НОРМА АДАМАРА


Введем следующими пятью определениями метрику в пространстве ортогональных матриц, позволяющую их отличать друг от друга и оценивать близость к некому оптимальному варианту, представленному матрицами Адамара.

Определение 1. Максимум m абсолютных значений элементов ортогональной матрицы назовем ее m-нормой.

Для подсчета m-нормы более широкого класса матриц с ортогональными столбцами (строками) их предварительно нормируют, переводя в ортогональные. Этот показатель достигает своего верхнего амплитудного значения m=1 у единичных матриц. Для всех остальных матриц m<1.

У ортогональных матриц Адамара с элементами {a, –a} норма m=a=1/n1/2.

Для того, чтобы вычислить инвариант, отличающий матрицу Адамара от всех остальных ортогональных матриц, достаточно число m умножить на n1/2.

Определение 2. Адамаровой нормой (h-нормой, приведенной m-нормой) матрицы порядка n называется число h = m n1/2.

Норма Адамара – инвариант преобразования Сильвестра.

Приведенная норма для всех матриц Адамара h = 1. Для других матриц она больше единицы. Таким образом, матрица Адамара H – это минимаксная ортогональная матрица.

Для оценивания эффективности работы итерационных алгоритмов поиска М-матриц полезна метрика, вводимая следующими четырьмя определениями.

Определение 3. Энтропией ортогональной матрицы будем называть логарифм нормы Адамара (логарифм приведенной нормы) lg(h).

Энтропия адамаровой матрицы равна нулю, эта структура "максимально информативная". У всех остальных матриц энтропия больше нуля, более того, для итерационных алгоритмов выявлен барьер в виде запрета на понижение энтропии ниже некоторой константы, описываемой адамаровой нормой первой после критического двенадцатого порядка матрицы, лишенной отчетливых уровней.

Определение 4. Константой Балонина будем называть норму Адамара минимаксной ортогональной матрицы тринадцатого порядка, она отличается от нормы h=1 матриц Адамара аддитивной добавкой

B=h13=m131/2=1+δ=1.117136,


аппроксимирующее добавку значение δ≅21/2/12. Это не столько показатель этой именно матрицы, сколько интегральный параметр слоя хаотических матриц, к которому матрица тринадцатого порядка принадлежит. Игрою вездесущего случая для этой М-матрицы m≅0.31, так что B≅0.31⋅131/2.

Определение 5. Информативность матрицы (в отличие от ее энтропии) будем оценивать по показателю i=lg(h–δ)/lg(1–δ).

Низкая информативность матрицы тринадцатого порядка принята за эталон, у всех таких матриц она в точности или приближенно равна нулю. Единичные и D-матрицы – у них h>>B, показатель имеет отрицательное значение. У матриц Адамара этот показатель положителен и достигает своей амплитуды – единицы.

Информационный барьер – понятие, характеризующее сходимость алгоритмов – область адамаровых норм матриц хаотических аттракторов, порождаемых итерационными алгоритмами, лежащая вблизи B. Обратим внимание, что относительно легко находимые начальные М-матрицы до двенадцатого порядка включительно, имеют приведенную норму выше константы B. Далее начинаются серьезные проблемы поиска таких матриц.

НОРМЫ ОБОБЩЕННЫХ МАТРИЦ АДАМАРА

Бирюзовым цветом отмечены Проклы – прародители Пропусов, близнецов матриц Адамара.

ГИСТОГРАММА УРОВНЕЙ МАТРИЦ МЕРСЕННА


Rambler's Top100