03.11.2017 admin

3.2. Метод собственных векторов


Метод собственных векторов опирается на следующую структуру симметрических ортогональных матриц.

Положение 1. Кайма симметричной матрицы A с ортогональными столбцами состоит из взятого с обратным знаком собственного числа λ и собственного вектора v вложенного блока S, т. е.

A=
 –λ 
  v' 
v
  S 


Положение доказывается тривиально, рассмотрением произведения A'A, дающего диагональную матрицу, что приводит к уравнению Sv=λv.

Это положение не означает, что произвольный симметричный блок S порождает обязательно ортогональную матрицу, но у ортогональных матриц вложенные блоки именно таковы. В ряде практически полезных случаев блок S вычисляется обычным или модифицированным алгоритмом Сильвестра, дающих матрицы четных порядков.

Для повышения порядка матрицы на единицу может применяться эта нехитрая вычислительная процедура, которая приводит к желаемому результату, если стартовые матрицы обладают необходимыми для генерации ортогональных мактриц структурными инвариантами. Некоторый недостаток подхода состоит в необходимости перебора собственных векторов матрицы S, поскольку неясно, на каком из них следует остановиться.

Вместе с тем, это один из самых эффективных методов исследования, помогающий уточнить структурные инварианты каймы. Если они оценены правильно, это позволяет полностью устранить привлечение громоздких вычислительных и переборных процедур заменой их простым аналитическим решением. Положение проиллюстрируем несколькими примерами.

Пример 1. Одна итерация модифицированного алгоритма Сильвестра примененительно к матрице Адамара-Мерсенна M3 дает симметричный блок S6



Рисунок 1. Mатрица Адамара-Мерсенна M3 и матрица Сильвестра S6


Модули уровней матрицы Адамара-Мерсенна M7: a=1, b=(q–(4q)1/2)/(q–4), q=8. Среди собственных чисел {–1,–2.2426,–2.2426,2.2426,2.2426,2.2426} выберем λ=–1, отвечающее верхнему уровню a=1 этой матрицы (взятому с обратным знаком). Соответствующий собственный вектор v=(–b,–b,–b,a,a,a)=(–0.5858,–0.5858,–0.5858,1,1,1). Мы нашли структуру матрицы M7, см. рис. 2



Рисунок 2. Синтезированная матрица Адамара-Мерсенна M7


Пример 2. Симметричная матрица Адамара восьмого порядка приведена на рис. 3



Рисунок 3. Mатрица Адамара H8


Среди собственных чисел {–1,–2.8284,–2.8284,–2.8284,2.8284,2.8284,2.8284} матрицы седьмого порядка, полученной отбрасыванием первой строки и первого столбца, выберем λ=–1, отвечающее уровню a=1 этой матрицы. Соответствующий собственный вектор имеет вид v=(1,1,1,1,1,1,1)T, как видно, теория подтверждается.

Диагональность произведения H'H дает для матрицы Якобсталя J – содержательной части матрицы Адамара H без ее каймы – равенство, служащее ее определением (в данном случае видны его истоки)

J'J=(n–1)I–vv'


Пример 3. Симметричная матрица Белевича шестого порядка приведена на рис. 4



Рисунок 4. Mатрица Белевича C6


Среди собственных чисел {0,–2.2361,–2.2361,2.2361,2.2361} матрицы пятого порядка, полученной отбрасыванием первой строки и первого столбца, выберем λ=0, отвечающее нулевому диагональному элементу этой матрицы. Соответствующий собственный вектор имеет вид v=(1,1,1,1,1,1)T.




Hide

Rambler's Top100