ОБРАТНАЯ МАТРИЦА


Смотрите также: МАТРИЦА, ТРАНСПОНИРОВАННАЯ, РАНГ, ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ

Обратная матрица A–1 обобщает понятие обратного числа: AA–1=I, A–1A=I, I – единичная матрица, состоит из единиц на диагонали, прочие элементы равны нулю. Она соотносима лишь с квадратными матрицами полного ранга (невырожденными).


У ортогональных матриц обратная матрица совпадает с транспонированной матрицей. Обратная матрица разделяет свойства транспонированной матрицы. Правило раскрытия скобок едино для операций транспонирования и обращения (AB)'=B'A', (AB)–1=B–1A–1.

Деление матриц сводится к умножению на обратную матрицу A–1 слева A\B или справа B/A. Для прямоугольных матриц было выработано сходное понятие: обобщенная обратная матрица (псевдообратная), которая принимает участие в тех же самых операциях.

Инверсия матрицы порядка 2. В общем случае A–1 = AT/det(A), A – матрица алгебраических дополнений: у матриц второго порядка в AT элементы диагонали переставлены местами, внедиагональные элементы инвертированы по знаку, что дает простое правило ее обращения.

Простой алгоритм инверсии матрицы. Существует простой метод обращения матрицы на случай, когда диагональные элементы вычисляемой инверсной матрицы не равны 0. В противном случае потребуется перестановка строк и столбцов с усложнением алгоритма. Приведем его в силу исключительной редкости встречи в Интернет.

Модификация этого метода смещениями столбцов неудачной по выбору ведущего элемента матрицы несколько избыточна, но столь же лаконична.

Метод Гаусса-Жордана. Классический с выбором ведущего элемента, он немногим сложнее предыдущего, вычисляет также детерминант.


Rambler's Top100