МАТРИЦА ВИЛЬЯМСОНА


Смотрите также: МАТРИЦА, АДАМАРА, КОНСТРУКЦИИ ПЭЛИ

Вильямсон расширил практику блочного представления матриц Адамара, характерную для конструкций Пэли, увеличив число блоков по горизонтали и по вертикали еще вдвое, и назвав это массивом

W=
A
B
C
D
 –B 
A
 –D 
C
 –C 
D
A
 –B 
 –D 
 –C 
B
A


блоки которой (собственно, матрицы Вильямсона) представлены попарно-коммутативными симметрическими подматрицами порядка w с элементами ±1, удовлетворяющими условию ортогональности матрицы в целом

A2+B2+C2+D2=4wI.


ТАБЛИЦА 2007: WILLAMSON MATRICES UP TO ORDER 59


Доказано существование матриц порядков 4w для всех w<60 (2007 г.), w=9s и w=(q+1)/2, q – простое целое из чисел, равных –l (mod 4).

Если n/2–1 = 1 mod 4, то существует решение: A и B отличаются только основной диагональю и C=D. В простейшем случае A=1, B=1, C=1, D=1 дает адамарову матрицу четвертого порядка.

Поиск элементов таких блоков обеспечивается переборным алгоритмом, который облегчается, если предположить, что они циклические. Таким способом строится матрица 92 порядка (Baumert, Golomb и Hall, 1962): матрица первой сотни n<100, недостижимая в рамках конструкции Пэли. Опорные векторы матриц 23-го порядка следующие (представление единственное):

A1 = (1, 1, -1, -1, -1, 1, -1, -1, -1, 1, -1, 1, 1, -1, 1, -1, -1, -1, 1, -1, -1, -1, 1)
B1 = (1, -1, 1, 1, -1, 1, 1, -1, -1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, -1, -1, 1, 1, -1, 1, 1, -1)
C1 = (1, 1, 1, -1, -1, -1, 1, 1, -1, 1, -1, 1, 1, -1, 1, -1, 1, 1, -1, -1, -1, 1, 1)
D1 = (1, 1, 1, -1, 1, 1, 1, -1, 1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, 1, -1, 1, 1, 1, -1, 1, 1)



Позднее Baumert нашел этим методом матрицу 116-го порядка. Баумерт и Холл декларировали блочный массив порядка 12 (по блокам), где каждая строка содержит по три вхождения четырех матриц типа Вильямсона: Baumert Hall Arraw, 1964 (Jennifer).

К настоящему времени неизвестны, например, матрицы порядков 668, 716, 892, 1004, 1132, 1244, 1388, 1436, 1676, 1772, 1916, 1948, 1964.

Пример циклической матрицы Адамара (матрицы Вильямсона не обязательно сами по себе ортогональны)

A=
 –1 
1
1
1
1
 –1 
1
1
1
1
 –1 
1
1
1
1
 –1 


это характерно для n=1, n=4 (Circulant Hadamard Matrices R. Stanley), порядки 2 и кратные 8 исключены.

ТЮРИН | СТАТЬЯ 1981 | СТАТЬЯ 2002 | ЭРИК ТРЕССЛЕР

Rambler's Top100