ДЗЕТА ФУНКЦИЯ РИМАНА



Метод компьютерной раскраски ζ(s) с нулями на 1/2


Дзета-функция Римана – функция комплексной переменной s (обозначение Римана), описываемая рядом Дирехле, для которого еще Эйлер нашел мультипликативную форму записи

ζ(s)=1+1/2s+1/3s+.. = Пp 1/(1–p–s)


В представлении Эйлера, делающем более зримыми полюса, произведение берется по всем простым числам: дзета-функция имеет тривиальные нули на комплексной плоскости –2, –4, –6, ... и систему нетривиальных нулей, симметричных относительно прямой s=α+, α=1/2.

Как функция вещественной переменной, дзета-функция была введена в 1737 году Эйлером при обобщении "базельской" задачи Бернулли о значении ζ(2), равном π2/6. Затем эта функция рассматривалась Дирихле и, особенно успешно, Чебышевым при изучении закона распределения простых чисел. Однако наиболее глубокие свойства дзета-функции были обнаружены позднее, после работы Римана (1859), где дзета-функция рассматривалась как функция комплексной переменной (т.е. как аналитическое продолжение).

Риман обнаружил, что количество простых чисел π(x), не превосходящих x, выражается через распределение нетривиальных нулей дзета-функции, в отношении которых он высказал следующее предположение.

Гипотеза Римана утверждает, что все нетривиальные нули дзета-функции имеют действительную часть, равную 1/2.



Ординаты первых шести нулей: 14,13; 21,02; 25,01; 30,42; 32,93; 37,58


В то время, когда Адамар изучал теорию аналитических функций в Нормальной школе, принято было думать, будто гипотеза Римана доказана голландским математиком Томасом Йоаннесом Стилтьесом (1856–1894). Его путь к математике был необычен. Будучи на девять лет старше Адамара, Стилтьес в 1873 г. поступил в Политехническую школу в Дельфте. Он так любил математику, что пропускал обязательные курсы, читая вместо них труды Гаусса и Якоби. В результате Стилтьес не получил степени.

Покинув школу в 1877 г., он получил место «ассистента по астрономическим вычислениям» в Лейденской обсерватории и при всей занятости умудрялся находить время для своего математического хобби. В 1883 г. Стилтьес уволился из обсерватории, чтобы стать математиком. Он подал заявку на место в Университете Гронингена, но потерпел неудачу и вместе со своей семьей переехал в Париж.

Стилтьес был одним из ближайших друзей Эрмита. В 1886 г. Эрмит помог Стилтьесу получить пост в Университете Тулузы, где он проработал вплоть до своей ранней смерти от туберкулеза в 1894 г. Занимаясь расходящимися рядами, Стилтьес получил ряд глубоких результатов и приобрел широкую известность, основав теорию непрерывных дробей, он был избран почетным доктором Лейденского университета в 1884 г. и членом Королевской академии наук в Амстердаме (1885). Исследуя эти дроби, Стилтьес ввел новый интеграл, названный впоследствии его именем.

Начиная с работ Эйлера, возникло представление о связи экспоненты с тригонометрическими функциями в задачах комплексного ее представления. Эрмит, принимая диссертацию Адамара, посвященную теории целых функций, т.е. функций, представимых степенными рядами, сходящимися на всей плоскости, посоветовал найти ей приложение в исследовании некоторой частной проблемы, связанной с теорией дзета-функции Римана.

К тому времени Стилтьес обнаружил в своем размышлении ошибку, и 19 декабря 1892 Гранд-При, объявленный Академией наук Франции, присудили Адамару. В 1896 году Адамар и Валле-Пуссен независимо доказали, что нули дзета-функции не могут лежать на прямых комплексной плоскости Re(z)=0 и Re(z)=1. Что подтвердило справедливость оценки π(x) асимптотическим законом распределения x/ln(x), впрочем, позднее нашлись более элементарные доказательства, не оперирующие комплексным пространством.


В своей работе Матиясевич задался вопросом: можно ли построить рекуррентную формулу, позволяющую, (хотя бы приблизительно) по известным N нулям, то есть точкам, где значение дзета-функции равно нулю, построить N+1-ый ноль? Оказалось, что подходящий алгоритм существует. Более того, по утверждению Матиясевича, он дает необычайно хорошие приближения, по крайней мере для вычисленных нулей, при полном отсутствии математического обоснования такой точности.

СЛАЙДЫ | СЕМИНАР МАТИЯСЕВИЧА Ю.В. | ДЖОН ДЕРБИШИР
ГОВОРИТ УРАЛ | ГИПОТЕЗА РИМАНА [2] | ПРОСТЫЕ ЧИСЛА | КОМПЬЮТОРИНГ
КОММЕНТАРИЙ ПАРШИНА | ШКОЛА ШАФАРЕВИЧА

Rambler's Top100