МАТРИЦА АДАМАРА


Смотрите также: МАТРИЦА, СИЛЬВЕСТРА, СЕРПИНСКОГО

Определение. Адамаровой матрицей H называется nxn матрица с элементами ±1, обладающая свойством

HTH=nI.


Иными словами: матрица Адамара – квадратная, с элементами {1,–1} с ортогональными столбцами HTH=nI.

Теорема (неравенство) Адамара состоит в том, что если у квадратной матрицы A все элементы по модулю меньше или равны единице, то |det(A)|≤nn/2.

Верхняя граница достигается на матрицах Адамара. Другими словами, с точки зрения геометрии объем n-мерного тела максимален, когда задающие его векторы взаимно перпендикулярны. Доказательство знаменитого неравенства Адамара опирается на свойство определителей, позволяющее в оценках переходить к произведению A'A, порождающему квадратичные формы от элементов, которые в данном случае просты.

Гипотеза Адамара состоит в том, что такие матрицы существуют для порядков 1, 2 и n=4k, где k – целое число.

Конструкция Сильвестра. Матрицы порядков n=2k дает рекурсивная процедура Сильвестра

Hk+1=
 Hk 
 Hk 
 Hk 
 –Hk 


где первая матрица H1=1. Французский математик Адамар нашел отсутствующие в этой последовательности матрицы 12-го и 20-го порядков, 24-й порядок порождается процедурой Сильвестра из 12-го, и первый отличный порядок-исключение: 28-й.


Матрицы Адамара строятся на основе кососимметрических C-матриц устранением нулевой диагонали

H=I+С.


Симметричный вариант опирается на преобразование Сильвестра с аналогичными компенсационными единичными матрицами–добавками

H=
  I+С  
    I–С  
  I–C  
  –I–C  


Матрицы Адамара нормализуют, выравнивая знаки первого столбца и первой строки. На их множестве выделяют классы эквивалентности по отношению к операции перестановки строк и столбцов с возможной инверсией элементов.




Неизвестны матрицы Адамара порядков 668, 716, 892, 1004, 1132, 1244, 1388, 1436, 1676, 1772, 1916, 1948, 1964... Порядки, для которых существует только одна матрица Адамара: 1, 2, 4, 8, 12. На 16-м порядке их 5, на 20-м их 3, на 24 их 60, на 28-м их 487. На 32, 36, и 40 счет идет на миллионы. Некоторые из них эквивалентны с точностью до транспонирования. Выделяют регулярные матрицы – с равными суммами элементов строк и столбцов (необходимо: n – точный квадрат).

К отсутствующим матрицам возможны приближения на основе матриц с ограниченным числом рациональных или иррациональных уровней.



Модульно-двухуровневая матрица Прокла P668, норма h=1.047474 (C) 2013 год.


МАТРИЦЫ С КОМПЛЕКСНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ


Матрица Сильвестра обобщает матрицу спектрального преобразования Фурье на дискретный случай, когда амплитуда сигнала задается всего двумя уровнями. Ее столбцами являются предложенные в начале прошлого века функции Родемахера и Уолша – аналоги косинусных и синусно-косинусных базисов. Базис Уолша недостижим тривиальной амплитудной дискретизацией уровней гармонических функций. Комплексная матрица Адамара

aik=e2пj(i–1)(k–1)/n


отличается от матрицы Фурье масштабным коэффициентом n1/2. Матрицы, определенные над полем комплексных чисел с единичным модулем, относят к категории обобщенных адамаровых матриц, однако свобода выбора фазы несоизмеримо больше свободы выбора знака при модуле: особых проблем этот случай не вызывает.

Рассмотрим нормализованную структуру комплексной матрицы

A=
1
1
1
1
 a 
 b 
1
 c 
 d 


она ортогональна, если b=c=–1–a, d=a, a – кубический корень из 1 для a2+a+1=0.

Выделяют комплексные адамаровы матрицы битсоновского типа с произвольным показателем корня, с элементами ±1, ±j (корень четвертой степени из 1), и случаи с показателем корня равным порядку матрицы n.

МАТРИЦЫ 16-го ПОРЯДКА





Практический вопрос состоит в проверке эквивалентности очередной матрицы Адамара одному из типов, поскольку внешняя сторона не позволяет судить об этом: например, вот эта матрица, близка к первой, но не тождественна ей, как вернуть ей обличье, проблемка.


Алан Вентинк рассмотрел в так называемом "чайном-пакетике" для матриц Адамара 16-го порядка цветок.


МАТРИЦЫ 20-го ПОРЯДКА




ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ СИЛЬВЕСТРА






Rambler's Top100