МАТРИЦА МИРОНОВСКОГО


Смотрите также: МАТРИЦА, МАТРИЦА СИЛЬВЕСТРА, РЕЗУЛЬТАНТ

Матрица Мироновского. Грамиан M=S(.)–1S(.) на основе двух матриц Сильвестра, отличающихся аргументами. Позволяет вычислять ганкелевы числа динамической системы непосредственно по коэффициентам полиномов числителя и знаменателя передаточной функции.

Пояснение. Рассмотрим динамическую систему с передаточной функцией Q(p)=b(p)/a(p), полином a(p) – гурвицев (система устойчива), и ее собственное движение y(p)=λc(p)/a(p). Реакция такой системы на инвертированный во времени сигнал u(p)=c(–p)/a(–p), зеркально-симметричный собственному движению и отличающемуся масштабом, состоит из этого свободного движения и вынужденной составляющей

Q(p)u(p)=b(p)c(–p)/a(p)a(–p)=λ*c(p)/a(p)+d(p)/a(–p),


где d(p)/a(–p) – вынужденная составляющая движения. По условиям эксперимента входной сигнал подается в отнесенном в минус бесконечность прошлом и отключается в нулевой момент времени (тогда вынужденная составляющая анулируется), возбуждая собственное движение, называемое ганкелевой функцией системы.

Задача состоит в том, чтобы найти неизвестные заранее ганкелевы числа (коэффициенты передачи λ) и ганкелевы функции (соответствующие полиномы с(p)).

Для этого рассмотрим полиномиальное уравнение b(p)c(–p)=λa(–p)c(p)+a(p)d(p), следующее из формулы выше. Перестановкой членов получим

λ(a(p) a(–p))(d(p)/λ c(p))T=(0 b(p))(d(–p)/λ c(–p))T,


что приводит к матричному уравнению λS(a(p),a(–p))x=S(0,b(p))Zx, где S – матрица Сильвестра, Z=diag(1,–1,1,–1, ...) – сигнатурная матрица, согласующая смену знака аргументов в x, которые содержат искомые коэффициенты d(p)/λ и c(p). Усечением вектора x до колонки коэффициентов с(p), задача сводится к стандартной полной проблеме собственных значений

Mxx,


где M=[S(a(p),a(–p))–1]S(b(p))Z – кроcс-грамиан (матрица Мироновского), [.] - проектор, оставляющий лишь нижние блоки, здесь Z – усеченная сигнатурная матрица, чередующая знаки столбцов.

Можно составить уравнения иначе

(a(p) b(p))(–d(p) c(–p))T=λ(0 a(–p))(–d(–p) c(p))T,


что приводит к матричному уравнению S(a(p),b(p))x=λS(0,a(–p))Zx, где x содержит коэффициенты –d(p) и c(–p). Инверсией S(a(p),b(p)) и усечением вектора x до колонки коэффициентов с(–p), задача сводится к стандартной полной проблеме собственных значений с уравнением вида

Mx=kx,


где кросс-грамиан M=[S(a(p),b(p))–1]S(a(–p))Z. Искомые значения λ инверсны собственным значениям k, а x получаем как собственные векторы.

Матрица Мироновского пары полиномов a(p), b(p)

M=[S(a(p),a(–p))–1]S(b(p))Z,



где S(a(p),a(–p)) – блочная матрица Сильвестра порядка n+m+1, n, m – порядки a(p),b(p), []–проектор (удаляет половину строк сверху), Z=diag(1,–1,1,–1, ...) – сигнатурная матрица. Например, пусть a=[1,2,1], b=[2,1]

S(a(p),a(–p))=
1
0
1
0
2
1
 –2 
1
1
2
1
 –2 
0
1
0
1
S(b(p))Z=
2
0
1
 –2 
0
 –1 
0
0



Позволяет вычислять ганкелевы числа динамической системы непосредственно по коэффициентам полиномов числителя и знаменателя передаточной функции Q(p)=b(p)/a(p): как спектр матрицы M.

Ганкелевы сингулярные функции – реакции на дельта-импульс динамической системы при замене коэффициентов вектора правой части b на соответствующие собственные векторы M. На первом месте в алгебре полиномов стоит младший коэффициент, при моделировании динамических систем коэффициенты следуют наоборот.


Следующий кросс-грамиан построен на сходной идее и имеет инверсный ганкелевым числам спектр собственных значений. Матрица существует, если полиномы гурвицевы и взаимно просты – результант Сильвестра отличен от нуля.

M=[S(a(p),b(p))–1]Z*S(a(p)),


где S(a(p),b(p) – блочная матрица Сильвестра порядка n+m+1, n, m – порядки a(p), b(p), []–проектор (удаляет половину строк сверху), Z=diag(1,–1,1,–1,...) – сигнатурная матрица. Например

S(a(p),b(p))=
1
0
2
0
2
1
1
2
1
2
0
1
0
1
0
0
Z*S(a(p))=
1
0
 –2 
 –1 
1
2
0
 –1 




Существует неочевидный упрощенный вариант расчета ганкелевых чисел и ганкелевых функций, ориентированный на строки нормированной матрицы собственных векторов.



Rambler's Top100