03.11.2017 admin

1.3. Матрицы Белевича


Порядок n=4k+2 в теории матриц Адамара известен благодаря их предикаторам – матрицам Белевича (С-матрицам, Conference-matrices).

Определение 1. Матрица Белевича – квадратная матрица C порядка n, составленная из элементов {1, 0, –1}, с ортогональными столбцами

C'C=(n–1) I,


где I – единичная матрица, нулевые элементы C сосредоточены на диагонали.

Благодаря конструкциям графов Пэли (Paley, 1933), матрицы Белевича делят на первую и вторую разновидности согласно признакам p=1 (mod 4) и p=3 (mod 4), где p=n–1, для симметричных и асимметричных форм, которые они описывают. Кроме того, выделяют порядки 2, 10, 26, и т.п., для которых p – квадрат простого числа.

Необходимое условие их существования состоит в разложимости числа p на сумму двух квадратов. На случай простых чисел этой проблемой занимался Л. Эйлер. Если формулировать общий признак разложимости кратко, то он сводится к требованию содержать среди сомножителей мультипликативного представления p лишь четные степени 4k+3. Если отбросить заведомо не представимые суммой двух квадратов числа, то это 1, 2, 4, 5, 8, 9, 10, 13, 16, 17, 18, 20, и т.п. Числа 21, 33, 57, и т.п. известные также в теории ортогональных матриц Белевича, принадлежат к заведомым исключениям.

Симметричные матрицы Белевича существуют для значений порядков 1 (ноль), 2 (единичная матрица), 6, 10, 14, 18, (не 22, поскольку 21 не представимо суммой двух квадратов), 26, 30, (не 34, по той же причине), 38, 42, 46, 50, 54, (не 58), 62 и т.п. Матрицы не существуют для порядков 22, 34, 58, 70, 78, 94, и т.п. На четвертом порядке отмечают наличие нестандартной недиагонализируемой симметричной матрицы C4, дающей начало обобщенным матрицам, отличающихся произвольным количеством нулей. Порядок 66 недостаточно полно изучен.

Традиционный алгоритм построения матриц Белевича опирается на теплицевы матрицы Якобсталя символов Лежандра, дающий первые матрицы, но проблематичный уже на десятом порядке, когда p=9 – не простое число. Опора на матрицы Мерсенна дает решение несколько более универсальное.

Матрица C4. Нестандартная матрица, в ее составе можно отметить, помимо каймы, матрицу Мерсенна M3 с выделенной антидиагональю и ушедшими в ноль отрицательными элементами, фактически это полуразность двух антидиагональной и не диагональной симметричных форм M3.



Рисунок 1. Матрица Мерсенна M3 в сопоставлении матрицей C4


Матрица C6. Двухуровневая по модулям элементов матрица, сводимая элементарными операциями к блочному виду, в котором просматривается наследование структурных свойств у четырех диагональных матриц Мерсенна M3.



Рисунок 1. Стандартная C6 и нестандартная формы матриц Белевича


Матрица C6 может быть получена как результат кронекерова произведения матриц H2 и M3, с корректировкой диагональных элементов матрицы произведения к нулю, а модулей внедиагональных элементов к единице (с сохранением знаков).

Матрица C8. Кососимметрическая матрица Белевича, инвариантная, в смысле сохранения ортогональности ее столбцов, к значенью элемента на ее диагонали, что позволяет видеть в ней матрицу Адамара элементарной заменой диагонального элемента с нулевого на единичный. Несложно выделить в этой матрице окаймляемые со всех четырех сторон четыре блока матриц Мерсенна M3.



Рисунок 2. Кососимметрические матрицы C8 и С12


Матрица C12. Кососимметрическая матрица, повторяющая свойства предыдущей матрицы того же типа. Получаемая с ее помощью матрица Адамара эквивалентна, с точностью до перестановки строк и столбцов с возможной инверсией, матрице, получаемой при помощи C6, в этом смысле она несет мало нового.

Матрица C10. Двухуровневая по модулям элементов матрица, сводимая элементарными операциями к виду с каймой, в виде знакопостоянных строки и столбца, и блочной матрицы из девяти диагональных матриц Мерсенна M3 с корректировкой диагональных элементов матрицы к нулю, а модулей внедиагональных элементов к единице (с сохранением знаков).



Рисунок 3. Симметричные матрицы Белевича C10 и С14


Матрица C14. Двухуровневая по модулям элементов матрица, сводимая элементарными операциями к виду с двойной каймой – первые строка и столбец знакопостоянны, вторые строка и столбец делятся наполовину положительными и отрицательныи элементами – и блочной матрицы из шестнадцати матриц Мерсенна M3 с корректировкой диагональных элементов матрицы к нулю, а модулей внедиагональных элементов к единице (с сохранением знаков). В приведенном варианте десять блоков из шестнадцати диагональны, еще четыре отвечают недиагональной структуре матриц Мерсенна.

Комбинаторное начало здесь тоже присутствует, однако проблема десятого порядка решается почти автоматически, не прибегая к сложным построениям.

Hide

Rambler's Top100