МАТРИЦА ЯКОБСТАЛЯ


Смотрите также: МАТРИЦА, АДАМАРА, БЕЛЕВИЧА

В теории построения матриц Адамара и Белевича используются теплицевы матрицы Якобсталя, удовлетворяющие уравнению

T'T = nI – J,



где T – искомая целочисленная матрица, I,J – единичная матрица и матрица, состоящая полностью из 1 (тех же порядков, что и T).

Это уравнение ввел немецкий математик Эрнст Якобсталь, ученик Фробениуса и Шура, работавший в начале прошлого века над диссертацией по квадратичным вычетам. Оно напоминает условие ортогональности, несколько сложнее его, но зато решение устроено исключительно просто: теплицева матрица символов Лежандра

Tij = ((ij)/n), i<>j,


удовлетворяющая условию TJ = JT = 0, с элементами ±1 вне нулевой диагонали.

Матрица Якобсталя T заведомо существует, если n – простое число. Она циклическая и симметрическая или кососимметрическая – в зависимости от того, принадлежит ли разность –1 квадратичным вычетам, т.е. n=1 (mod 4) или n=3 (mod 4), соответственно.


МАТРИЦЫ СТЕПЕНЕЙ ПОРЯДКА


Собственно, есть формула возведения порядка матрицы в квадрат, использующая кронекерово произведение: TxT+IxJ–JxI, где I, J – единичная матрица и матрица из единиц.

Такие матрицы можно вычислить иначе – замещением элементов {0, 1, –1} матрицы Якобсталя тремя циклическими блоками:

Для куба степени (формула Белевича): TxTxT+TxIxJ+IxJxT+JxTxI.

ВЫЧЕТЫ НАБОРА ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ


В тридцатых годах прошлого века Раймонд Пэли рассмотрел квадратичные вычеты последовательности девяти чисел

0, 1, –1, a, a+1, a–1, –a, –a+1, –a–1


определенной над иррациональным корнем a неприводимого к простым множителям многочлена: x2 + x – 1 = 0. Ей отвечают символы Лежандра, разделенные на три составляющие

a=[0, 1, 1], b=[–1, –1, 1], c=[–1, 1, –1],


и соответствующие им циклические блоки A, B, C, удовлетворяющие, как видно, условию симметрии a[2]=a[1], c[0]=b[0], c[1]=b[2], c[2]=b[1] блочной матрицы

T=
A
C
B
B
A
C
C
B
A


которая является решением матричного уравнения Якобсталя.



Условие, при котором получается симметричная матрица, зажимает C=B' и верхнюю половину элементов A (например, решение при a=[0 –1 1], b=[1 –1 1]). Наиболее простая симметричная конструкция строится на паре векторов a=[0 –1 –1], b=[1 –1 –1]):

МАТРИЦА КОНСТРУКЦИИ РУДОЛЬФА МАТОНА


Порядки, не равные простым числам, приводят к блочным матрицам. Например, для построения матрицы Якобсталя порядка n=k2(k+2), где k,k+2 – порядки матриц Якобсталя, на случай k=3 воспользуемся конструкцией Матона:

R. MATHON | J. СЕБЕРРИ


Rambler's Top100