’s Determinant Theorem and the Sum of Four Squares.” Duke Math. J., vol. 11, pp. 65-81, 1944.

2. Belevitch, V. Theorem of 2n-terminal networks with application to conference telephony. Electr. Commun., vol. 26 1950. pp. 231–244.

3. Raghavarao, D. (1959). "Some optimum weighing designs". Annals of Mathematical Statistics 30 (2): 295–303.

4. Van Lint, J.H., and Seidel, J.J. (1966), Equilateral point sets in elliptic geometry. Indagationes Mathematicae, vol. 28, pp. 335-348.

Rambler's Top100