СПЕКТР МАТРИЦЫ


Смотрите также: МАТРИЦА, СИНГУЛЯРНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ

Собственное значение λ матрицы A – это коэффициент усиления ее собственного вектора v, последний определяется как вектор, сохраняющий свое направление в пространстве при умножении на матрицу

A v = λ v.


Это уравнение можно переписать относительно искомого собственного вектора

(A – λI) v = 0.


Тривиальное решение v = (A – λI)–1 0 = 0 нас не интересует, по определению, а нетривиальные возможны лишь при условии, что (A – λI) невырождена, то есть

det(A – λI) ≠ 0.


Это условие называется характеристическим уравнением матрицы, в правой части – полином от λ порядка n, n – порядок матрицы. Отсюда следует, что каждая матрица имеет не более, чем n собственных значений.

Спектром матрицы называется совокупность всех ее собственных значений, собираемых, обычно, в диагональную матрицу D=diag(λ1, ..., λn), отвечающую матрице V=[v1, ..., vn] всех ее собственных векторов: A V = V D.

Спектральное разложение матрицы A отвечает сведению ее к диагональной матрице D с комплексными, в общем, собственными числами

D = V–1 A V.


В вещественном представлении спектральной матрицы D блоки с парами комплексных собственных чисел λ=α±jω заменяются на блоки вида [α ω;–ω α], а в матрице V идут подряд вещественная и мнимая составляющая собственного вектора.

Поиск собственных значений называется алгебраической проблемой собственных чисел, для ее решения привлекаются итерационные методы линейной алгебры, используемые в процедуре D=eig(A). Собственные векторы возвращает V=eigv(A).


Rambler's Top100