03.11.2017 admin

ГЛАВА 1 МАЛОУРОВНЕВЫЕ МАТРИЦЫ


В этой главе формулируются основные определения, которые будут использованы в дальнейшем изложении, дается представление о портретах матрицы плоском, объемном, черно-белом портрете, цветном портрете, вводится термин цветность. Глава закончивается переходом от гипотезы Адамара к гипотезе Балонина и рассмотрением вопроса иерархии малоуровневых матриц.

Далее речь идет об ином, об оставшихся трех соседях этих фундаментальных ортогональных матриц, которые еще даже не названы, в отличие от матриц Адамара.

Мы разделяем уверенность в том, что если вещь не названа, то она не существует как объект мира математики. Для того, чтобы матрицы Адамара стали существовать, их необходимо было так назвать. Конечно, процесс этот постепенный, недаром тот же автор опубликовал исследование, касающееся психологии открытия. Стоит отметить, что гипотеза Адамара о кратности порядков адамаровых матриц четырем (не доказанная до сих пор), закладывает основы несколько иной теории – теории соответствия чисел и ортогональных матриц и базисов, до сих пор мало исследованной.

Теория чисел – другой фундаментальный раздел математики, и перекличка этих связанных между собой разделов способна дать новое знание, поскольку ортогональные матрицы иллюстрируют числа, являющиеся их порядками.

Числа 4k+1 и 4k+3 (4k–1) ввели в научный обиход Ферма и Эйлер. Ферма утверждал, что всякое простое число вида 4k+1 может быть представлено в виде суммы двух квадратов, причем единственным образом (простые числа вида 4k+3, как легко показать, не представляются в виде суммы квадратов). Эйлер устанавливает, что верно и обратное: если представление n в виде суммы квадратов существует и единственно, то n – простое число.

Обсуждаемые матрицы можно проиллюстрировать следующими весьма простыми картинками матриц-первоэлементов низких порядков. Матрицы первого и второго порядков практически не содержат ничего неизвестного, помимо классификационных их наименований.



Рисунок 1. Матрицы Одина O и Эйлера E2 первого и второго порядков


Что касается единицы (или нуля), то назвать этот бесструктурный дихотомический элемент можно как угодно, разумеется, но он занимает совершенно исключительное положение тем, что из него все, как и сущее, состоит. Он может быть назван Зерван или Один, все равно. Это действительно первоэлемент, и относить его безусловно только к ортогональным матрицам Адамара (где он является случаем-исключением) не имеет смысла. К существу гипотезы Адамара этот элемент не имеет отношения.

Матрица второго порядка тоже представляет собой случай-исключение в теории матриц Адамара. Она тождественна и иным ветвям ортогональных матриц, в частности, матриц, замещающих матрицы Белевича (С-матриц, служащих основой для построения матриц Адамара), на порядках, на которых они не существуют. То есть, матриц четного порядка, еще более фундаментальных и ранее не выделяемых. Теорема существования матриц Белевича восходит корнями к фундаментальному же результату теории чисел, к теореме Эйлера. Поэтому такие иследуемые далее матрицы названы матрицами Эйлера.

Это была первая пара нечетной и четных матриц. Вторая пара не менее интересна. Можно показать, что хорошо известной в теории последовательности чисел Мерсенна, отвечают ортогональные матрицы нечетных порядков n=2k–1, этим они отличаются от основной ветви матриц Адамара-Сильвестра, построенной для порядков n=2k, где k – целое число.



Рисунок 2. Матрицы Мерсенна M3 и Адамара H4 первого и второго порядков


Ортогональная матрица M3, как и матрица Адамара H4, построена на базе двух элементов, положительного и отрицательного {a, –b}, однако на третьем порядке их модули не равны между собой: b<a, при a=2, b=1. В отличие от первого нечетного и бесструктурного элемента Одина, матрица Мерсенна существует в двух основных существенно отличающихся между собой модификациях, составляющий структурный базис.



Рисунок 3. Диагональная и не диагональная разновидности матриц Мерсенна M3


Заметим, что при перестановке второй и третьей строк или столбцов матрицы Адамара с инвертированием знаков элементов отчетливо видно, что она тоже из одной из этих первичных структур состоит. Более сложные ортогональныем матрицы высоких порядков могут содержать оба структурных элемента, не исключаемые такого сорта эквивалентными преобразованиями, поэтому речь идет именно о структурном базисе. Вопрос первичности и вторичности матриц Мерсенна и Адамара таков же, каков вопрос о курице и яйце. Еще более первичен элемент Один, но в том то и дело, что он не имеет структуры, а у матриц Эйлера нет еще явно выделенной диагонали. Само понятие структуры возникает у второй пары из четырех ортогональных матриц.

Пятый элемент структуры, как кажется, не необходим, в то же время он не настойчиво, но существует, хотя бы в мире многогранников, и у ортогональных матриц он есть.

Помимо последовательности чисел Мерсенна n=2k–1, окаймляющих порядки матриц Адамара n=2k слева, есть последовательность чисел Ферма n=22k+1, окаймляющая их реже, но справа. Тезис о соответствии чисел и отвечающих им ортогональных матриц (ассоциативных матриц), экономно выражаемых двумя элементами, здесь безусловно работает, поскольку такая матрица пятого порядка (пятый элемент) есть. Она названа матрицей Ферма, ее сердцевина состоит из элементов {a, –b}, b<a, при элементах на диагонали a=3, b=2. Кайму составляют положительные элементы s=b, на более высоких порядках s<b.



Рисунок 5. Матрица Ферма F5


Эти пять ортогональных матриц названы М-матрицами, исследование их обобщенных аналогов более высоких порядков показывает, что как и матрицы Адамара они обладают экстремальными свойствами – это минимаксные ортогональные матрицы с минимально возможным числом уровней – в зависимости от остатка r деления порядка n на 4, они образуют четыре различаемых между собой случая:

r=1: матрица Одина или, в общем, матрицы Ферма F с их возможными обобщениями для порядков, включающих числа последовательности Ферма.
r=2: матрицы Эйлера E и Белевича C, последние имеют заполняемые первыми исключения для порядков, определяемых обобщениями теоремы Эйлера.
r=3: матрицы Мерсенна M, включающие порядки из последовательности чисел Мерсенна.
r=0: матрицы Адамара H, включающие матрицы последовательности Сильвестра.

M-матрицы содержат, соответственно, множества H, F, E, M ортогональных матриц, для которых последовательности Сильвестра и Мерсенна являются системообразующими. Оценки плотности охвата ортогональными матрицами числовой оси питаются, соотвественно, сходными гипотезами: гипотеза Адамара (перенос свойств последовательности Сильвестра на H), гипотеза Балонина (перенос свойств последовательности Мерсенна на М). Получается общая, для числовой оси, теория минимаксных ортогональных базисов.

Hide

Rambler's Top100