ДЕКАРТОВЫ КООРДИНАТЫ



Теория матриц заимствовала представления об индексах элементов у карт и таблиц. Понятие координат естественным образом зародилась в астрономии и географии древних. Самая первая карта на Земле использовалась в Башкирии вместо крыльца! На ней кололи дрова, ее мыли, как обыкновенный порог, – и происходило это с начала строительства дома, в который она вела начиная с 1918 года. По оценкам ученых карте около 65 млн. лет. Обнаружен этот древний артефакт в 1999 году Александром Чувыровым. На карте видно, если верить археологам, изображение двуречья.

Николай Орезмский (XIV век) первым в Европе использовал координатное изображение не для карты, а для функции, называя координаты, по аналогии с географическими, долготой и широтой. Идея уравнения непрерывной кривой была не чужда еще древним грекам. Архимед и особенно Аполлоний Пергский в своих сочинениях приводили так называемые симптомы конических сечений, которые в ряде случаев совпадают с нашими уравнениями. Однако дальше дело не пошло – из-за невысокого уровня древнегреческой алгебры и слабого интереса к кривым, отличным от прямой и окружности.

Символический язык для записи уравнений сконструировал Виет (XVI век), положив начало системной алгебре. Около 1637 года Ферма распространяет через Мерсенна мемуар "Введение в изучение плоских и телесных мест", где выписывает и обсуждает в символике Виета уравнения различных кривых 2-го порядка в прямоугольных координатах. Для упрощения вида уравнений широко используется преобразование координат. Ферма наглядно показывает, насколько новый подход проще и плодотворней чисто геометрического.

Однако мемуар Ферма широкой известностью не пользовался. Гораздо большее влияние имела "Геометрия" Декарта, вышедшая в том же 1637 году, которая независимо и гораздо более полно развивала те же идеи. Декарт включает в геометрию более широкий класс кривых, в том числе "механические" (трансцендентные, вроде спирали), и провозглашает, что у каждой кривой есть определяющее уравнение. Он строит такие уравнения для алгебраических кривых, проводит их классификацию (позже основательно переделанную Ньютоном). Декарт подчеркивает, хотя и не доказывает, что основные характеристики кривой не зависят от выбора системы координат.

Система координат у Декарта была перевернута по сравнению с современной (ось ординат горизонтальна), и отрицательные координаты не рассматривались. Термины абсцисса и ордината изредка встречаются у разных авторов, хотя в широкое употребление их ввел только Лейбниц в конце XVII века, вместе с термином координаты. Декарт поместил в "Геометрию" множество примеров, иллюстрирующих огромную мощь нового метода, и получает немало результатов, неизвестных древним. Возможные пространственные применения он упоминает, но не приводит.

Ньютон не только опирался на координатный метод в своих работах по анализу, но и продолжил геометрические исследования Декарта. Он классифицировал кривые 3-го порядка, выделив 4 типа и 58 видов; позже он добавил еще 14. Эти результаты были получены около 1668 года, опубликованы вместе с его "Оптикой" в 1704 году. Система координат Ньютона уже ничем не отличается от современной. Для каждой кривой определяются диаметр, ось симметрии, вершины, центр, асимптоты, особые точки и т. п.

В "Началах" Ньютон старался все доказывать в манере древних, без координат и бесконечно малых; однако несколько применений новых методов там все же имеется. Гораздо большую роль нарождающаяся аналитическая геометрия играет в его "Всеобщей арифметике". В большинстве случаев он не посчитал нужным привести доказательства, чем обеспечил работой на долгие годы целую армию комментаторов.

В первой половине XVIII века в основном продолжалось изучение алгебраических кривых высших порядков; Стирлинг обнаружил 4 новых типа, не замеченных Ньютоном. Были выявлены и классифицированы особые точки. Клеро в 1729 году представил Парижской академии "Исследования о кривых двоякой кривизны". Эта книга по существу положила начало трем геометрическим дисциплинам: аналитической геометрии в пространстве, дифференциальной геометрии и начертательной геометрии.

Общую и очень содержательную теорию кривых и поверхностей (преимущественно алгебраических) предложил Эйлер. В своем "Введении в анализ бесконечно малых" (1748) он дал классификацию кривых 4-го порядка и показал, как определить радиус кривизны. Там, где это удобно, используются косоугольные или полярные координаты. Отдельная глава посвящена неалгебраическим кривым.

Во второй половине XVIII века аналитическая геометрия, получив мощную поддержку зрелого анализа, завоевала новые вершины (Эйлер, Лагранж, Монж), однако рассматривается уже скорее как аппарат дифференциальной геометрии.

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Rambler's Top100