03.11.2017 admin

1.8. Иерархия малоуровневых матриц


Рассмотренные выше малоуровневые ортогональные матрицы выстраиваются в цепочки матриц Эйлера, Мерсенна, Адамара, Ферма следуя вверх по порядкам от порядка, равного 1. Рассмотрим взаимную связь матриц Адамара с фланговыми для нее матрицами Ферма, Мерсенна и Эйлера.

Смысл связи раскрывается следующими тремя положениями, поясняющими содержание структурных инвариантов.

Положение 1. Матрица Адамара H вычисляется по матрице Ферма F усечением ее каймы и сравниванием абсолютных значений уровней b=a, см. рис. 1.



Рисунок 1. Матрицы Ферма F17 и Адамара H16


В качестве иллюстрации показан переход от матрицы Ферма 17-го порядка к классической матрице Адамара.

Для того, чтобы перейти к матрице Мерсенна, необходимо матрицу Адамара предварительно нормализовать, выравниванием знаков элементов ее каймы, в данном случае, проще задать –a.

Положение 2. Матрица Мерсенна M вычисляется по нормализованной матрице Адамара H усечением ее каймы и разделением уровней заменой –a на элементы –b, см. рис. 2.



Рисунок 2. Нормализованная матрицы Адамара H16 и Мерсенна M15


Для того, чтобы перейти к матрице Эйлера, наступает черед нормализовать матрицу Мерсенна перестановками элементов ее каймы.

Положение 3. Матрица Эйлера E вычисляется по нормализованной матрице Мерсенна M усечением ее каймы и заменой сопряженного по знаку блока на инверсный с пересчетом значения b, см. рис. 3.



Рисунок 3. Нормализованная матрицы Мерсенна M15 и Эйлера E14


Заметим, что если бы удалось перекинуть мостик между матрицей Адамара, матрицей Ферма или заменяющей ее матрицей и, далее, матрицей Эйлера, то гипотеза Адамара была бы доказана. Здесь становится очевидно, что матрицы Ферма, это ключевое место теории ортогональных матриц. Недаром матрицы Ферма не всегда существуют и не тривиальны. В самом деле, будь они проще устроены, выявленное взаимно однозначное соответствие позволило бы перемещаться по порядкам как вниз, так и вверх, включая любые порядки, т.е. гипотеза Адамара перешла бы в разряд доказанных теорем. В математике если не полное доказательство сложной гипотезы, то хотя бы подступы к нему расцениваются достаточно высоко.


Hide

Rambler's Top100