МАТРИЦА МЕРСЕННА


Смотрите также: МАТРИЦА, АДАМАРА, АДАМАРА-МЕРСЕННА

Двухуровневые квазиортогональные матрицы порядков n=4k–1 с элементами {a=1, –b}, в столбце (строке) количество элементов b<a на единицу меньше, чем a. Значения b=a/2 при n=3, b=(q–2q1/2)a/(q–4), q=n+1 (порядок матриц Адамара) при n>3.

Гипотеза Балонина. Матрицы Мерсенна для всех значений нечетных порядков n=4k–1 существуют. Аналогична гипотезе Адамара о существовании матриц Адамара четных порядков, равных 1, 2 и 4k, базирующейся на опубликовании Адамаром матриц 12 и 20 порядков. Ниже приведены соответствующие им матрицы Мерсенна 11 и 19 порядков.

Отличаются от нормальной формы матриц Адамара-Мерсенна, в общем, автономией их внедиагональных блоков

Mn=
 a 
 –bT 
 eT 
 –b 
  A(n–1)/2 
 B(n–1)/2 
 e 
  B(n–1)/2 
 A(n–1)/2* 



где Ak* – коммутативно-сопряженная матрица c взаимно-переставленными элементами уровней, субвекторы каймы b, e содержат b и a=1.

МАТРИЦЫ 11 и 19 ПОРЯДКОВ


Для простых значений порядков (n – простое число) все такие матрицы сводятся к матрицам Якобсталя с диагональю, замещенной 1, и адаптированными к уровню –b отрицательными элементами. При нормализации они принимают отмеченную выше форму.



Матрицы Мерсенна 11-го и 19-го порядков


Составные порядки рассматривались Пэли, Матоном и лежат в соответствующих разделах справочника. Вопрос о существовании матриц Адамара ставится под сомнение отсутствием решений для матриц порядков 668, 716, 892, 1004, 1132, 1244, 1388, 1436, 1676, 1772, 1916, 1948, 1964... Порядки, для которых существует только одна матрица Адамара: 1, 2, 4, 8, 12.

Оба этих сорта матриц – Адамара и Мерсенна – тесно связаны взаимно-однозначным соответствием – существует алгоритм пересчета из матриц Адамара матриц Мерсенна, это решает сопутствующий вопрос о количестве эквивалентных форм матриц нечетных порядков.

ЧТЕНИЕ С СЕРВЕРА


РАСЧЕТ ЧЕРЕЗ МАТРИЦУ АДАМАРА


Расчет базируется на приведении матриц Адамара к нормализованной форме с отрезанием каймы и персчетом отрицательных элементов.



Rambler's Top100