ЦИКЛИЧЕСКАЯ МАТРИЦА


Смотрите также: МАТРИЦА, ВАНДЕРМОДНА, ТЕПЛИЦЕВА

Циклическая матрица – частный случай теплицевой матрицы, строки которой образованы циклическим сдвигом элементов некоторого вектора.

C(a)=
  a0  
  a1 
  ... 
  an 
  an 
  a0  
  a1 
   ... 
  ... 
  an 
  ...  
   a1 
  a1 
  ... 
  an 
   a0  


Произведение циклических матриц комутативно. Элементарным примером циклической матрицы является матрица перестановки, образованная вектором a=[0 1 0 ... 0]. Циклические матрицы могут быть разложены на взвешенную сумму степеней матрицы перестановки с количеством слагаемых не выше порядка n.

Спектр циклической матрицы образован значениями полинома, построенного на элементах первой строки, вычисляемого на n корнях из 1, εk=cos(2πk/n)+jsin(2πk/n), k=0,.., n–1.

Определитель, соответственно, равен произведению этих собственных значений. Матрица собственных векторов является матрицей Вандермонда, построенной над набором корней. Иными словами, собственными векторами произвольной циклической матрицы являются столбцы матрицы дискретного преобразования Фурье.

Сходные с циклическими матрицами матрицы возникают при переводе в векторно-матричное исчисление операций произведения полиномов, циклический блок можно выделить, если интересоваться результатом, равным остатку от деления произведения на xn–1.

Rambler's Top100