03.11.2017 admin

2.4. Инварианты хаотических матриц


Бифуркационная диаграмма роста числа модулей уровней М-матриц, см. рис. 1, напоминает основные черты диаграммы Фейгенбаума. Бинарные ортогональные матрицы Адамара содержат осциллирующие между двумя значениями +1 и –1 процессы, известные также как функции Уолша-Радемахера.



Рисунок 1. Бифуркационная диаграмма расщепления уровней М-матриц с порядком


На диаграмме модулей элементов матрицам Адамара отведен один столбик, равный по высоте единице. Матрицы Белевича выбиваются одним уровнем, но он равен 0 и на диаграмме не заметен. Другое дело, матрицы Прокруста, близкие к регулярным. Число их уровней растет и достигает критически большого значения на тринадцатом порядке (прифиль обрезан).

Итерируемые ортогональные матрицы нечетных порядков и некоторых четных порядков при снижении h-нормы до уровня нормы первой хаотической матрицы Прокруста расстаются с регулярностью, с симметрией, с уровнями и прочими признаками упорядоченности. Существует специфический информационный барьер, для описания которого введена своя метрика.

Напомним, что энтропией называется логарифм адамаровой нормы матрицы lg(h). Энтропия матрицы Адамара равна 0. Для итерационных алгоритмов существует специфический барьер в виде запрета на понижение энтропии. Приведенная норма матриц Адамара h=1, а у матриц Белевича она довольно быстро стремится к единице. Относительно легко находимые стартовые матрицы Прокруста, имеют приведенную норму выше показателя h>B (константа Балонина).

Матрицы Адамара и Белевича представляют собой "проколы" в хаосе, точечные островки упорядоченности, почему их сложно искать. На замену отсутствующих в ряду порядков матриц Белевича после многих итераций и при удачном стечении обстоятельств находятся относительно малоуровневые матрицы с приведенной нормой, лучшей чем B. Это объективный числовой критерий заслуживающих особое внимание уникальных матриц.

Разумеется, можно ставить задачу изучения самого хаотического слоя, в частности, исследовать, не стремится ли приведенная норма хаотических матриц с ростом порядка к единице также, как у не хаотических матриц. Предпосылки для этого имеются.

Приведенные нормы малоуровневых матриц Мерсенна, Ферма, Эйлера в диапазоне стартовых порядков больше, чем B, но имеются имеются их критические значения, при которых они расцениваются как близкие к адамаровым. К категории матриц Прокруста такие матрицы в любом случае не принадлежат, они "прижимают" приведенную норму хаотических матриц сверху.

Под каждой упорядоченной матрицей Мерсенна, Ферма, Эйлера неизменно находится пусть тонкая (по дисперсии h), но прослойка более оптимальных хаотических матриц.

Против понижения с ростом порядка информационного барьера есть аргументы. Приведенная норма матриц Адамара константа, почему бы не быть постоянным порогу хаотичности? Одно отделено от другого примерно на δ и изменяться значительно с ростом порядка не будет. Это суть гипотезы Балонина об асимптотическом поведении этого показателя.

Более того, как бы ни падала приведенная норма отдельных представителей, ничто не гарантирует, что дальше по порядкам не найдется порядок со свойствами матриц тринадцатого порядка.

Отсюда непосредственно следует, что за исключением матриц Адамара, Белевича и некоторых других еще пока не выявленных артефактов, матрицами Прокруста являются аналоги матрицы тринадцатого порядка. Сформированная выше качественная и количественная теория хаотичности ортогональных матриц дает ориентиры, позволяющие их классифицировать на более или менее информативные.

Достаточно измерить h, сравнить с барьером B, и становится понятным, насколько уникальна та или иная матрица. Порогом, дающим ориентиры, является первая необычная матрица Прокруста. Ее можно сравнить с пульсарами, которые дали когда-то астрономии ориентацию в пространстве. Матрицы хаотических аттракторов разных порядков, помимо отмеченной приведенной нормы, имеют между собой много общего, гистограмма их уровней сходна с некоторым общим инвариантным профилем.

ОБЗОР

Hide

Rambler's Top100